Sistem kendali otomatis optimal adalah sistem yang kendalinya dilakukan sedemikian rupa sehingga kriteria optimalitas yang diperlukan mempunyai nilai ekstrim. Kondisi batas yang menentukan keadaan awal dan akhir yang diperlukan dari sistem; tujuan teknologi dari sistem. tн Ditetapkan dalam kasus di mana deviasi rata-rata selama interval waktu tertentu menjadi perhatian khusus dan tugas sistem kendali adalah memastikan minimum integral ini...

Bagikan pekerjaan Anda di jejaring sosial

Jika karya ini tidak cocok untuk Anda, di bagian bawah halaman terdapat daftar karya serupa. Anda juga dapat menggunakan tombol pencarian

Kontrol optimal

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Dasar-dasar teori regulasi dan pengendalian otomatis. M.: Sekolah Tinggi, 1977. 519 hal. Hal.477 491.

Senjata self-propelled yang optimal ini adalah sistem di mana pengendalian dilakukan sedemikian rupa sehingga kriteria optimalitas yang diperlukan memiliki nilai ekstrem.

Contoh pengelolaan objek yang optimal:

1. Mengontrol pergerakan roket untuk mencapai ketinggian atau jangkauan tertentu dengan konsumsi bahan bakar minimal;
2. Mengontrol pergerakan mekanisme yang digerakkan oleh mesin, yang akan meminimalkan biaya energi;
3. Mengontrol reaktor nuklir untuk kinerja maksimal.

Masalah pengendalian optimal dirumuskan sebagai berikut:

“Temukan hukum perubahan waktu kendali kamu(t ), di mana sistem, di bawah batasan tertentu, akan berpindah dari satu keadaan tertentu ke keadaan lain secara optimal dalam arti fungsionalnya SAYA , menyatakan kualitas proses, akan mendapat nilai ekstrim”.

Untuk memecahkan masalah pengendalian optimal, Anda perlu mengetahui:

1. Deskripsi matematis suatu objek dan lingkungan, menghubungkan nilai-nilai seluruh koordinat proses yang diteliti, pengendalian dan pengaruh-pengaruh yang mengganggu;

2. Pembatasan fisik pada koordinat dan hukum kendali, dinyatakan secara matematis;

3. Kondisi batas yang menentukan keadaan awal dan akhir yang diperlukan dari sistem

(tujuan teknologi sistem);

4. Fungsi tujuan (fungsional kualitas

tujuan matematika).

Secara matematis, kriteria optimalitas paling sering direpresentasikan sebagai:

untuk

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + φ [ y (t ke), t ke ], (1)

t n

di mana suku pertama mencirikan kualitas kendali atas seluruh interval ( tn, tn) dan dipanggil

komponen integral, suku kedua

mencirikan keakuratan pada titik waktu (terminal) akhir untuk.

Ekspresi (1) disebut fungsional, karena SAYA tergantung pada pilihan fungsi kamu(t ) dan hasilnya kamu(t).

Masalah lagrange.Ini meminimalkan fungsionalitas

untuk

Saya=∫f o dt.

t n

Ini digunakan dalam kasus di mana deviasi rata-rata dari waktu ke waktu menjadi perhatian khusus.

interval waktu tertentu, dan tugas sistem kendali adalah memastikan minimal integral ini (penurunan kualitas produk, kehilangan, dll.).

Contoh fungsionalitas:

Saya =∫ (t) dt kriteria kesalahan minimum dalam keadaan tunak, dimana x(t)

1. penyimpangan parameter yang dikontrol dari nilai yang ditentukan;

Saya =∫ dt = t 2 - t 1 = > min kriteria kecepatan maksimum senjata self-propelled;

Saya =∫ dt = > min kriteria efisiensi optimal.

masalah Mayer. Dalam hal ini, fungsi yang diminimalkan adalah fungsi yang hanya ditentukan oleh bagian terminal, yaitu.

Saya = φ =>menit.

Misalnya untuk sistem kendali pesawat dijelaskan dengan persamaan

F o (x, kamu, t),

Anda dapat mengatur tugas berikut: menentukan kontrol u (t), t n ≤ t ≤ t k sehingga untuk

diberikan waktu penerbangan untuk mencapai jangkauan maksimum, dengan ketentuan pada saat-saat terakhir untuk Pesawat akan mendarat, mis. x (t ke ) =0.

Masalah Boltz mereduksi menjadi masalah meminimalkan kriteria (1).

Metode dasar untuk memecahkan masalah pengendalian optimal adalah:

1. Kalkulus klasik variasi teorema dan persamaan Euler;

2. Prinsip maksimum L.S. Pontryagin;

3. Pemrograman dinamis oleh R. Bellman.

PERSAMAAN DAN TEOREMA EULER

Biarkan fungsionalitas diberikan:

untuk

Saya =∫ f o dt ,

t n

Di mana beberapa fungsi yang terdiferensiasi dua kali, di antaranya perlu dicari fungsi tersebut ( t ) atau ekstrem , yang memenuhi kondisi batas yang ditentukan x saya (t n), x saya (tk ) dan meminimalkan fungsionalitas.

Ekstremal ditemukan di antara solusi persamaan Euler

saya = .

Untuk menetapkan fakta minimalisasi fungsional, perlu dipastikan bahwa kondisi Lagrange terpenuhi sepanjang ekstrem:

mirip dengan persyaratan positifitas turunan kedua pada titik minimum fungsi.

Teorema Euler: “Kalau yang ekstrem fungsional SAYA ada dan dicapai pada kurva halus, maka kurva tersebut hanya dapat dicapai pada kurva ekstrem.”

PRINSIP MAKSIMUM L.S.PONTRYAGIN

Aliran L.S. Pontryagin merumuskan teorema tentang kondisi optimalitas yang diperlukan, yang intinya adalah sebagai berikut.

Mari kita asumsikan bahwa persamaan diferensial suatu benda, bersama dengan bagian perangkat kendali yang tidak dapat diubah, diberikan dalam bentuk umum:

Untuk mengontrol kamu j pembatasan dapat dikenakan, misalnya dalam bentuk kesenjangan:

, .

Tujuan pengendalian adalah untuk memindahkan objek dari keadaan semula ( t n ) ke keadaan akhir ( untuk ). Akhir dari proses untuk mungkin tetap atau gratis.

Biarkan kriteria optimalitas menjadi minimum dari fungsional

saya = dt.

Mari kita perkenalkan variabel bantu dan bentuk suatu fungsi

Fo ()+ f () f ()+

Prinsip maksimum menyatakan bahwa agar sistem menjadi optimal, yaitu. untuk memperoleh fungsi minimum, diperlukan fungsi kontinu bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut

Itu untuk setiap t , terletak dalam rentang tertentu t n≤ t ≤ tk , nilai H, sebagai fungsi kendali yang diperbolehkan, mencapai maksimum.

Maksimum fungsi H ditentukan dari kondisi:

jika tidak mencapai batas wilayah, dan sebagai supremum dari fungsi H, sebaliknya.

Pemrograman dinamis oleh R. Bellman

Prinsip optimalitas R. Bellman:

“Perilaku optimal mempunyai sifat, apapun keadaan awal dan keputusan pada saat awal, keputusan selanjutnya harus merupakan perilaku optimal relatif terhadap keadaan yang dihasilkan dari keputusan pertama.”

“Perilaku” sistem harus dipahami pergerakan sistem ini, dan istilahnya"keputusan" mengacu padapilihan hukum perubahan waktu kekuatan kendali.

Dalam pemrograman dinamis, proses pencarian ekstrem dibagi menjadi N langkah-langkah, sedangkan dalam kalkulus variasi klasik, pencarian seluruh ekstrem dilakukan.

