Optimální automatické řídicí systémy jsou systémy, ve kterých je řízení prováděno tak, že požadované kritérium optimality má extrémní hodnotu. Okrajové podmínky definující počáteční a požadované konečné stavy systému, technologický cíl systému. tн Nastavuje se v případech, kdy je zvláště zajímavá průměrná odchylka za určitý časový interval a úkolem řídicího systému je zajistit minimum tohoto integrálního...

Sdílejte svou práci na sociálních sítích

Pokud vám tato práce nevyhovuje, dole na stránce je seznam podobných prací. Můžete také použít tlačítko vyhledávání

Optimální ovládání

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Základy teorie automatické regulace a řízení. M.: Vyšší škola, 1977. 519 s. P. 477 491.

Optimální samohybná děla jde o systémy, ve kterých je řízení prováděno tak, že požadované kritérium optimality má extrémní hodnotu.

Příklady optimální správy objektů:

1. Řízení pohybu rakety za účelem dosažení dané výšky nebo doletu s minimální spotřebou paliva;
2. Řízení pohybu mechanismu poháněného motorem, který by minimalizoval náklady na energii;
3. Řízení jaderného reaktoru pro maximální výkon.

Problém optimálního řízení je formulován následovně:

„Najděte takový zákon změny v čase kontroly u(t ), ve kterém se systém za daných omezení bude pohybovat z jednoho daného stavu do druhého optimálním způsobem v tom smyslu, že funkční já , vyjadřující kvalitu procesu, dostane extrémní hodnotu “.

Chcete-li vyřešit problém optimálního ovládání, potřebujete vědět:

1. Matematický popis objektu a prostředí, spojující hodnoty všech souřadnic zkoumaného procesu, řídících a rušivých vlivů;

2. Fyzikální omezení souřadnic a řídicí zákon, vyjádřené matematicky;

3. Okrajové podmínky definující počáteční a požadované konečné stavy systému

(technologický cíl systému);

4. Objektivní funkce (funkční kvalita

matematický cíl).

Matematicky je kritérium optimality nejčastěji prezentováno jako:

t to

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + φ [ y (t až), t až ], (1)

t n

kde první člen charakterizuje kvalitu kontroly nad celým intervalem ( tn, tn) a nazývá se

integrální složka, druhý člen

charakterizuje přesnost v konečném (koncovém) časovém bodě t až .

Výraz (1) se nazývá funkcionál, protože já záleží na volbě funkce u(t ) a výsledné y(t).

Lagrangeův problém.Minimalizuje funkčnost

t to

I=∫f o dt.

t n

Používá se v případech, kdy je zvláště zajímavá průměrná odchylka v čase.

určitý časový interval a úkolem řídicího systému je zajistit minimum tohoto integrálu (zhoršení kvality produktu, ztráta atd.).

Příklady funkcí:

I =∫ (t) dt kritérium pro minimální chybu v ustáleném stavu, kde x(t)

1. odchylka řízeného parametru od zadané hodnoty;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min kritérium pro maximální rychlost samohybných děl;

I =∫ dt = > min kritérium optimální účinnosti.

Mayerův problém. V tomto případě je minimalizována funkce definovaná pouze koncovou částí, tzn.

I = φ =>min.

Například pro řídicí systém letadla popsaný rovnicí

F o (x, u, t),

můžete nastavit následující úkol: určit ovládání u (t), t n ≤ t ≤ t k tak, že pro

daný čas letu k dosažení maximálního doletu, za předpokladu, že v posledním časovém okamžiku t to Letadlo přistane, tzn. x (t až ) =0.

Boltzův problém redukuje na problém kritéria minimalizace (1).

Základní metody řešení problémů optimálního řízení jsou:

1.Klasický variační počet Eulerova věta a rovnice;

2. Princip maximální L.S. Pontryagin;

3.Dynamické programování R. Bellmana.

EULEROVA ROVNICE A VĚTA

Nechť je dána funkce:

t to

I =∫ f o dt ,

t n

Kde některé dvakrát diferencovatelné funkce, mezi nimiž je nutné takové funkce najít ( t ) nebo extrémy , které splňují zadané okrajové podmínky x i (t n), x i (t k ) a minimalizovat funkčnost.

Mezi řešeními Eulerovy rovnice se nacházejí extrémy

já = .

Pro zjištění skutečnosti minimalizace funkčnosti je nutné zajistit, aby byly Lagrangeovy podmínky splněny podél extrémů:

podobné požadavkům na kladnost druhé derivace v minimálním bodě funkce.

Eulerova věta: „Pokud extrém funkčního já existuje a je dosahováno mezi hladkými křivkami, pak jej lze dosáhnout pouze na extrémech.“

MAXIMÁLNÍ PRINCIP L.S.PONTRYAGINA

Škola L.S. Pontryagina formulovala větu o nutné podmínce optimality, jejíž podstata je následující.

Předpokládejme, že diferenciální rovnice objektu spolu s neměnnou částí řídicího zařízení je uvedena v obecném tvaru:

K ovládání u j omezení mohou být uložena například ve formě nerovností:

, .

Účelem ovládání je přenést objekt z počátečního stavu ( t n ) do konečného stavu ( t to ). Konec procesu t to může být pevná nebo bezplatná.

Nechť je kritériem optimality minimum funkcionálu

I = dt.

Zaveďme pomocné proměnné a utvořme funkci

Fo ()+ f () f ()+

Princip maxima říká, že aby byl systém optimální, tzn. pro získání minima funkcionálu je nutné existovat takové nenulové spojité funkce splňující rovnici

To pro jakékoliv t , který se nachází v daném rozsahu t n≤ t ≤ t k hodnota H v závislosti na přípustné kontrole dosahuje maxima.

Maximum funkce H je určeno z podmínek:

pokud nedosahuje hranic regionu, a jako supremum funkce H, jinak.

Dynamické programování R. Bellmana

Princip optimality R. Bellmana:

"Optimální chování má tu vlastnost, že bez ohledu na počáteční stav a rozhodnutí v počátečním okamžiku musí následná rozhodnutí představovat optimální chování vzhledem ke stavu vyplývajícímu z prvního rozhodnutí."

„Chování“ systému by mělo být pochopeno hnutí tyto systémy a termín"rozhodnutí" odkazujevolba zákona změny v čase řídících sil.

V dynamickém programování se proces hledání extrémů dělí na n kroky, zatímco v klasickém variačním počtu se hledá celý extrém.

Proces hledání extrému je založen na následujících premisách principu optimality R. Bellmana:

1. Každý segment optimální trajektorie je sám o sobě optimální trajektorií;
2. Optimální proces na každém místě nezávisí na jeho historii;
3. Optimální řízení (optimální trajektorie) se hledá pomocí zpětného pohybu [od y (T) až y (T -∆), kde ∆ = T/ N, N počet úseků trajektorie atd.].