Proses pencarian titik ekstrim didasarkan pada premis prinsip optimalitas R. Bellman berikut ini:

1. Setiap segmen lintasan optimal itu sendiri merupakan lintasan optimal;
2. Proses optimal di setiap situs tidak bergantung pada riwayatnya;
3. Kontrol optimal (lintasan optimal) dicapai dengan menggunakan gerakan mundur [dari y (T) hingga y (T -∆), dimana ∆ = T/ N, N jumlah bagian lintasan, dll.].

Secara heuristik, persamaan Bellman untuk pernyataan masalah yang diperlukan diturunkan untuk sistem kontinu dan diskrit.

Kontrol Adaptif

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Bab-bab terpilih dari teori kontrol otomatis dengan contoh-contoh dalam bahasa MATLAB . SPb.: Nauka, 1999.467 hal. Bab 12.

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Dasar-dasar teori regulasi dan pengendalian otomatis. M.: Sekolah Tinggi, 1977. 519 hal. Hal.491 499.

Ankhimyuk V.L., Opeiko O.F., Mikheev N.N. Teori kendali otomatis. Mn.: Desain PRO, 2000. 352 hal. Hal.328 340.

Kebutuhan akan sistem kendali adaptif muncul karena komplikasi signifikan dari masalah kendali yang sedang dipecahkan, dan ciri khusus dari komplikasi ini adalah kurangnya kesempatan praktis untuk mempelajari dan mendeskripsikan secara rinci proses yang terjadi pada objek yang dikendalikan.

Misalnya, pesawat terbang modern berkecepatan tinggi, yang data apriorinya akurat tentang karakteristiknya, dalam semua kondisi pengoperasian, tidak dapat diperoleh karena variasi signifikan dalam parameter atmosfer, rentang kecepatan penerbangan, jangkauan dan ketinggian yang besar, serta karena adanya dari berbagai gangguan parametrik dan eksternal.

Beberapa objek kendali (pesawat terbang dan rudal, proses teknologi, dan pembangkit listrik) dibedakan berdasarkan fakta bahwa karakteristik statis dan dinamisnya berubah dalam rentang yang luas dengan cara yang tidak diantisipasi sebelumnya. Manajemen optimal atas objek-objek tersebut dimungkinkan dengan bantuan sistem di mana informasi yang hilang secara otomatis diisi ulang oleh sistem itu sendiri selama operasi.

Adaptif (lat.) adaptasi ” perangkat) adalah sistem yang, ketika mengubah parameter objek atau karakteristik pengaruh eksternal selama pengoperasian, secara mandiri, tanpa campur tangan manusia, mengubah parameter pengatur, strukturnya, pengaturannya, atau pengaruh pengaturannya untuk mempertahankan mode pengoperasian yang optimal. objeknya.

Penciptaan sistem kendali adaptif dilakukan dalam kondisi yang berbeda secara fundamental, yaitu. metode adaptif akan membantu mencapainya Kualitas tinggi pengendalian jika tidak ada kelengkapan informasi apriori yang memadai tentang karakteristik proses yang dikendalikan atau dalam kondisi ketidakpastian.

Klasifikasi sistem adaptif:

Beradaptasi sendiri

(adaptif)

Sistem kontrol

Sistem Belajar Mandiri yang dapat menyesuaikan diri dengan adaptasi

Sistem sistem dalam fase khusus

Amerika

Pencarian Tanpa Pencarian- Pelatihan- Pelatihan- Relai Adaptif

(ekstrim (dianalisis dengan insentif tanpa sistem osilasi diri dengan

Variabel insentif baru

Struktur sistem sistem sistem

Diagram struktur klasifikasi AS (menurut sifat proses adaptasi)

Sistem penyetelan mandiri (SNS)adalah sistem di mana adaptasi terhadap perubahan kondisi operasi dilakukan dengan mengubah parameter dan tindakan kontrol.

Mengatur diri sendiriIni adalah sistem di mana adaptasi dilakukan dengan mengubah tidak hanya parameter dan tindakan pengendalian, tetapi juga struktur.

Belajar mandiriini adalah sistem kontrol otomatis di mana mode operasi optimal dari objek yang dikendalikan ditentukan menggunakan perangkat kontrol, yang algoritmanya secara otomatis ditingkatkan dengan sengaja dalam proses pembelajaran melalui pencarian otomatis. Pencarian dilakukan dengan menggunakan perangkat kontrol kedua, yang merupakan bagian organik dari sistem belajar mandiri.

Di mesin pencari sistem, perubahan parameter perangkat kontrol atau tindakan kontrol dilakukan sebagai hasil pencarian kondisi untuk indikator kualitas ekstrem. Pencarian kondisi ekstrem dalam sistem jenis ini dilakukan dengan menggunakan uji pengaruh dan penilaianhasil yang diperoleh.

Dalam non-pencarian sistem, penentuan parameter perangkat kendali atau tindakan kendali dilakukan berdasarkan penentuan analitis dari kondisi yang menjamin kualitas kendali tertentu tanpa menggunakan sinyal pencarian khusus.

Sistem dengan adaptasi dalam keadaan fase khususmenggunakan mode atau properti khusus dari sistem nonlinier (mode osilasi mandiri, mode geser) untuk mengatur perubahan terkontrol dalam properti dinamis sistem kendali. Mode khusus yang terorganisir secara khusus dalam sistem tersebut berfungsi sebagai sumber tambahan informasi operasional tentang perubahan kondisi operasi sistem, atau memberikan sistem kontrol dengan properti baru, sehingga karakteristik dinamis dari proses yang dikendalikan dipertahankan dalam batas yang diinginkan. , terlepas dari sifat perubahan yang terjadi selama pengoperasian.

Saat menggunakan sistem adaptif, tugas utama berikut diselesaikan:

1 . Selama pengoperasian sistem kendali, ketika parameter, struktur dan pengaruh eksternal berubah, kendali disediakan di mana sifat dinamis dan statis tertentu dari sistem dipertahankan;

2 . Selama proses desain dan commissioning, jika pada awalnya tidak ada informasi lengkap tentang parameter, struktur objek kontrol dan pengaruh eksternal, pengaturan otomatis sistem sesuai dengan sifat dinamis dan statis yang ditentukan.

Contoh 1 . Sistem stabilisasi posisi sudut pesawat adaptif.

f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f (t) f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

kamu (t) W 1 (p) W 0 (p) y (t)

+ -

Beras. 1.

Sistem stabilisasi pesawat adaptif

Ketika kondisi penerbangan berubah, fungsi transfer berubah W 0 (hal ) pesawat terbang, dan akibatnya, karakteristik dinamis dari seluruh sistem stabilisasi:

. (1)

Kemarahan dari luar lingkungan luar f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) , yang menyebabkan perubahan terkontrol pada parameter sistem, diterapkan ke berbagai titik objek.

Pengaruh yang mengganggu f(t ) diterapkan langsung ke input objek kontrol, berbeda dengan f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) tidak mengubah parameternya. Oleh karena itu, selama pengoperasian sistem saja f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t).

Sesuai dengan prinsip umpan balik dan ekspresi (1), perubahan karakteristik yang tidak terkendali W 0 (hal ) akibat gangguan dan interferensi menyebabkan perubahan yang relatif kecil pada parameter Ф( P) .

Jika kita menetapkan tugas kompensasi yang lebih lengkap dari perubahan yang dikendalikan, sehingga fungsi transfer (р) dari sistem stabilisasi pesawat praktis tidak berubah, maka karakteristik pengontrol harus diubah dengan tepat. W 1 (hal ). Hal ini dilakukan dengan senjata self-propelled yang dapat beradaptasi, dibuat sesuai dengan skema pada Gambar 1. Parameter lingkungan ditandai dengan sinyal f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), misalnya tekanan head kecepatan P H(t) , suhu sekitar T0(t) dan kecepatan terbang v(t) , diukur secara terus menerus oleh sensor D 1, H 2, H 3 , dan nilai parameter saat ini dikirim ke perangkat komputasi B 1, B 2, B 3 , menghasilkan sinyal yang dengannya karakteristiknya disesuaikan W 1 (hal ) untuk mengkompensasi perubahan karakteristik W0(hal).