Heuristicky jsou Bellmanovy rovnice pro požadované úlohy odvozeny pro spojité a diskrétní systémy.

Adaptivní ovládání

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Vybrané kapitoly z teorie automatického řízení s příklady v jazyce MATLAB . Petrohrad: Nauka, 1999. 467 s. Kapitola 12.

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Základy teorie automatické regulace a řízení. M.: Vyšší škola, 1977. 519 s. S. 491 499.

Ankhimyuk V.L., Opeiko O.F., Mikheev N.N. Teorie automatického řízení. Mn.: Design PRO, 2000. 352 s. S. 328 340.

Potřeba adaptivních řídicích systémů vzniká z důvodu značné komplikace řešených problémů řízení a specifikem této komplikace je nedostatek praktických příležitostí pro detailní studium a popis procesů probíhajících v řízeném objektu.

Například moderní vysokorychlostní letadla, o jejichž charakteristikách nelze za všech provozních podmínek získat přesná a priori data z důvodu výrazných změn atmosférických parametrů, velkých rozsahů letových rychlostí, dosahů a výšek, jakož i z důvodu přítomnosti široké škály parametrických a externích poruch.

Některé řídicí objekty (letadla a rakety, technologické procesy a elektrárny) se vyznačují tím, že se jejich statické a dynamické vlastnosti v širokém rozsahu mění předem nepředpokládaným způsobem. Optimální správa takových objektů je možná pomocí systémů, ve kterých chybějící informace automaticky doplňuje systém sám za provozu.

adaptivní (lat.) adaptio zařízení) jsou takové systémy, které při změně parametrů objektů nebo charakteristik vnějších vlivů za provozu, samostatně, bez zásahu člověka, mění parametry regulátoru, jeho strukturu, nastavení nebo regulační vlivy tak, aby byl zachován optimální provozní režim regulátoru. objekt.

Tvorba adaptivních řídicích systémů se provádí v zásadně odlišných podmínkách, tzn. adaptivní metody by měly pomoci dosáhnout Vysoká kvalitařízení při absenci dostatečné úplnosti apriorních informací o vlastnostech řízeného procesu nebo za podmínek nejistoty.

Klasifikace adaptivních systémů:

Samopřizpůsobení

(adaptivní)

Řídící systémy

Samonastavovací Samoučící se systémy s adaptací

Systémové systémy ve speciálních fázích

států

Vyhledávání Searchless- Training- Training- Relay Adaptive

(extrémní (analyzováno s pobídkami bez samooscilačního systému s

Nové) tikové motivační proměnné

Systémy systémy struktura systémů

Strukturní diagram klasifikace AS (podle povahy adaptačního procesu)

Samonastavovací systémy (SNS)jsou systémy, ve kterých se adaptace na měnící se provozní podmínky provádí změnou parametrů a řídicích akcí.

SamoorganizaceJedná se o systémy, ve kterých se adaptace provádí změnou nejen parametrů a řídicích akcí, ale také struktury.

Sebevzděláváníjedná se o automatický řídicí systém, ve kterém se pomocí řídicího zařízení určuje optimální provozní režim řízeného objektu, jehož algoritmus je automaticky cíleně vylepšován v procesu učení automatickým vyhledáváním. Vyhledávání probíhá pomocí druhého ovládacího zařízení, které je organickou součástí samoučícího se systému.

Ve vyhledávačích systémy, změna parametrů regulačního zařízení nebo regulační akce se provádí v důsledku hledání podmínek pro extrém ukazatelů kvality. Hledání extrémních podmínek v systémech tohoto typu se provádí pomocí zkušebních vlivů a hodnocenízískané výsledky.

V nehledání systémů se stanovení parametrů regulačního zařízení nebo regulačních úkonů provádí na základě analytického stanovení podmínek, které zajišťují stanovenou kvalitu řízení bez použití speciálních vyhledávacích signálů.

Systémy s adaptace ve speciálních fázových stavechpoužívat speciální režimy nebo vlastnosti nelineárních systémů (samooscilační režimy, posuvné režimy) k organizaci řízených změn dynamických vlastností řídicího systému. Speciálně organizované speciální režimy v takových systémech slouží buď jako další zdroj provozních informací o měnících se provozních podmínkách systému, nebo dodávají řídicím systémům nové vlastnosti, díky nimž jsou dynamické charakteristiky řízeného procesu udržovány v požadovaných mezích. , bez ohledu na povahu změn, ke kterým dochází během provozu.

Při použití adaptivních systémů se řeší následující hlavní úkoly:

1 . Při provozu řídicího systému, při změně parametrů, struktury a vnějších vlivů, je zajištěno řízení, při kterém jsou zachovány stanovené dynamické a statické vlastnosti systému;

2 . Během procesu návrhu a uvádění do provozu, při počáteční absenci úplných informací o parametrech, struktuře řídicího objektu a vnějších vlivech, automatické nastavení systémy v souladu se stanovenými dynamickými a statickými vlastnostmi.

Příklad 1 . Adaptivní systém stabilizace úhlové polohy letadla.

f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f (t) f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

u (t) W 1 (p) W 0 (p) y (t)

+ -

Rýže. 1.

Adaptivní stabilizační systém letadla

Když se změní letové podmínky, změní se funkce přenosu W 0 (str ) letadla a následně dynamické vlastnosti celého stabilizačního systému:

. (1)

Rozhořčení zvenčí vnější prostředí f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), vedoucí k řízeným změnám parametrů systému, jsou aplikovány na různé body objektu.

Rušivý vliv f(t ) aplikované přímo na vstup řídicího objektu, na rozdíl od f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) nemění své parametry. Proto pouze za provozu systému f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t).

V souladu s principem zpětné vazby a výrazem (1) nekontrolované změny charakteristik W 0 (str ) v důsledku rušení a rušení způsobit relativně malé změny v parametrech Ф( p).

Pokud si dáme za úkol úplnější kompenzaci řízených změn tak, aby přenosová funkce Ф(р) stabilizačního systému letadla zůstala prakticky nezměněna, pak by se charakteristika regulátoru měla vhodně změnit. W 1 (str ). To se provádí v adaptabilní samohybné pistoli, vyrobené podle schématu na obr. 1. Parametry prostředí charakterizované signály f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), například rychlostní tlak v hlavě PH(t) , teplota okolí T0(t) a rychlost letu v(t) , jsou nepřetržitě měřeny senzory D 1, D 2, D 3 a aktuální hodnoty parametrů jsou odesílány do výpočetních zařízení B 1, B2, B3 , vytvářející signály, s jejichž pomocí se charakteristika upravuje W 1 (str ) pro kompenzaci změn charakteristik W0(p).