Namun, di ASAU dari jenis ini(dengan penyesuaian loop terbuka) tidak ada analisis mandiri terhadap efektivitas perubahan terkendali yang dilakukannya.

Contoh 2. Sistem kendali kecepatan penerbangan pesawat yang ekstrim.

Z Gangguan

Dampak

X 3 = X 0 - X 2

Perangkat otomatis X 0 Amplifikasi X 4 Eksekutif X 5 Dapat Disesuaikan X 1

Objek perangkat konverter matematika

Iska + ekstrim - perangkat

Ukur

Perangkat

Gambar 2. Diagram fungsional sistem kendali kecepatan penerbangan pesawat ekstrim

Sistem ekstrem menentukan program yang paling menguntungkan, yaitu. lalu nilainya X 1 (kecepatan pesawat yang dibutuhkan), yang dibutuhkan dalam saat ini pertahankan agar konsumsi bahan bakar minimum per satuan panjang lintasan dihasilkan.

Z - karakteristik objek; X 0 - mengendalikan pengaruh pada sistem.

(nilai konsumsi bahan bakar)

kamu(0)

kamu(T)

Sistem yang mengatur dirinya sendiri

Standar-standar ini secara terpisah menormalkan setiap komponen iklim mikro di area kerja tempat produksi: suhu, kelembaban relatif, kecepatan pergerakan udara, tergantung pada kemampuan tubuh manusia untuk menyesuaikan diri pada waktu yang berbeda dalam setahun, sifat pakaian, intensitas pekerjaan yang dilakukan dan sifat pembangkitan panas di ruang kerja . Perubahan suhu udara tinggi dan horizontal, serta perubahan suhu udara selama shift dengan tetap memastikan nilai iklim mikro yang optimal di tempat kerja tidak boleh... Manajemen: konsep, ciri, sistem dan prinsip Badan pemerintah: konsep, jenis dan fungsi. Berdasarkan konten hukum administratif adalah undang-undang administrasi negara yang mewujudkan kepentingan hukum mayoritas warga negara, yang subyek pengelolaannya diberi kekuasaan otoritatif secara hukum dan fungsi perwakilan negara. Oleh karena itu, obyek perbuatan norma hukum adalah hubungan-hubungan sosial manajerial tertentu yang timbul antara subyek pengelolaan oleh pengelola dengan obyek-obyeknya. Peraturan Pemerintah sosial pertumbuhan ekonomi wilayah. Anggaran daerah sebagai basis keuangan bagi pembangunan sosial-ekonomi daerah. Berbagai wilayah di Ukraina memiliki karakteristik dan perbedaannya masing-masing baik dari segi pembangunan ekonomi maupun aspek sosial, sejarah, bahasa dan mental. Dari permasalahan-permasalahan ini, pertama-tama kita harus menyebutkan ketidaksempurnaan struktur sektoral dari sebagian besar kompleks ekonomi regional, tingkatnya rendah efisiensi ekonomi; perbedaan yang signifikan antar wilayah dalam tingkat...

Materi tentang pengendalian optimal yang disajikan disini memadukan antara teori dan praktek pengendalian optimal. Sebelum ditulis dan disajikan, telah dibuat sistem optimal yang nyata, yang hasilnya menjadi dasar pembuatan sistem terkendali pada perancang EFFLY. Penelitian telah menunjukkan bahwa pengoperasian sistem optimal yang dibuat oleh perancang perangkat lunak tidak berbeda secara mendasar dengan pengoperasian sistem dalam kondisi nyata.

Ini merupakan kabar baik karena kini Anda dapat berlatih, mengamati cara kerja sistem yang optimal, dan mempelajari prinsip-prinsip pengendalian optimal sambil duduk di depan layar komputer. Untuk tujuan ini, berikut adalah link ke file sistem optimal yang ada. Yang Anda perlukan untuk mengakses praktik ini hanyalah lingkungan Excel.

Saya akan sangat berterima kasih jika Anda menulis beberapa kata tentang apa yang perlu ditambahkan, menurut Anda, agar materi lebih mudah diakses dan bermanfaat, yaitu, lebih optimal:-). Tautan untuk komunikasi ada di bagian bawah teks.

1. Perkenalan

Untuk mencapai tujuan kami, kami melakukan berbagai macam operasi. Namun dalam kehidupan sehari-hari kita jarang memikirkan tentang apa yang diciptakan untuk melaksanakan operasi tersebut dan seberapa efektif pelaksanaannya. Lain halnya jika operasi serupa dilakukan secara rutin dalam bentuk proses teknologi, dan laju perkembangan serta daya saing suatu bisnis bergantung pada efektivitas operasi tersebut. Dalam hal ini, kami berusaha untuk memastikan bahwa operasional yang dilakukan seefisien mungkin, terbaik, atau yang juga, optimal.

Optimasi dan kontrol optimal adalah konsep yang sangat modis dan populer. Namun saya mungkin akan sangat mengejutkan Anda jika saya mengatakan bahwa tentang pengendalian optimal, meskipun terdapat banyak sekali publikasi di berbagai sumber, hanya ada sedikit informasi yang benar-benar berkualitas tinggi. Biasanya, beberapa frasa kiasan tentang “kemudi” diceritakan kembali, konsep dasar tentang pembatasan proses pengendalian dan ketidakterbatasan pengendalian dalam kerangka pembatasan yang diberlakukan. Biasanya juga banyak pembicaraan tentang kriteria pengendalian optimal (seolah-olah ada banyak kriteria). Dan mereka bahkan memberikan ekspresi spesifik dari kriteria pengoptimalan yang belum pernah diperiksa kecukupannya oleh siapa pun.

Singkatnya, pengendalian optimal adalah suatu proses teknologi yang terdiri dari banyak operasi dengan parameter sedemikian rupa sehingga pada titik waktu tertentu akan menjamin penerimaan produk yang ditargetkan secara maksimal.

Untuk memahami produk target apa yang sedang kita bicarakan, Anda perlu mendapatkan gambarannya fisika proses dan dia sibernetika, lalu pahami proses pengoptimalannya.

2. Fisika proses umum sistem produksi

Untuk menghadapinya prinsip pengendalian optimal, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa memahami fisika dari proses yang mendasari operasi teknologi apa pun. Prinsip-prinsip ini bersifat umum, oleh karena itu, setelah memahaminya menggunakan contoh satu proses tertentu, Anda dapat dengan aman menggunakan pengetahuan yang diperoleh, dengan mengandalkan model cybernetic umum dari aktuator operasi.

Sebagai contoh, kami akan mempertimbangkan secara rinci operasi pemanasan cairan. Pada saat yang sama, Anda dapat melakukan penelitian sendiri secara bersamaan jika Anda memiliki peralatan sederhana yang diperlukan dan pengalaman tertentu. Anda juga dapat menggunakan pengamatan proses sistem pemanas terkontrol yang dirakit di lingkungan EFFLY. Atau Anda bisa menguasai materi dengan menganalisis data siap pakai yang ditampilkan dalam grafik.

Jadi, kita perlu melakukan operasi pemanasan cairan dalam satu siklus, mencapai mode pemanasan optimal. Untuk melakukan operasi pemanasan, kita akan menggunakan pemanas listrik - elemen pemanas, dengan pengatur daya. Elemen pemanas diturunkan ke dalam wadah berisi cairan, dan laju pemanasan bergantung pada daya yang ditransmisikan ke peralatan listrik.

Apa inti dari manajemen dalam kasus ini? Semuanya sangat sederhana. Kami menetapkan sejumlah pasokan listrik dan melakukan operasi pemanasan. Menyetel pengatur daya ke salah satu posisi yang memungkinkan adalah kontrol. Oleh karena itu, tergantung pada kontrolnya, laju pemanasan, jumlah konsumsi listrik dan keausan mekanisme pemanas elemen pemanas akan berubah (Gbr. 1-3).

Dari grafik (Gbr. 1) terlihat bahwa peningkatan pasokan listrik menyebabkan penurunan konsumsi energi untuk operasi. Bagaimana hal ini dapat dijelaskan?

Gbr.1 Perubahan konsumsi energi operasi pemanasan dari kontrol

Masalahnya adalah pada tingkat pemanasan yang rendah, cairan yang dipanaskan punya waktu untuk keluar sejumlah besar panas ke lingkungan. Semakin tinggi laju pemanasan, semakin sedikit kehilangan panas. Untuk proses dengan mekanisme teknologi efisiensi tinggi, ini adalah gambaran tipikal. Mengapa elemen pemanas memiliki efisiensi yang tinggi? Karena ia direndam dalam cairan dan hampir seluruhnya melepaskan energinya (sebagian kecil energi hilang di kabel).

Selain itu, dari grafik perubahan keausan dari kontrol (Gbr. 2) dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi produktivitas proses, semakin tinggi pula keausan mekanisme teknologi.

Gbr.2 Perubahan keausan mekanisme operasi pemanasan dari kontrol

Terlebih lagi, dengan meningkatnya produktivitas, keausan meningkat secara tidak proporsional, namun dengan cara yang sesuai dengan hukum kekuatan. Koefisien fungsi daya keausan mekanisme terhadap produktivitas ditentukan secara eksperimental. Secara umum, perlu dibicarakan tentang keausan setiap mekanisme sistem.

Dan, tentu saja, semakin besar jumlah energi yang disuplai, semakin tinggi kecepatan prosesnya, dan karenanya, semakin pendek waktu pengoperasiannya (Gbr. 3). Itu sudah jelas. Namun ketergantungan sebenarnya juga bersifat nonlinier, terlihat dari grafik.

Gbr.3 Mengubah waktu operasi pemanasan dari kontrol

Dengan demikian, setiap kontrol berhubungan dengan konsumsi produk energinya sendiri, keausan mekanisme operasinya sendiri, dan waktu pengoperasiannya sendiri. Sifat perubahannya sekarang tersedia bagi kita.

Sebenarnya hanya itu yang perlu Anda ketahui tentang fisika proses pemanasan suatu zat cair dengan elemen pemanas yang dibenamkan di dalamnya, untuk memahami esensi dari mekanisme alami yang mendasarinya. teknologi pengendalian yang optimal.

Menulis kepada penulisnya.

3. Sibernetika proses sistem produksi

Kita hidup di dunia yang mematuhi hukum yang sangat spesifik. Undang-undang ini dibagi menjadi dua kelas. Pengetahuan tentang hukum kelas satu memungkinkan kita menjawab pertanyaan: “Mengapa ini terjadi?” Golongan ilmu-ilmu tersebut meliputi: fisika, kimia, astronomi.

Kelas kedua mencakup ilmu-ilmu yang menjawab pertanyaan: “Mengapa, atau untuk tujuan apa?” Perwakilan terkemuka dari kelas ilmu ini adalah sibernetika.

3.1 Misi dan tujuan manajemen sistem produksi

Dalam proses pengendalian optimal, dua masalah yang cukup independen diselesaikan, yang penyelesaiannya merupakan tanggung jawab dua struktur independen dari sistem produksi.

Tugas pertama adalah menciptakan produk yang memiliki kualitas konsumen tertentu. Dalam kasus kami, produk konsumen dari operasi ini adalah cairan yang dipanaskan. Secara umum, kita dapat mengatakan bahwa misi sistem ini adalah menciptakan produk yang bermanfaat dengan kualitas konsumen tertentu. Produk yang berguna diciptakan oleh subsistem teknis di bawah kendali subsistem teknologi. Subsistem teknologi ini sering disebut sistem kendali.

Namun tidak seorang pun akan menciptakan produk yang bermanfaat dengan cara apa pun. Oleh karena itu, parameter produk masukan operasi, dan akibatnya, parameter proses, harus dipilih sedemikian rupa sehingga penilaian ahli terhadap produk masukan operasi kurang dari penilaian ahli terhadap produk keluaran operasi. . DI DALAM sistem ekonomi Mereka beroperasi bukan dengan perkiraan ahli, tetapi dengan perkiraan biaya.

Misalnya kita perlu mengangkut barang dari titik A ke titik B. Untuk itu kita membutuhkan kendaraan dan produk energi. Kami akan melakukan operasi secara sadar hanya jika biaya kendaraan yang lebih usang, sisa bahan bakar dan produk di titik B dinilai oleh kami lebih tinggi daripada kendaraan yang lebih sedikit usang, bahan bakar dan kargo yang tidak terpakai di titik A. Artinya, kami berjuang untuk meningkatkan perbedaan nilai input dan output biaya.

Memaksimalkan perbedaan antara estimasi ahli atas output dan produk input dari siklus operasi yang dikendalikan adalah tujuan manajemen (ini adalah tujuan kedua). masalah manajemen), dan perbedaannya sendiri adalah produk sasaran. Bertanggung jawab untuk memaksimalkan nilai produk target dari sistem produksi subsistem optimasi.

Harap dicatat bahwa yang sedang kita bicarakan HAI siklus operasi(proses), bukan tentang operasi terpisah. Kita akan kembali ke poin ini nanti, namun untuk saat ini kita akan membahas tentang bagaimana beralih dari indikator alami produk input dan output ke indikator yang sebanding.

3.2 Pengurangan parameter kuantitatif produk transaksi ke nilai yang sebanding

Melakukan operasi apa pun memerlukan investasi tertentu dari kami. Untuk pengoperasian pemanasan suatu zat cair, kita memerlukan sebagian dari cairan dingin itu sendiri, ditentukan oleh kuantitas energi, dan bagian dari sumber daya mekanisme, yang akan habis selama pengoperasian. Kami menilai kontribusi masing-masing produk terhadap operasional secara berbeda. Penilaian ini dikaitkan dengan konsep penilaian ahli terhadap produk operasi, yang dinyatakan melalui penilaian ahli terhadap suatu unit produk dan penilaian kuantitatifnya. Karena sistem pemanas dapat dianggap sebagai sistem teknis dan ekonomi, kita akan menggunakan sistem yang lebih familiar konsep ekonomi"penilaian nilai", alih-alih konsep sibernetik - "penilaian ahli".

Dalam kasus umum, penilaian setiap produk masukan dari operasi ditentukan dari ekspresi RE i =RS i ·RQ i, di mana RQ i adalah kuantitas produk ke-i dari operasi tersebut; RS i adalah biaya satuan produk operasi ke-i; RE i adalah penilaian produk ke-i dari produk operasi.

Jadi untuk pengoperasiannya kami menggunakan 1 meter kubik cairan. Mari kita asumsikan bahwa perkiraan biaya untuk satu meter kubik cairan adalah 0,8 denier. unit Maka perkiraan biaya untuk satu meter kubik cairan akan sama dengan RE cw =RQ cw ·RS cw =1·0.8=0.8 unit moneter, dimana RQ cw adalah volume cairan yang diperlukan untuk pengoperasian; RS cw - perkiraan biaya satu kubus cairan; RE cw – perkiraan biaya volume cairan operasi.

Karena volume cairan dingin yang diperlukan untuk operasi selanjutnya tidak berubah dari kontrol, maka grafik penilaian biaya cairan tergantung pada kontrol RE cw (U) akan terlihat seperti garis lurus horizontal (Gbr. 4).