Nicméně v ASAU tohoto typu(s otevřenou smyčkou nastavení) neexistuje žádná vlastní analýza účinnosti kontrolovaných změn, které provádí.

Příklad 2. Systém řízení extrémní rychlosti letu letadla.

Z Rušení

Dopad

X3 = Xo-X2

Automatické zařízení X 0 Zesílení X 4 Výkonné X 5 Nastavitelné X 1

Objekt zařízení matematického převodníku

Extremum iska + - zařízení

Měření

přístroj

Obr. 2. Funkční schéma systému řízení extrémní rychlosti letu letadla

Extrémní systém určuje nejvýnosnější program, tzn. pak hodnotu X 1 (požadovaná rychlost letadla), která je potřeba v tento moment udržovat minimální spotřebu paliva na jednotku délky dráhy.

Z - charakteristika objektu; X 0 - kontrolní vliv na systém.

(hodnota spotřeby paliva)

y(0)

y(T)

Samoorganizující se systémy

Tyto normy samostatně normalizují každou složku mikroklimatu v pracovní oblast výrobní prostory: teplota, relativní vlhkost, rychlost pohybu vzduchu v závislosti na schopnosti lidského těla aklimatizovat se v různých ročních obdobích, povaze oděvu, náročnosti vykonávané práce a povaze vývinu tepla v pracovně . Změny teploty vzduchu výškově i horizontálně, stejně jako změny teploty vzduchu během směny při zajištění optimálních hodnot mikroklimatu na pracovišti by neměly... Management: koncepce, vlastnosti, systém a principy Orgány státní správy: koncepce, druhy a funkcí. Podle obsahu správní právo je státně-správní právo uskutečňující právní zájem většiny občanů, pro který jsou subjektům řízení svěřeny právně směrodatné pravomoci a zastupitelské funkce státu. Předmětem působení právních norem jsou proto specifické manažerské společenské vztahy vznikající mezi subjektem řízení manažerem a objekty... Vládní regulace sociální vývoj ekonomiky regionech. Místní rozpočty jako finanční základ pro socioekonomický rozvoj regionu. Různá území Ukrajiny mají své vlastní charakteristiky a odlišnosti jak z hlediska ekonomického rozvoje, tak v sociálních, historických, jazykových a mentálních aspektech. Z těchto problémů musíme nejprve zmínit nedokonalost sektorová struktura z většiny regionálních ekonomických komplexů jejich nízká ekonomická účinnost; výrazné rozdíly mezi regiony v úrovních...

Materiál o optimálním řízení, který je zde uveden, kombinuje teorii a praxi optimálního řízení. Než byl napsán a prezentován, byly vytvořeny skutečné optimální systémy, jejichž výsledky posloužily jako základ pro tvorbu řízených systémů v EFFLY designeru. Jak ukázaly studie, provoz optimálních systémů vytvořených v softwarovém návrháři se zásadně neliší od provozu systémů v reálných podmínkách.

To je dobrá zpráva, protože nyní můžete cvičit, pozorovat optimální systémy v akci a zkoumat principy optimálního ovládání, zatímco sedíte před obrazovkou počítače. Za tímto účelem jsou zde odkazy na soubory stávajících optimálních systémů. Pro přístup ke cvičení potřebujete pouze prostředí Excel.

Byl bych velmi vděčný, kdybyste napsal pár slov o tom, co je podle vás potřeba přidat, aby byl materiál dostupnější a užitečnější, tzn. optimálnější:-). Odkazy pro komunikaci jsou dále v textu.

1. Úvod

Abychom dosáhli našich cílů, provádíme širokou škálu operací. V každodenním životě však jen zřídka přemýšlíme o tom, co je vytvořeno k provádění operace a jak efektivně je prováděno. Něco jiného je, když se podobné operace provádějí pravidelně formou technologického procesu a na efektivitě takových operací závisí tempo rozvoje a konkurenceschopnosti podniku. V tomto případě se snažíme, aby prováděné operace byly co nejefektivnější, nejlepší, resp. optimální.

Optimalizace a optimální ovládání jsou velmi módní a oblíbené pojmy. Asi vás ale velmi překvapím, když řeknu, že o optimálním ovládání je i přes bezpočet publikací v nejrůznějších zdrojích opravdu kvalitních informací velmi málo. Obvykle jsou převyprávěny některé obrazné fráze o „kormidlích“, základní pojmy o omezeních procesu řízení a neomezenosti kontrol v rámci uložených omezení. Obvykle se také hodně mluví o optimálních kontrolních kritériích (jako by jich mohlo být mnoho). A dokonce poskytují konkrétní vyjádření optimalizačních kritérií, u kterých nikdo nekontroloval jejich přiměřenost.

Optimální řízení je zkrátka technologický proces skládající se z mnoha operací s takovými parametry, které do určitého okamžiku zajistí příjem maximálního cílového produktu.

Abyste pochopili, o jakém cílovém produktu mluvíme, musíte si udělat představu procesní fyzika a on kybernetika a poté porozumět procesu optimalizace.

2. Fyzika obecných procesů výrobních systémů

Aby se vypořádal s principy optimálního ovládání, nelze se obejít bez pochopení fyziky procesů, které jsou základem jakékoli technologické operace. Tyto principy jsou obecné, a proto, když je pochopíte na příkladu jednoho konkrétního procesu, můžete nabyté znalosti bezpečně využít, spoléhat se na zobecněný kybernetický model aktuátoru operace.

Jako příklad budeme podrobně zvažovat provoz ohřevu kapaliny. Současně můžete provádět svůj vlastní výzkum, pokud máte potřebné jednoduché vybavení a určité zkušenosti. Můžete také využít pozorování procesů řízeného topného systému sestaveného v prostředí EFFLY. Nebo můžete materiál jednoduše zvládnout analýzou hotových dat zobrazených v grafech.

Takže musíme provádět operace ohřevu kapaliny v cyklu, abychom dosáhli optimálního režimu ohřevu. K provedení topného provozu použijeme elektrický ohřívač - topné těleso, s regulátorem výkonu. Topné těleso se spustí do nádoby s kapalinou a rychlost ohřevu závisí na výkonu přenášeném do elektrického spotřebiče.

Co je v tomto případě podstatou managementu? Vše je velmi jednoduché. Nastavíme určité množství dodávky elektřiny a provedeme provoz topení. Nastavení regulátoru výkonu do jedné z možných poloh je ovládání. V závislosti na ovládání se tedy bude měnit rychlost ohřevu, množství spotřeby elektrické energie a opotřebení topného mechanismu topného tělesa (obr. 1-3).