Konsumsi produk energi bervariasi dari satu operasi ke operasi lainnya, sehingga perkiraan biaya konsumsi energi juga akan berubah dari satu operasi ke operasi lainnya. Dengan asumsi satu kWh. biaya listrik 0,3 sarang. unit, dimungkinkan untuk memperoleh ketergantungan perubahan biaya energi RE e pada kontrol U, di mana RE e (U) adalah perkiraan biaya energi yang dikonsumsi oleh operasi pengendalian (Gbr. 4).

Tetap menentukan perubahan kehilangan sumber daya dari mekanisme operasi dari manajemen dalam nilai biaya yang sebanding (RE w (U)), dengan mempertimbangkan bahwa unit kehilangan sumber daya diperkirakan sebesar 3 unit moneter. (Gbr. 4).

Gbr.4 Perubahan perkiraan biaya volume listrik, cairan, dan tingkat keausan elemen pemanas operasi pemanasan yang dibutuhkan dari kontrol

Sekarang, karena semua produk input operasi dinyatakan dalam nilai biaya yang sebanding, untuk setiap kontrol seseorang dapat menentukan satu nilai dari total biaya biaya RE=RE cw +RE e +RE w (Gbr. 5).

Pada diagram yang sama akan lebih mudah untuk menyajikan ketergantungan perkiraan biaya cairan yang dipanaskan pada kontrol PE(U) dan waktu operasi pada kontrol T op (U) pada sumbu tambahan.

Gambar 5 Perubahan perkiraan biaya produk input dan output dari operasi pemanasan dan waktu operasi dari pengendalian

Produk energi, cairan dingin itu sendiri, dan mekanisme pemanasan mempunyai nilai yang pasti bagi kita. Oleh karena itu, kami akan melakukan operasi pemanasan cairan hanya jika penilaian ahli terhadap produk masukan operasi kurang dari penilaian ahli terhadap produk yang dihasilkan dari operasi. Dalam hal ini, kita asumsikan bahwa harga sebuah kubus berisi cairan yang dipanaskan diperkirakan sebesar PS = 55 unit moneter.

Harap dicatat bahwa indikator dasar RE, PE dan T op bersifat sibernetik, karena dapat diperoleh untuk operasi apa pun, terlepas dari sifat proses dan jenis sistem yang dikendalikan. Setelah menyusun fungsi RE(U), PE(U) dan Top(U), kita telah mengambil langkah lain untuk mengungkap esensinya pengendalian optimal.

Kesulitan apa yang Anda temukan dalam memahami materi? Menulis kepada penulisnya.

3.3 Kriteria pengendalian optimal sistem produksi

Sekarang kita memahami bahwa subsistem teknis bertanggung jawab atas proses transformasi produk masukan, subsistem teknologi bertanggung jawab atas kualitas produk yang dihasilkan, dan subsistem optimasi bertanggung jawab untuk memaksimalkan produk target, kita dapat mendekati masalah pemilihan. pilihan optimal.

Mari kita asumsikan bahwa kita mempunyai dua pilihan untuk memilih parameter kontrol. Mari kita asumsikan bahwa dengan menyetel set parameter kontrol pertama, kita mendapatkan operasi berulang secara siklis dengan indikator dasar berikut: RE=4 hari. unit, PE=7 unit moneter, T op =7 jam (Gbr. 6).

Gambar 6 Proses pembentukan produk sasaran untuk pengendalian pertama

Bagaimana proses pencapaian suatu tujuan berlangsung? Persegi panjang kiri atas adalah perkiraan biaya sumber daya operasi. Kami memiliki 10 unit moneter dari sumber daya tersebut. Karena operasi memerlukan sumber daya sebesar 4 unit moneter, jumlah sumber daya ini ditransfer untuk melakukan operasi pertama, yang ditandai dengan panah nomor 1.

Pengoperasian ini memakan waktu 7 jam untuk diselesaikan, dan kita asumsikan bahwa nilai produk dari operasi tersebut adalah 7 unit. Karena operasi kedua lagi-lagi membutuhkan empat unit sumber daya, tiga unit sisanya dipindahkan ke gudang produk target.

Dalam siklus tersebut kami melakukan tiga operasi, setelah itu kami dapat menentukan nilai absolut dari produk target operasi tersebut. Ini adalah 16 unit ruang. setelah 21 jam kerja.

Sekarang kita mengubah kontrol dan mendapatkan siklus operasi dengan indikator dasar baru: RE=5 den. unit, PE=7 unit moneter, Top=3 jam (Gbr. 7).

Gambar 7 Proses pembentukan produk sasaran pada kontrol kedua

Peningkatan produk target selama satu operasi lebih sedikit di sini - 2 unit moneter. Namun waktu pengoperasiannya juga lebih singkat. Seperti yang Anda lihat, pada akhir operasi terakhir, setelah 21 jam, kami akan menerima 19 unit moneter. produk sasaran.

Artinya, jika kita hanya mempunyai dua pilihan untuk melakukan operasi, maka pilihan kedua lebih disukai. Oleh karena itu pengendalian menurut pilihan kedua merupakan pengendalian optimal.

Timbul pertanyaan: “Bagaimana, tanpa melakukan operasi dalam satu siklus, Anda dapat segera menentukan operasi mana yang lebih menguntungkan, dan, karenanya, menentukan parameter pengendalian optimal?”

Untuk itu diperlukan suatu indikator kinerja yang dapat digunakan sebagai kriteria optimasi.

Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan rumus efisiensi sederhana, yang merupakan ekspresi analitis untuk menghitung operasi sederhana. Dialah yang menghubungkan tiga indikator dasar satu sama lain: penilaian produk input operasi (RE), penilaian produk output operasi (PE) dan waktu operasi (T op). Jika efisiensi kita nyatakan dengan simbol “E”, maka rumus menghitung indikator efisiensi akan terlihat seperti ini

dimana T p adalah satuan selang waktu, yang kebutuhan penggunaannya dipertimbangkan dalam teori efisiensi.

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai indikator dasar operasi ke dalam rumus efisiensi, diperoleh nilai E = 0,00656 untuk operasi pertama dan E = 0,0127 untuk operasi kedua.

Seperti yang bisa kita lihat, indikator efisiensi langsung menunjukkan bahwa jenis operasi kedua lebih disukai daripada operasi jenis pertama. Oleh karena itu, indikator yang diberikan merupakan kriteria optimasi.

Gambar 8 menunjukkan bagaimana efisiensi berubah seiring dengan perubahan pengendalian. Parameter yang sesuai dengan efisiensi maksimum disorot dengan warna merah.

Gambar 8 Proses pembentukan produk sasaran pada pengendalian kedua

Sekarang sebenarnya kita dapat menjawab pertanyaan tentang apa itu pengendalian optimal.
Kontrol optimal adalah proses yang memastikan maksimalisasi produk target selama eksekusi siklus operasi sistem.
Pilihan kontrol tersebut menyediakan kriteria optimasi.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem produksi dimungkinkan untuk mencapai mode optimal berdasarkan indikator mutlak– peningkatan potensi finansial secara maksimal, namun proses ini memakan banyak waktu.

Tampaknya masalah pencapaian optimal dapat diselesaikan tanpa kriteria optimasi - melalui pemodelan matematika, menggunakan hasil satu operasi. Namun pengaruh kesalahan sensor menyebabkan penyimpangan yang sangat besar dari titik optimum.

Kesulitan apa yang Anda temukan dalam memahami materi? Menulis kepada penulisnya.

Untuk melihat pengoperasian sistem yang optimal, Anda perlu memuat sistem optimal itu sendiri, yang dirangkai dalam konstruktor EFFLY. Anda dapat mengetahui cara membuat sistem bekerja lebih keras.