Z grafu (obr. 1) vyplývá, že zvýšení dodávky elektrické energie vede k poklesu spotřeby energie na provoz. Jak to lze vysvětlit?

Obr.1 Změna spotřeby energie provozu vytápění z regulace

Jde o to, že při nízké rychlosti ohřevu má ohřátá kapalina čas se uvolnit velký počet tepla do okolí. Čím vyšší je rychlost ohřevu, tím méně tepelné ztráty. Pro procesy s vysokou účinností technologického mechanismu je to typický obrázek. Proč má topné těleso vysokou účinnost? Protože je ponořen do kapaliny a téměř úplně jí odevzdává svou energii (malá část energie se ztrácí v drátech).

Rovněž z grafu změn opotřebení od řízení (obr. 2) vyplývá, že čím vyšší je produktivita procesu, tím vyšší je opotřebení technologického mechanismu.

Obr.2 Změna opotřebení mechanismu provozu topení od ovládání

Navíc se zvyšující se produktivitou neúměrně roste opotřebení, ale mocenským způsobem. Koeficient výkonové funkce opotřebení mechanismu na produktivitu je stanoven experimentálně. Obecně je třeba mluvit o opotřebení každého mechanismu systému.

A samozřejmě čím větší množství dodané energie, tím vyšší rychlost procesu, a tedy kratší doba provozu (obr. 3). To je jasné. Ale skutečná závislost je také nelineární, jak je vidět z grafu.

Obr.3 Změna doby provozu topení z regulace

Každé ovládání tedy odpovídá vlastní spotřebě energetického produktu, vlastnímu opotřebení provozních mechanismů a vlastní době provozu. Povahu změn máme nyní k dispozici.

To je vlastně vše, co potřebujete vědět o fyzice procesu zahřívání kapaliny s topným tělesem ponořeným do ní, abyste pochopili podstatu přirozených mechanismů, které jsou základem optimální řídicí technologie.

Napište autorovi.

3. Kybernetika procesů výrobních systémů

Žijeme ve světě, který se řídí velmi specifickými zákony. Tyto zákony jsou rozděleny do dvou tříd. Znalost prvotřídních zákonů nám umožňuje odpovědět na otázku: "Proč se to děje?" Třída takových věd zahrnuje: fyziku, chemii, astronomii.

Druhá třída zahrnuje vědy, které odpovídají na otázku: "Proč nebo za jakým účelem?" Významným představitelem této třídy věd je kybernetika.

3.1 Poslání a účel řízení výrobních systémů

V procesu optimálního řízení se řeší dva dosti nezávislé problémy, za jejichž řešení zodpovídají dvě nezávislé struktury výrobního systému.

Prvním úkolem je vytvořit produkt, který má specifikované spotřebitelské kvality. V našem případě je spotřebním produktem provozu ohřátá kapalina. Obecně lze říci, že posláním systému je vytvořit užitečný produkt se specifikovanými spotřebitelskými kvalitami. Užitečný produkt je vytvářen technickým subsystémem pod kontrolou technologického subsystému. Tento technologický subsystém se často nazývá řídicí systém.

Nikdo ale za žádnou cenu nevytvoří užitečný produkt. Parametry vstupních produktů provozu a následně i parametry procesu je proto nutné volit tak, aby odborné posouzení vstupních produktů provozu bylo menší než odborné posouzení výstupních produktů provozu. . V ekonomické systémy Nepracují s odbornými odhady, ale s nákladovými.

Potřebujeme například přepravit náklad z bodu A do bodu B. K tomu potřebujeme vozidlo a energetický produkt. Operaci vědomě provedeme pouze v případě, že náklady na více opotřebované vozidlo, zbývající PHM a produkt v bodě B jsou námi oceněny výše než méně opotřebované vozidlo, nespotřebované palivo a náklad v bodě A. Tzn. bojujeme za zvýšení rozdílu mezi vstupními a výstupními náklady.

Maximalizace rozdílu mezi expertními odhady výstupních a vstupních produktů cyklu řízených operací je cílem managementu (jedná se o druhý problém s řízením), a samotný rozdíl je cílový produkt. Zodpovědný za maximalizaci hodnoty cílového produktu výrobního systému optimalizační subsystém.

Vezměte prosím na vědomí, že mluvíme o tomÓ cyklus operací(proces), ne o samostatný provoz. K tomuto bodu se vrátíme o něco později, ale nyní si povíme, jak přejít od přirozených ukazatelů vstupních a výstupních produktů ke srovnatelným ukazatelům.

3.2 Redukce kvantitativních parametrů transakčních produktů na srovnatelné hodnoty

Provedení jakékoli operace od nás vyžaduje určité investice. Pro provoz ohřevu kapaliny potřebujeme část samotné studené kapaliny, určeno množstvím energie a část zdroje mechanismu, která se během provozu opotřebuje. Přínos každého z těchto produktů k provozu posuzujeme jinak. Toto posouzení je spojeno s pojmem odborné posouzení produktu operace, které je vyjádřeno odborným posouzením jednotky produktu a jeho kvantitativním posouzením. Vzhledem k tomu, že systém vytápění lze považovat za systém technický a ekonomický, budeme používat známější ekonomický koncept„value assessment“, namísto kybernetického konceptu – „expertní hodnocení“.

V obecném případě se ocenění libovolného vstupního produktu operace určí z výrazu RE i =RS i ·RQ i, kde RQ i je množství i-tého produktu operace; RS i jsou jednotkové náklady i-tého produktu operace; RE i je ocenění i-tého produktu produktu operace.

Pro operaci tedy používáme 1 kubický metr kapaliny. Předpokládejme, že odhad nákladů na metr krychlový kapaliny je 0,8 denieru. Jednotky Pak se odhad nákladů na metr krychlový kapaliny bude rovnat RE cw =RQ cw ·RS cw =1·0,8=0,8 peněžních jednotek, kde RQ cw je objem kapaliny potřebný pro operaci; RS cw - odhad nákladů na krychli kapaliny; RE cw – odhad nákladů na objem tekutiny operace.

Vzhledem k tomu, že objem studené kapaliny potřebný pro další operaci se od kontroly nemění, bude graf hodnocení nákladů kapaliny v závislosti na kontrole RE cw (U) vypadat jako vodorovná přímka (obr. 4).

Spotřeba energetického produktu se liší provoz od provozu, takže odhad nákladů na spotřebu energie se bude provoz od provozu také měnit. Za předpokladu, že jedna kWh. náklady na elektřinu 0,3 den. jednotek je možné získat závislost změny nákladů na energii RE e na regulaci U, kde RE e (U) je odhad nákladů na energii spotřebovanou provozem na regulaci (obr. 4).

Zbývá určit změnu ve ztrátách zdrojů provozního mechanismu z řízení ve srovnatelných hodnotách nákladů (RE w (U)), s přihlédnutím k tomu, že jednotka ztráty zdrojů se odhaduje na 3 peněžní jednotky. (obr. 4).

Obr.4 Změna odhadů nákladů potřebného objemu elektřiny, kapaliny a stupně opotřebení topného tělesa provozu topení z regulace Obr.

Nyní, protože všechny vstupní produkty operace jsou vyjádřeny ve srovnatelných nákladových hodnotách, lze pro každou kontrolu určit jednu hodnotu celkových nákladů RE=RE cw +RE e +RE w (obr. 5).

Na stejném diagramu je vhodné prezentovat závislost odhadu ceny ohřívané kapaliny na regulaci PE(U) a doby provozu na regulaci T op (U) na přídavné ose.

Obr. 5 Změny odhadů nákladů vstupních a výstupních produktů provozu vytápění a doby provozu z regulace

Energetický produkt, samotná studená kapalina a ohřívací mechanismus mají pro nás zcela určitou hodnotu. Operace kapalného ohřevu tedy budeme provádět pouze v případě, že odborné posouzení vstupních produktů provozu je menší než odborné posouzení výsledného produktu provozu. V tomto případě budeme předpokládat, že náklady na kostku ohřáté kapaliny se odhadují na PS = 55 peněžních jednotek.

Upozorňujeme, že základní ukazatele RE, PE a T op jsou kybernetické, protože je lze získat pro jakýkoli provoz bez ohledu na povahu procesů a typ řízeného systému. Po zkonstruování funkcí RE(U), PE(U) a Top(U) jsme udělali další krok k odhalení podstaty optimální ovládání.

S jakými obtížemi jste látce porozuměli? Napište autorovi.

3.3 Kritérium pro optimální řízení výrobních systémů

Nyní, když jsme pochopili, že technický subsystém je zodpovědný za proces transformace vstupních produktů, technologický subsystém je zodpovědný za kvalitu výsledného produktu a optimalizační subsystém je zodpovědný za maximalizaci cílového produktu, můžeme přistoupit k otázce výběru optimální varianta.

Předpokládejme, že máme dvě možnosti výběru regulačních parametrů. Předpokládejme, že nastavením první sady regulačních parametrů získáme cyklicky se opakující operace s těmito základními ukazateli: RE=4 dny. jednotek, PE=7 peněžních jednotek, T op =7 hodin (obr. 6).

Obr.6 Proces formování cílového produktu pro první kontrolu

Jak probíhá proces dosažení cíle? Levý horní obdélník je odhad nákladů na zdroje operace. Máme 10 peněžních jednotek takových zdrojů. Protože operace vyžaduje prostředky ve výši 4 peněžních jednotek, je toto množství prostředků převedeno na provedení první operace, která je označena šipkou číslo 1.

Dokončení operace trvá 7 hodin a předpokládali jsme, že hodnota produktů operace je 7 jednotek. Protože druhá operace opět vyžaduje čtyři jednotky zdroje, zbývající tři se přesunou do skladu cílového produktu.

V cyklu provádíme tři operace, po kterých můžeme určit absolutní hodnotu cílového produktu operace. Toto je 16 den. jednotek. po 21 hodinách práce.

Nyní změníme ovládání a získáme cyklus operací s novými základními indikátory: RE=5 den. jednotky, PE=7 peněžních jednotek, Top=3 hodiny (obr. 7).

Obr. 7 Proces vytváření cílového produktu pro druhou kontrolu

Navýšení cílového produktu během jedné operace je zde menší - 2 peněžní jednotky. Doba provozu je však také kratší. Jak vidíte, do konce poslední operace, po 21 hodinách, obdržíme 19 peněžních jednotek. cílový produkt.

To znamená, že pokud máme pouze dvě možnosti pro provádění operací, pak je výhodnější druhá možnost. Optimálním řízením je tedy řízení podle druhé možnosti.

Vyvstává otázka: „Jak můžete bez provádění operací v cyklu okamžitě určit, která operace je ziskovější, a podle toho určit parametry optimálního řízení?

To vyžaduje ukazatel výkonu, který lze použít jako optimalizační kritérium.

V tomto případě můžete použít jednoduchý vzorec účinnosti, což je analytický výraz pro výpočet jednoduchých operací. Právě ona mezi sebou propojuje tři základní ukazatele: ocenění vstupních produktů provozu (RE), ocenění výstupních produktů provozu (PE) a dobu provozu (T op). Označíme-li účinnost symbolem „E“, bude vzorec pro výpočet ukazatele účinnosti vypadat

kde T p je jednotkový časový interval, o jehož potřebě se uvažuje v teorii účinnosti.

Dosazením hodnot základních ukazatelů operací do vzorce účinnosti získáme hodnotu E = 0,00656 pro první operaci a E = 0,0127 pro druhou operaci.

Jak vidíme, ukazatel účinnosti okamžitě naznačil, že druhý typ operací je výhodnější než operace prvního typu. Daný ukazatel je tedy optimalizačním kritériem.

Obrázek 8 ukazuje, jak se účinnost mění se změnami v řízení. Parametry odpovídající maximální účinnosti jsou zvýrazněny červeně.

Obr. 8 Proces formování cílového produktu pro druhou kontrolu

Nyní si vlastně můžeme odpovědět na otázku, co je optimální řízení.
Optimální řízení je proces, který zajišťuje maximalizaci cílového produktu při cyklickém provádění systémových operací.
Volba takové kontroly poskytuje optimalizační kritérium.

Jak vidíte, v produkčních systémech je možné dosáhnout optimálního režimu na základě absolutní ukazatel– maximální zvýšení finančního potenciálu, ale tento proces zabere hodně času.

Může se zdát, že otázku dosažení optima lze vyřešit i bez optimalizačního kritéria – matematickým modelováním s využitím výsledků jedné operace. Vliv chyb snímače však vede k velmi velkým odchylkám od optimálního bodu.

S jakými obtížemi jste látce porozuměli? Napište autorovi.

Abyste se mohli podívat na fungování optimálního systému, musíte načíst samotný optimální systém, sestavený v konstruktoru EFFLY. Můžete zjistit, jak systém zefektivnit.

Po kliknutí na tlačítko "Start" se otevře list, na kterém se zobrazí grafy pro hledání systémového optima. První bod se objeví za několik minut, protože k jeho dosažení je potřeba několik operací. Musíme chvíli počkat.

ANOTACE

Tato příručka představuje základní podmínky optimality a metody řešení problémů variačního počtu a optimálního řízení. Bude to užitečné pro přípravu a vedení praktických hodin v sekci „Optimální kontrola“ a také pro studenty, kteří dělají domácí úkoly na toto téma.