Setelah mengklik tombol "Start", sebuah lembar akan terbuka di mana grafik untuk mencari sistem optimal akan ditampilkan. Poin pertama muncul dalam beberapa menit, karena diperlukan beberapa operasi untuk mencapainya. Kita perlu menunggu sebentar.

ANOTASI

Manual ini memperkenalkan kondisi dasar optimalitas dan metode penyelesaian masalah kalkulus variasi dan kontrol optimal. Ini akan berguna untuk mempersiapkan dan melaksanakan kelas praktik pada bagian “Kontrol Optimal”, serta bagi siswa yang mengerjakan pekerjaan rumah tentang topik ini.

tutorial adalah versi elektronik dari buku tersebut:
Kontrol optimal dalam contoh dan masalah. Sotskov A.I., Kolesnik G.V. - M.: Sekolah Ekonomi Rusia, 2002 - 58 hal.

Kata pengantar

1. Masalah paling sederhana dalam kalkulus variasi.
persamaan Euler
Contoh
Latihan

2. Masalah kendali optimal. Prinsip maksimal
Contoh
Latihan

3. Fase kendala pada masalah pengendalian optimal
Contoh
Latihan

4. Pemrograman dinamis dan persamaan Bellman
Contoh
Latihan

literatur

Kata pengantar

Teori kontrol optimal adalah salah satu bagian dari kursus “Matematika untuk Ekonom” yang diajarkan di Sekolah Ekonomi Rusia.
Pengalaman mengajar menunjukkan bahwa bagian ini adalah salah satu bagian yang paling sulit untuk dikuasai. Hal ini terutama disebabkan oleh perbedaan konseptual antara masalah kontrol optimal yang dipelajari di dalamnya dan masalah optimasi dimensi hingga, dan, sebagai konsekuensinya, komplikasi yang signifikan dari kondisi optimalitas yang digunakan di dalamnya.
Dalam hal ini, tampaknya berguna untuk memberikan ilustrasi yang jelas tentang penerapan kondisi optimalitas ini untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah. Panduan ini merupakan upaya untuk memberikan ilustrasi seperti itu. Ini berisi contoh dan masalah pada empat topik:
. kalkulus variasi;
. prinsip maksimal dalam masalah tanpa batasan;
. prinsip maksimum dengan adanya batasan fase;
. pemrograman dinamis.
Setiap bagian terdiri dari bagian teori yang menguraikan konsep dasar dan hasil yang digunakan dalam menyelesaikan soal yang bersangkutan, contoh beserta penyelesaiannya, serta soal untuk karya mandiri siswa.
Perlu ditekankan bahwa manual ini sama sekali bukan kursus teoretis, tetapi difokuskan terutama pada penerapan praktis metode pengendalian optimal. Sebagai panduan teoretis untuk bagian ini, kami dapat merekomendasikan, misalnya, sebuah buku.
Menurut penulis, manual ini akan berguna bagi guru ketika mempersiapkan dan melaksanakan kelas praktik pada bagian “Kontrol Optimal”, serta bagi siswa ketika mengerjakan pekerjaan rumah tentang topik tersebut.

Versi elektronik dari buku tersebut: [Unduh, PDF, 633,8 KB].

Untuk melihat buku dalam format PDF, Anda memerlukan Adobe Acrobat Reader, versi barunya dapat diunduh secara gratis dari situs web Adobe.

Kontrol optimal

Andrey Alexandrovich Agrachev

Sudah menjadi sifat manusia untuk berjuang mencapai kesempurnaan. Dalam matematika, hal ini diwujudkan dalam pencarian solusi terbaik (optimal), termasuk semua masalah maksimum dan minimum. Teori kendali optimal mencakup teori-teori yang penyelesaiannya mempunyai batasan tertentu dalam ruang dan waktu. Gambar yang cocok adalah memetakan jalur terbaik saat melewati medan yang sangat kasar.

Secara umum, ahli matematika, seperti semua orang, sangat menyukai gambar visual, tetapi kenyataannya kita berbicara tentang sistem apa pun yang dapat terus diubah dalam batas-batas tertentu, seperti halnya kita mengubah arah pergerakan saat membuat jalan. Lainnya contoh yang sesuai: kendali mobil, pesawat terbang, proses teknologi, tubuh Anda, pada akhirnya.

Diperlukan cara terbaik untuk mentransfer sistem dari keadaan tertentu ke keadaan yang diinginkan: secepat mungkin, atau dengan cara yang paling ekonomis, atau dengan manfaat terbesar, atau sesuai dengan kriteria yang lebih kompleks; kita memutuskan sendiri apa yang lebih penting. Jika reaksi langsung sistem terhadap tindakan kita sudah diketahui dengan baik, maka teori pengendalian optimal dirancang untuk membantu kita menemukan strategi jangka panjang terbaik. Berikut ini contoh sederhananya: Anda perlu menghentikan osilasi secepat mungkin (katakanlah, hentikan “ayunan”), dengan menerapkan gaya kecil terlebih dahulu di satu sisi, lalu di sisi lainnya. Anda harus berpindah dari satu sisi ke sisi lain berkali-kali. Apa aturan untuk melakukan ini? Jelas bahwa “ayunan” tersebut dapat berupa finansial, ekonomi, fisik, dan teknis...

Perlu dicatat bahwa subjek yang jelas diterapkan seperti teori kontrol optimal diciptakan di Institut Matematika Steklov oleh ahli matematika murni Lev Semyonovich Pontryagin dan murid-muridnya, ahli topologi profesional. Penerapan pertama yang mengesankan dari teori ini yang menjadikannya terkenal adalah dalam program luar angkasa Soviet dan program Apollo Amerika. Dalam program ini, semuanya dilakukan hingga batas kemampuannya, dan tanpa pengoptimalan yang cerdas, mustahil untuk mengatasinya. Di antara tugas-tugas yang populer pada saat itu, kita dapat mencatat perpindahan pesawat ruang angkasa yang paling ekonomis dari satu orbit elips ke orbit elips lainnya dan pendaratan lunak di Bulan. Pencapaian utama pada periode itu adalah prinsip maksimum Pontryagin - alat universal yang kuat yang memungkinkan Anda memilih kelas strategi pengendalian yang cukup sempit, di antaranya hanya yang optimal.

Prinsip maksimum Pontryagin sangat baik bila diterapkan pada model "linier" sederhana, namun kehilangan efektivitasnya dan harus dilengkapi dengan cara lain ketika mempelajari sistem dengan struktur nonlinier yang lebih kompleks. Mari kita kembali ke contoh ayunan. Jika amplitudo osilasi kecil, maka sistem hampir linier dan periode osilasi hampir tidak bergantung pada amplitudo. Prinsip maksimum memberikan hukum perilaku optimal yang sederhana dan tidak ambigu untuk pendekatan linier: Anda perlu berpindah dari satu sisi ke sisi lain tepat setelah setengah periode dan setiap kali menggunakan gaya maksimum yang mungkin. Pada saat yang sama, pada amplitudo yang besar, ketika sistem secara signifikan nonlinier, rekomendasi prinsip maksimum menjadi sangat rumit dan tidak lagi ambigu.

Aturan baru tentang perilaku optimal, melengkapi prinsip maksimum, disediakan oleh teori kontrol geometri yang saat ini sedang dikembangkan secara aktif. Faktanya adalah bahwa geometri modern memungkinkan Anda untuk memperluas kemampuan kontrol, bermain dengan urutan dan durasi penerapan beberapa manuver sederhana, memilih kombinasi manuver "harmonis" yang optimal, yang hasilnya masing-masing sudah diketahui dan cukup dangkal. Mirip dengan bagaimana sebuah simfoni terdiri dari beberapa nada, hanya saja dalam matematika semuanya lebih akurat, lebih ketat dan lebih simetris, meskipun tidak terlalu emosional.