Tutorial je elektronická verze knihy:
Optimální ovládání v příkladech a problémech. Sotskov A.I., Kolesnik G.V. - M.: Ruská ekonomická škola, 2002 - 58 s.

Předmluva

1. Nejjednodušší problém ve variačním počtu.
Eulerova rovnice
Příklady
Cvičení

2. Problém optimálního řízení. Maximální princip
Příklady
Cvičení

3. Fázová omezení v problému optimálního řízení
Příklady
Cvičení

4. Dynamické programování a Bellmanova rovnice
Příklady
Cvičení

Literatura

Předmluva

Teorie optimálního řízení je jednou ze sekcí kurzu „Matematika pro ekonomy“ vyučovaného na Ruské ekonomické škole.
Zkušenosti z výuky ukazují, že tento úsek je jedním z nejobtížnějších na zvládnutí. To je způsobeno především koncepčními rozdíly mezi v něm studovanými problémy optimálního řízení a problémy konečné-dimenzionální optimalizace a v důsledku toho významnou komplikací podmínek optimality v nich používaných.
V tomto ohledu se zdá užitečné poskytnout jasnou ilustraci aplikace těchto podmínek optimality na řešení problémů různých typů. Tato příručka je pokusem o poskytnutí takové ilustrace. Obsahuje příklady a problémy na čtyři témata:
. variační počet;
. maximální princip v problémech bez omezení;
. maximální princip za přítomnosti fázových omezení;
. dynamické programování.
Každá část se skládá z teoretické části, která popisuje základní pojmy a výsledky použité při řešení příslušných problémů, příklady s řešením a také problémy pro samostatnou práci studentů.
Je třeba zdůraznit, že tato příručka není v žádném případě teoretickým kurzem, ale je zaměřena především na praktickou aplikaci optimálních metod řízení. Jako teoretického průvodce touto částí můžeme doporučit např. knihu.
Podle autorů bude tato příručka užitečná pro učitele při přípravě a vedení praktických hodin v části „Optimální kontrola“ a také pro studenty při domácích úkolech na toto téma.

Elektronická verze knihy: [Stáhnout, PDF, 633,8 KB].

Pro zobrazení knihy ve formátu PDF potřebujete Adobe Acrobat Reader, jehož novou verzi si můžete zdarma stáhnout z webu Adobe.

Optimální ovládání

Andrej Alexandrovič Agračev

Je lidskou přirozeností usilovat o dokonalost. V matematice se projevuje hledáním nejlepších (optimálních) řešení, včetně všech maximálních a minimálních problémů. Teorie optimálního řízení zahrnuje takové, kde řešení má určitý rozsah v čase nebo prostoru. Vhodným obrázkem je mapování nejlepší cesty při pohybu velmi nerovným terénem.

Matematici mají obecně jako všichni lidé velmi rádi vizuální obrazy, ale ve skutečnosti mluvíme o jakémkoli systému, který lze v určitých mezích průběžně měnit, stejně jako měníme směr pohybu při pokládání cesty. jiný vhodné příklady: ovládání auta, letadla, technologického procesu, svého těla, nakonec.

Je požadováno co nejlépe převést systém z daného stavu do požadovaného: co nejrychleji, nebo nejekonomičtěji, nebo s největším přínosem, nebo podle nějakého složitějšího kritéria; sami rozhodujeme, co je důležitější. Pokud je okamžitá reakce systému na naše akce dobře známá, pak je teorie optimálního řízení navržena tak, aby nám pomohla najít nejlepší dlouhodobou strategii. Zde je jednoduchý příklad: musíte co nejrychleji zastavit oscilace (řekněme zastavit „houpání“), aplikujte svou malou sílu nejprve na jednu stranu, potom na druhou. Budete se muset mnohokrát přesunout z jedné strany na druhou. Jaké je pro to pravidlo? Je jasné, že „houpačka“ může být finanční, ekonomická, fyzická a technická...

Stojí za zmínku, že tak zjevně aplikovaný předmět, jako je teorie optimálního řízení, vytvořili na Matematickém ústavu Steklov ryzí matematici Lev Semjonovič Pontrjagin a jeho studenti, profesionální topologové. První působivé aplikace této teorie, které jí přinesly slávu, byly v sovětském vesmírném programu a americkém programu Apollo. V těchto programech bylo vše provedeno na hranici možností a bez chytré optimalizace to nebylo možné zvládnout. Mezi úkoly, které byly v té době populární, lze zaznamenat nejekonomičtější přesun kosmické lodi z jedné eliptické dráhy na druhou a měkké přistání na Měsíci. Hlavním úspěchem té doby byl Pontryaginův maximální princip - výkonný univerzální nástroj, který vám umožňuje vybrat poměrně úzkou třídu kontrolních strategií, mezi nimiž může být pouze ta optimální.

Pontrjaginův princip maxima je zvláště dobrý při aplikaci na jednoduché „lineární“ modely, ale ztrácí na účinnosti a musí být doplněn jinými prostředky při studiu systémů se složitější nelineární strukturou. Vraťme se k příkladu swingu. Pokud je amplituda kmitů malá, pak je systém téměř lineární a perioda kmitů je na amplitudě téměř nezávislá. Princip maxima dává jednoduchý a jednoznačný zákon optimálního chování pro lineární aproximaci: musíte se přesunout z jedné strany na druhou přesně po půl periodě a pokaždé použít maximální možnou sílu. Zároveň se při velké amplitudě, kdy je systém výrazně nelineární, doporučení principu maxima značně komplikují a přestávají být jednoznačné.

Nová pravidla optimálního chování, doplňující princip maxima, poskytuje v současnosti aktivně rozvíjená geometrická teorie řízení. Faktem je, že moderní geometrie vám umožňuje výrazně rozšířit možnosti ovládání, hrát si s pořadím a trváním aplikace několika jednoduchých manévrů, vybírat optimální „harmonické“ kombinace manévrů, z nichž každý je dobře známý a zcela banální. Je to podobné, jako když se symfonie skládá z několika tónů, jen v matematice je vše přesnější, přísnější a symetričtější, i když ne tak emotivní.

Teorie geometrického řízení se používá ve vesmírné navigaci, robotice a mnoha dalších oborech, ale možná nejpopulárnější moderní aplikace jsou v kvantových systémech (od lékařských přístrojů nukleární magnetické rezonance po chemickou manipulaci s jednotlivými molekulami). Kouzlo teorie geometrického řízení spočívá mimo jiné ve vzácné příležitosti zhmotnit, vidět a „osahat si“ krásné a hluboké abstraktní matematické pojmy a samozřejmě vytvářet nové!

Literatura

Tichomirov V.M. Příběhy o vrcholech a pádech. - M.: Nauka, 1986. - (Knihovna „Quantum“; číslo 56). — [Dotisky: M.: MTsNMO, 2006, 2017].

Protasov V.Yu. Maxima a minimum v geometrii. - M.: MTsNMO, 2012. - (Knihovna „Matematická výchova“; číslo 31).

Optimální ovládání technologické procesy(Přednáška)

PLÁN PŘEDNÁŠEK

1. Základní pojmy hledání extrému funkce

2. Klasifikace optimálních metod řízení

1. Základní pojmy hledání extrému funkce

Jakákoli matematická formulace optimálního problému je často stejná nebo ekvivalentní problému nalezení extrému funkce jedné nebo mnoha nezávislých proměnných. Proto lze k řešení takových optimálních problémů použít různé metody hledání extrému.

Obecně je problém optimalizace formulován takto:

Najděte extr funkce R (x), kde XX

R (x) – nazývá se cílová funkce nebo funkce nebo optimalizační kritérium nebo optimalizovaná funkce

X je nezávislá proměnná.

Jak známo, nezbytné podmínky pro existenci extrému spojité funkce R(x) lze získat z analýzy první derivace. V tomto případě může mít funkce R(x) extrémní hodnoty pro takové hodnoty nezávisle proměnné X, kde první derivace je rovna 0, tzn. =0. Graficky, pokud je derivace nulová, znamená to, že tečna ke křivce R(x) je v tomto bodě rovnoběžná s úsečkou.

Derivace =0 se rovná nutná podmínka extrém.

Rovnost derivace na nulu však neznamená, že v tomto bodě existuje extrém. Abychom se konečně ujistili, že v tomto bodě skutečně existuje extrém, je nutné provést další výzkum, který se skládá z následujících metod:

1. Metoda porovnávání funkčních hodnot

Hodnota funkce R (x) v „podezřelém“ bodě extrému X K je porovnána se dvěma sousedními hodnotami funkce R (x) v bodech X K-ε a X K+ε, kde ε je malé kladná hodnota. (obr. 2)

Pokud se obě vypočtené hodnoty R (X K+ε) a R (X K-ε) ukážou být menší nebo větší než R (X K), pak v bodě X K existuje maximum nebo minimum funkce R (X).

Jestliže R (X K) má střední hodnotu mezi R (X K-ε) a R (X K+ε), pak funkce R (x) nemá ani maximum, ani minimum.

2. Metoda porovnávání znamének derivací

Uvažujme opět funkci R (X K) v okolí bodu X K, tzn. X K+ε a X K-ε. Při této metodě se uvažuje znaménko derivace v okolí bodu X K. Pokud jsou znaménka derivace v bodech X K-ε a X K + ε různá, pak je v bodě X K extrém. V tomto případě lze typ extrému (min nebo max) zjistit změnou znaménka derivace při pohybu z bodu X K-ε do bodu X K+ε.

Pokud se znaménko změní z „+“ na „-“, pak je v bodě X K maximum (obr. 3b), pokud naopak z „-“ na „+“, je zde minimum. (obr. 3a)

3. Metoda studia znaků vyšších derivací.

Tato metoda se používá v případech, kdy v „podezřelém“ bodě extrému jsou deriváty vyšších řádů, tzn. funkce R (X K) je nejen spojitá sama o sobě, ale má i spojité derivace a .

Metoda se scvrkává na následující:

Na místě X K„podezřelý“ do extrému, pro který to platí

vypočítá se hodnota druhé derivace.

Pokud ve stejnou dobu , pak v bodě X K je maximum,

Li , pak v bodě X K je minimum.

Při řešení praktických optimalizačních úloh je nutné najít ne nějakou minimální nebo maximální hodnotu funkce R (X K), ale největší nebo nejmenší hodnotu této funkce, která se nazývá globální extrém. (obr. 4)

V obecném případě optimalizační problém spočívá v nalezení extrému funkce R (X), za přítomnosti určitých omezení na rovnice matematického modelu.

Jestliže R (X) je lineární a oblast proveditelných řešení je specifikována lineárními rovnostmi a nerovnicemi, pak problém hledání extrémů funkce patří do třídy úloh lineárního programování.

Množina X je často definována jako systém funkcí

Potom matematické vyjádření problému lineárního programování vypadá takto:

Pokud cílová funkce R (X) nebo některé z omezení není lineární funkcí, pak úkol najít extrém funkce R (X) patří do třídy problémů nelineárního programování.

Pokud na proměnné X nejsou uvalena žádná omezení, pak se takový problém nazývá nepodmíněný extrémní problém.

Příklad typického optimalizačního problému

Problém s krabicí s maximálním objemem.

Z tohoto polotovaru se v jeho rozích vyříznou čtyři sudé čtverce a výsledný obrazec (obr. 5 b) se ohne tak, aby vznikla krabice bez horního víka (obr. 6.5 c). v tomto případě je nutné zvolit velikost řezaných čtverců tak, abyste získali krabici maximálního objemu.

Na tomto příkladu můžeme ilustrovat všechny prvky nastavení optimalizačních problémů.

Rýže. 5. Schéma výroby krabice z obdélníkového polotovaru pevné velikosti

Hodnotící funkcí v tomto problému je objem vyrobené krabice. Problémem je výběr velikosti čtverců k vyříznutí. Pokud je velikost řezaných čtverců příliš malá, získá se široká krabice nízké výšky, což znamená, že objem bude malý. Na druhou stranu, pokud je velikost řezaných čtverců příliš velká, získá se úzká krabice velké výšky, což znamená, že její objem bude také malý.

Zároveň je volba velikosti řezaných čtverců ovlivněna omezením velikosti původního obrobku. Pokud vyříznete čtverce se stranou rovnou polovině strany původního obrobku, pak úkol ztrácí smysl. Strana řezaných čtverců také nemůže přesahovat polovinu stran původního obrobku, protože to je z praktických důvodů nemožné. Z toho vyplývá, že formulace tohoto problému musí obsahovat určitá omezení.

Matematická formulace úlohy krabice maximálního objemu. Pro matematickou formulaci tohoto problému je nutné vzít v úvahu některé parametry charakterizující geometrické rozměry krabice. Za tímto účelem doplníme věcnou formulaci problému o vhodné parametry. Za tímto účelem budeme uvažovat čtvercový přířez z nějakého pružného materiálu, který má délku strany L (obr. 6). Z tohoto polotovaru byste měli vyříznout čtyři sudé čtverce se stranou v rozích a výslednou postavu ohnout tak, abyste získali krabici bez horního krytu. Úkolem je vybrat velikost řezaných čtverců tak, aby výsledkem byla krabice maximálního objemu.