Teori kontrol geometris digunakan dalam navigasi ruang angkasa, robotika, dan banyak bidang lainnya, tetapi mungkin penerapan modern yang paling populer adalah dalam sistem kuantum (mulai dari perangkat medis resonansi magnetik nuklir hingga manipulasi kimiawi pada molekul individu). Pesona teori kontrol geometri terletak, antara lain, pada kesempatan langka untuk mewujudkan, melihat dan “menyentuh” konsep-konsep matematika abstrak yang indah dan mendalam, dan, tentu saja, menciptakan konsep-konsep baru!

literatur

Tikhomirov V.M. Cerita tentang suka dan duka. - M.: Nauka, 1986. - (Perpustakaan “Quantum”; Edisi 56). — [Cetak ulang: M.: MTsNMO, 2006, 2017].

Protasov V.Yu. Maxima dan minimum dalam geometri. - M.: MTsNMO, 2012. - (Perpustakaan “Pendidikan Matematika”; Edisi 31).

Kontrol optimal proses teknologi(Kuliah)

RENCANA KULIAH

1. Konsep dasar mencari ekstrem suatu fungsi

2. Klasifikasi metode pengendalian optimal

1. Konsep dasar mencari ekstrem suatu fungsi

Setiap rumusan matematis dari suatu masalah optimal sering kali sama atau setara dengan masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi dari satu atau banyak variabel bebas. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat digunakan secara optimal berbagai metode mencari ekstrem.

Secara umum masalah optimasi dirumuskan sebagai berikut:

Temukan kelebihan fungsi R (x), di mana XX

R (x) – disebut fungsi tujuan atau fungsi atau kriteria optimasi atau fungsi yang dioptimalkan

X adalah variabel independen.

Seperti diketahui, syarat-syarat yang diperlukan bagi keberadaan suatu ekstrem dari fungsi kontinu R (x) dapat diperoleh dari analisis turunan pertama. Dalam hal ini, fungsi R (x) dapat memiliki nilai ekstrim untuk nilai variabel bebas X tersebut, dimana turunan pertamanya sama dengan 0. yaitu. =0. Secara grafis, jika turunannya nol berarti garis singgung kurva R(x) di titik ini sejajar dengan sumbu absis.

Turunannya =0 sama kondisi yang diperlukan ekstrim.

Namun, persamaan turunan dengan nol tidak berarti terdapat titik ekstrem pada titik ini. Untuk akhirnya memastikan bahwa memang ada titik ekstrim pada titik ini, perlu dilakukan penelitian tambahan yang terdiri dari metode sebagai berikut:

1. Metode membandingkan nilai fungsi

Nilai fungsi R (x) pada titik ekstrem yang “diduga” X K dibandingkan dengan dua nilai fungsi R (x) yang bertetangga di titik X K-ε dan X K+ε, di mana ε adalah nilai kecil nilai positif. (Gbr. 2)

Jika kedua nilai hitung R (X K+ε) dan R (X K-ε) ternyata lebih kecil atau lebih besar dari R (X K), maka di titik X K terdapat maksimum atau minimum dari fungsi R (X).

Jika R (X K) mempunyai nilai tengah antara R (X K-ε) dan R (X K+ε), maka fungsi R (x) tidak mempunyai maksimum dan minimum.

2. Metode membandingkan tanda-tanda turunan

Mari kita perhatikan kembali fungsi R (X K) di sekitar titik X K, yaitu. X K+ε dan X K-ε. Dengan metode ini, tanda turunan di sekitar titik X K dipertimbangkan. Jika tanda turunan di titik X K-ε dan X K + ε berbeda, maka terdapat titik ekstrem di titik X K. Dalam hal ini, jenis ekstrem (min atau maks) dapat dicari dengan mengubah tanda turunannya ketika berpindah dari titik X K-ε ke titik X K+ε.

Jika tandanya berubah dari “+” menjadi “-”, maka di titik X K ada maksimum (Gbr. 3b), jika sebaliknya dari “-” menjadi “+”, maka ada minimum. (Gbr. 3a)

3. Metode mempelajari tanda-tanda turunan yang lebih tinggi.

Metode ini digunakan dalam kasus di mana pada titik “yang diduga” di titik ekstrem terdapat turunan dari orde yang lebih tinggi, yaitu. fungsi R (X K) tidak hanya kontinu saja, tetapi juga mempunyai turunan kontinu dan .

Metodenya adalah sebagai berikut:

Pada intinya X K“mencurigai” secara ekstrem, dan hal itu memang benar

nilai turunan kedua dihitung.

Jika pada saat yang sama , maka di titik X K maksimum,

Jika , maka di titik X K minimum.

Saat memecahkan masalah optimasi praktis, yang perlu dicari bukanlah nilai min atau maksimal dari fungsi R (X K), tetapi nilai terbesar atau terkecil dari fungsi ini, yang disebut ekstrem global. (Gbr. 4)

Secara umum, masalah optimasi terdiri dari mencari titik ekstrem dari fungsi R (X), dengan adanya batasan tertentu pada persamaan model matematika.

Jika R(X) linier, dan daerah penyelesaian yang layak ditentukan oleh persamaan dan pertidaksamaan linier, maka masalah mencari ekstrem suatu fungsi termasuk dalam kelas masalah program linier.

Seringkali himpunan X didefinisikan sebagai sistem fungsi

Maka pernyataan matematis dari masalah program linier terlihat seperti ini:

Jika fungsi target R(X) atau salah satu kendalanya bukan merupakan fungsi linier, maka tugas mencari ekstrem dari fungsi R(X) termasuk dalam kelas masalah pemrograman nonlinier.

Jika tidak ada batasan yang dikenakan pada variabel X, maka permasalahan seperti ini disebut permasalahan ekstrem tak bersyarat.

Contoh masalah optimasi yang umum

Masalah tentang sekotak volume maksimum.

Dari blanko ini, empat kotak genap harus dipotong di sudutnya, dan gambar yang dihasilkan (Gbr. 5 b) harus ditekuk sehingga membentuk kotak tanpa penutup atas (Gbr. 6.5 c). dalam hal ini, perlu untuk memilih ukuran kotak yang dipotong sehingga Anda mendapatkan kotak dengan volume maksimum.

Dengan menggunakan contoh soal ini, kita dapat mengilustrasikan seluruh elemen dari permasalahan optimasi setting.

Beras. 5. Skema pembuatan kotak dari blanko persegi panjang dengan ukuran tetap

Fungsi evaluasi dalam soal ini adalah volume kotak yang diproduksi. Masalahnya adalah memilih ukuran kotak yang akan dipotong. Memang jika ukuran kotak yang dipotong terlalu kecil, maka akan diperoleh kotak lebar dengan tinggi rendah, yang berarti volumenya akan kecil. Sebaliknya, jika ukuran kotak yang dipotong terlalu besar, maka akan diperoleh kotak sempit yang sangat tinggi, yang berarti volumenya juga akan kecil.

Pada saat yang sama, pilihan ukuran kotak yang dipotong dipengaruhi oleh batasan ukuran benda kerja aslinya. Memang, jika Anda memotong kotak dengan sisi yang sama dengan setengah sisi benda kerja aslinya, maka tugas tersebut menjadi tidak ada artinya. Sisi kotak yang dipotong juga tidak boleh melebihi setengah sisi benda kerja asli, karena hal ini tidak mungkin dilakukan karena alasan praktis. Oleh karena itu, rumusan masalah ini harus mengandung beberapa batasan.

Rumusan matematis dari masalah kotak dengan volume maksimum. Untuk merumuskan masalah ini secara matematis, perlu dipertimbangkan beberapa parameter yang mencirikan dimensi geometris kotak. Untuk tujuan ini, kami akan melengkapi rumusan masalah substantif dengan parameter yang sesuai. Untuk tujuan ini, kita akan mempertimbangkan blanko persegi yang terbuat dari bahan fleksibel yang memiliki panjang sisi L (Gbr. 6). Dari bagian yang kosong ini Anda harus memotong empat kotak genap dengan sisi di sudutnya, dan menekuk gambar yang dihasilkan sehingga Anda mendapatkan sebuah kotak tanpa penutup atas. Tugasnya adalah memilih ukuran kotak yang dipotong sehingga hasilnya adalah kotak dengan volume maksimal.

Beras. 6. Diagram pembuatan dari blanko persegi panjang yang menunjukkan dimensinya

Untuk merumuskan masalah ini secara matematis, perlu ditentukan variabel-variabel masalah optimasi yang bersangkutan, menetapkan fungsi tujuan dan menentukan batasan. Sebagai variabel, kita harus mengambil panjang sisi persegi yang dipotong r, yang dalam kasus umum, berdasarkan rumusan masalah yang bermakna, mengambil nilai riil kontinu. Fungsi tujuan adalah volume kotak yang dihasilkan. Karena panjang sisi alas kotak sama dengan: L - 2r, dan tinggi kotak sama dengan r, maka volumenya dicari dengan rumus: V (r) = (L -2r) 2 hal. Berdasarkan pertimbangan fisis, nilai variabel r tidak boleh negatif dan melebihi setengah ukuran benda kerja asli L, yaitu. 0,5L.

Untuk nilai r = 0 dan r = 0,5 L, solusi yang sesuai untuk soal kotak dinyatakan. Memang, dalam kasus pertama benda kerja tetap tidak berubah, tetapi dalam kasus kedua benda kerja dipotong menjadi 4 bagian yang identik. Karena solusi ini mempunyai interpretasi fisik, masalah kotak, untuk kemudahan formulasi dan analisisnya, dapat dianggap sebagai optimasi dengan batasan seperti ketidaksetaraan tidak ketat.

Untuk tujuan penyatuan, kami menyatakan variabel dengan x = r, yang tidak mempengaruhi sifat masalah optimasi yang sedang diselesaikan. Maka rumusan matematis masalah kotak dengan volume maksimum dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

dimana (1)

Fungsi tujuan permasalahan ini adalah nonlinier, sehingga permasalahan kotak ukuran maksimum termasuk dalam kelas permasalahan pemrograman nonlinier atau optimasi nonlinier.

2. Klasifikasi metode pengendalian optimal

Optimalisasi proses terdiri dari menemukan fungsi optimal yang sedang dipertimbangkan atau kondisi optimal untuk menjalankan proses ini.

Untuk mengevaluasi optimal, pertama-tama perlu memilih kriteria optimasi. Biasanya, kriteria optimasi dipilih dari kondisi tertentu. Ini bisa berupa kriteria teknologi (misalnya, kandungan Cu dalam terak pembuangan) atau kriteria ekonomi (biaya minimum suatu produk dengan produktivitas tenaga kerja tertentu), dll. Berdasarkan kriteria optimasi yang dipilih, fungsi tujuan dikompilasi, yang mewakili ketergantungan kriteria optimasi pada parameter yang mempengaruhi nilainya. Masalah optimasi adalah mencari titik ekstrem dari fungsi tujuan. Tergantung pada sifat masalah yang sedang dipertimbangkan model matematika Berbagai metode optimasi matematis diadopsi.

Rumusan umum masalah optimasi adalah sebagai berikut:

1. Pilih kriteria

2. Persamaan model disusun

3. Diberlakukan sistem pembatasan

4. Solusi

model - linier atau nonlinier

Pembatasan

Bergantung pada struktur model, berbagai metode optimasi digunakan. Ini termasuk:

1. Metode optimasi analitik (pencarian analitis ekstrem, metode pengali Lagrange, metode variasi)

2. Pemrograman matematika (pemrograman linier, pemrograman dinamis)

3. Metode gradien.

4. Metode statistik (Analisis regresi)

Pemrograman linier. Dalam permasalahan program linier, kriteria optimalitas disajikan sebagai:

dimana diberikan koefisien konstan; Variabel tugas.

Persamaan model merupakan persamaan linear (polinomial) yang berbentuk yang dikenakan pembatasan berupa persamaan atau ketimpangan, yaitu. (2)

Dalam permasalahan program linier biasanya diasumsikan bahwa semua variabel bebas X j adalah non-negatif, yaitu

Solusi optimal untuk masalah program linier adalah himpunan nilai non-negatif dari variabel bebas

Yang memenuhi kondisi (2) dan memberikan, tergantung pada rumusan masalah, nilai maksimal atau minimum dari kriteria tersebut.

Interpretasi geometrisnya adalah: - kriteria adanya batasan pada variabel X 1 dan X 2 yang berjenis persamaan dan pertidaksamaan

R mempunyai nilai konstan sepanjang garis l. Solusi optimalnya berada di titik S, karena pada titik ini kriterianya akan maksimal.Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah optimasi program linier adalah metode simpleks.

Pemrograman nonlinier. Rumusan matematis masalah pemrograman nonlinier adalah sebagai berikut: Tentukan ekstrem fungsi tujuan , yang berbentuk nonlinier.

Berbagai batasan seperti persamaan atau ketidaksetaraan dikenakan pada variabel independen

Saat ini, cukup banyak metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier.

Ini termasuk: 1) Metode gradien (metode gradien, metode penurunan paling curam, metode gambar, metode Rosenbrock, dll.)

2) Metode bebas gradien (metode Gauss-Seidel, metode pemindaian).

Metode optimasi gradien

Metode-metode ini termasuk dalam metode numerik dari jenis pencarian. Inti dari metode tersebut adalah menentukan nilai variabel bebas yang memberikan perubahan fungsi tujuan terbesar (terkecil). Hal ini biasanya dicapai dengan bergerak sepanjang gradien ortogonal terhadap permukaan kontur pada titik tertentu.

Mari pertimbangkan metode gradien. Metode ini menggunakan gradien fungsi tujuan. Dalam metode gradien, langkah-langkah diambil dalam arah penurunan fungsi tujuan yang paling cepat.

Beras. 8. Mencari nilai minimum menggunakan metode gradien

Pencarian optimal dilakukan dalam dua tahap:

Tahap 1: - mencari nilai turunan parsial untuk semua variabel bebas yang menentukan arah gradien pada titik yang bersangkutan.

Tahap 2: - langkah diambil dalam arah yang berlawanan dengan arah gradien, yaitu. ke arah penurunan fungsi tujuan yang paling cepat.

Algoritma metode gradien dapat ditulis sebagai berikut:

(3)

Sifat pergerakan ke optimal dengan metode penurunan paling curam adalah sebagai berikut (Gbr. 6.9), setelah gradien fungsi yang dioptimalkan ditemukan pada titik awal dan dengan demikian arah penurunan tercepat pada titik yang ditentukan ditentukan, langkah penurunan diambil ke arah ini. Jika nilai fungsi berkurang akibat langkah ini, maka langkah lain diambil dalam arah yang sama, dan seterusnya sampai ditemukan nilai minimum pada arah ini, setelah itu gradien dihitung lagi dan arah baru yang tercepat. penurunan fungsi tujuan ditentukan.

Metode bebas gradien untuk mencari ekstrem. Metode ini, berbeda dengan metode gradien, dalam proses pencariannya menggunakan informasi yang diperoleh bukan dari analisis turunan, tetapi dari penilaian komparatif terhadap nilai kriteria optimalitas sebagai hasil dari melakukan langkah berikutnya.

Metode bebas gradien untuk mencari titik ekstrem meliputi:

1. metode rasio emas

2. metode menggunakan bilangan Fibonium

3. Metode Gaus-Seidel (metode memperoleh perubahan suatu variabel)

4. metode pemindaian, dll.