Rýže. 6. Výrobní schéma z obdélníkového polotovaru s uvedením jeho rozměrů

Pro matematickou formulaci tohoto problému je nutné určit proměnné příslušného optimalizačního problému, nastavit účelovou funkci a specifikovat omezení. Jako proměnnou bychom měli vzít délku strany uříznutého čtverce r, která v obecném případě nabývá na základě smysluplné formulace úlohy spojité reálné hodnoty. Účelovou funkcí je objem výsledné krabice. Protože délka strany základny krabice je rovna: L - 2r a výška krabice je rovna r, pak její objem zjistíme podle vzorce: V (r) = (L -2r) 2 r. Na základě fyzikálních úvah nemohou být hodnoty proměnné r záporné a přesahovat polovinu velikosti původního obrobku L, tzn. 0,5 l.

Pro hodnoty r = 0 a r = 0,5 L jsou vyjádřena odpovídající řešení krabicového problému. V prvním případě zůstává obrobek nezměněn, ale ve druhém případě je rozřezán na 4 stejné části. Vzhledem k tomu, že tato řešení mají fyzikální interpretaci, může být problém s krabicí, pro pohodlí jeho formulace a analýzy, považován za optimalizaci s omezeními, jako jsou nepřísné nerovnosti.

Pro účely sjednocení značíme proměnnou x = r, což neovlivňuje povahu řešeného optimalizačního problému. Potom lze matematickou formulaci úlohy krabice o maximálním objemu napsat v následujícím tvaru:

kde (1)

Objektivní funkce tohoto problému je nelineární, takže úloha s maximální velikostí krabice patří do třídy nelineárního programování nebo nelineárních optimalizačních úloh.

2. Klasifikace optimálních metod řízení

Optimalizace procesu spočívá v nalezení optima uvažované funkce nebo optimálních podmínek pro provádění tohoto procesu.

Pro vyhodnocení optima je nejprve nutné zvolit optimalizační kritérium. Obvykle je optimalizační kritérium vybráno ze specifických podmínek. Může se jednat o kritérium technologické (například obsah Cu ve výsypné strusce) nebo kritérium ekonomické (minimální cena výrobku při dané produktivitě práce) apod. Na základě zvoleného optimalizačního kritéria se sestaví účelová funkce, která představuje závislost optimalizačního kritéria na parametrech ovlivňujících jeho hodnotu. Problém optimalizace spočívá v nalezení extrému účelové funkce. V závislosti na povaze zvažovaných problémů matematické modely Používají se různé matematické optimalizační metody.

Obecná formulace optimalizačního problému je následující:

1. Vyberte kritérium

2. Modelová rovnice je sestavena

3. Je zaveden omezovací systém

4. Řešení

model - lineární nebo nelineární

Omezení

V závislosti na struktuře modelu se používají různé optimalizační metody. Tyto zahrnují:

1. Analytické optimalizační metody (analytické hledání extrému, Lagrangeova multiplikační metoda, Variační metody)

2. Matematické programování (lineární programování, dynamické programování)

3. Gradientní metody.

4. Statistické metody (regresní analýza)

Lineární programování. V problémech lineárního programování je kritérium optimality prezentováno jako:

kde jsou uvedeny konstantní koeficienty; Úkolové proměnné.

Modelové rovnice jsou lineární rovnice (polynomy) tvaru které podléhají omezením v podobě rovnosti či nerovnosti, tzn. (2)

V úlohách lineárního programování se obvykle předpokládá, že všechny nezávislé proměnné X j jsou nezáporné, tzn.

Optimálním řešením problému lineárního programování je takový soubor nezáporných hodnot nezávislých proměnných

Které splňuje podmínky (2) a poskytuje, v závislosti na formulaci problému, maximální nebo minimální hodnotu kritéria.

Geometrický výklad je: - kritérium v ​​případě omezení proměnných X 1 a X 2 typu rovnosti a nerovnosti

R má konstantní hodnotu podél čáry l. Optimální řešení bude v bodě S, protože v tomto bodě bude kritériem max. Jednou z metod řešení optimalizační úlohy lineárního programování je simplexová metoda.

Nelineární programování. Matematická formulace problému nelineárního programování je následující: Najděte extrém účelové funkce , která má formu nelinearity.

Na nezávislé proměnné jsou uvalena různá omezení, jako jsou rovnosti nebo nerovnosti

V současné době se k řešení problémů nelineárního programování používá poměrně velké množství metod.

Patří sem: 1) Gradientové metody (metoda gradientu, metoda nejstrmějšího sestupu, metoda obrazu, Rosenbrockova metoda atd.)

2) Bezgradientové metody (Gauss-Seidelova metoda, skenovací metoda).

Gradientové optimalizační metody

Tyto metody patří mezi numerické metody typu vyhledávání. Podstatou těchto metod je stanovení hodnot nezávislých proměnných, které dávají největší (nejmenší) změnu v účelové funkci. Toho je obvykle dosaženo pohybem po gradientu kolmém k povrchu obrysu v daném bodě.

Podívejme se na gradientovou metodu. Tato metoda využívá gradient účelové funkce. V gradientové metodě se provádějí kroky ve směru nejrychlejšího poklesu účelové funkce.

Rýže. 8. Nalezení minima metodou gradientu

Hledání optima probíhá ve dvou fázích:

Fáze 1: - najděte hodnoty parciálních derivací pro všechny nezávislé proměnné, které určují směr gradientu v daném bodě.

2. etapa: - provede se krok ve směru opačném ke směru spádu, tzn. ve směru nejrychlejšího poklesu účelové funkce.

Algoritmus gradientní metody lze napsat takto:

(3)

Charakter pohybu k optimu metodou nejstrmějšího klesání je následující (obr. 6.9), po nalezení gradientu optimalizované funkce v počátečním bodě a tím určení směru jeho nejrychlejšího poklesu v určeném bodě, tímto směrem je učiněn sestupový krok. Pokud se hodnota funkce v důsledku tohoto kroku sníží, provede se další krok ve stejném směru a tak dále, dokud se v tomto směru nenajde minimum, načež se znovu vypočítá gradient a nový směr nejrychlejšího je určen pokles účelové funkce.

Bezgradientové metody pro hledání extrému. Tyto metody, na rozdíl od gradientních metod, využívají v procesu vyhledávání informace získané nikoli z analýzy derivátů, ale z komparativního posouzení hodnoty kritéria optimality v důsledku provedení dalšího kroku.

Mezi metody hledání extrému bez přechodů patří:

1. metoda zlatého řezu

2. metoda využívající Fiboniových čísel

3. Gaus-Seidelova metoda (metoda získání změny proměnné)

4. metoda skenování atp.