Teorie optimalizace. Jaké optimalizační metody existují? Metody optimalizace manažerských rozhodnutí. Daňová optimalizace: metody

Parametry pro danou strukturu objektu, pak je volán parametrická optimalizace. Problém výběru optimální struktury je strukturální optimalizace.

Standardní matematický optimalizační problém je formulován následovně. Mezi prvky χ, které tvoří množiny Χ, najděte prvek χ *, který poskytuje minimální hodnotu f(χ *) dané funkce f(χ). Pro správnou formulaci optimalizačního problému je nutné nastavit:

1. Přípustná sada- hromada $\backslash mathbb(X)=\backslash (\backslash vec(x)|\backslash ;g\_i(\backslash vec(x))\backslash leq\; 0,\backslash ;i=1,\backslash ldots,m\backslash )\; \backslash subset\; \backslash mathbb(R)^n$;
2. Cílová funkce- Zobrazit $f:\backslash ;\backslash mathbb(X)\backslash to\backslash mathbb(R)$;
3. Kritéria vyhledávání(max nebo min).

Pak problém vyřešte $f(x)\backslash to\; \backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathrm(X))$ znamená jedno z:

1. Ukázat co $\backslash mathbb(X)=\backslash varnothing$.
2. Ukažte, že účelová funkce $f(\backslash vec(x))$ zdola neomezené.
3. Nalézt $\backslash vec(x)^*\backslash in\backslash mathbb(X):\backslash ;f(\backslash vec(x)^*)=\backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x\; ))$.
4. Li $\backslash nexistuje\; \backslash vec(x)^*$, pak najděte $\backslash inf\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x))$.

Pokud minimalizovaná funkce není konvexní, pak se často omezíme na hledání lokálních minim a maxim: bodů $x\_0$ takové, že všude v některých jejich čtvrtích $f(x)\backslash ge\; f(x\_0)$ pro minimální a $f(x)\backslash le\; f(x\_0)$ pro maximum.

Pokud je přípustná sada $\backslash mathbb(X)=\backslash mathbb(R)^n$, pak se takový problém nazývá neomezený problém optimalizace, v opačném případě - omezený problém optimalizace.

Klasifikace optimalizačních metod

Obecný záznam optimalizačních problémů specifikuje velká rozmanitost jejich třídy. Volba metody (efektivita jejího řešení) závisí na třídě problému. Klasifikace problémů je určena: cílovou funkcí a proveditelným regionem (nastaveným systémem nerovností a rovnosti nebo složitějším algoritmem).

Optimalizační metody jsou klasifikovány podle optimalizačních problémů:

• Lokální metody: konvergují k nějakému lokálnímu extrému účelové funkce. V případě unimodální účelové funkce je tento extrém jedinečný a bude globálním maximem/minimem.
• Globální metody: zabývají se víceextrémními objektivními funkcemi. Při globálním vyhledávání je hlavním úkolem identifikovat trendy v globálním chování účelové funkce.

V současnosti existující metody vyhledávání lze rozdělit do tří velkých skupin:

1. deterministický;
2. náhodný (stochastický);
3. kombinovaný.

Podle kritéria dimenze přípustné množiny se optimalizační metody dělí na metody jednorozměrná optimalizace a metody multidimenzionální optimalizace.

Na základě typu účelové funkce a přípustné množiny lze optimalizační problémy a metody jejich řešení rozdělit do následujících tříd:

• Optimalizační úlohy, ve kterých účel funguje $f(\backslash vec(x))$ a omezení $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;\; i=1,\backslash ldots,m$ jsou lineární funkce, řešené tzv. metodami lineární programování.
• Jinak se s úkolem vypořádejte nelineární programování a aplikovat vhodné metody. Na druhé straně se od nich liší dva konkrétní úkoly:
  • Li $f(\backslash vec(x))$ A $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;i=1,\backslash ldots,m$ jsou konvexní funkce, pak se takový problém nazývá problém konvexní programování;
  • Li $\backslash mathbb(X)\backslash subset\; \backslash mathbb(Z)$, pak se vypořádejte s problémem celočíselné (diskrétní) programování.

Podle požadavků na hladkost a přítomnost parciálních derivací v účelové funkci je lze dále rozdělit na:

• přímé metody, které vyžadují pouze výpočty účelové funkce v aproximačních bodech;
• metody prvního řádu: vyžadují výpočet prvních parciálních derivací funkce;
• Metody druhého řádu: vyžadují výpočet druhých parciálních derivací, tj. Hessián účelové funkce.

Kromě toho jsou optimalizační metody rozděleny do následujících skupin:

• analytické metody (například Lagrangeova multiplikační metoda a Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky);

Podle charakteru sestavy X Problémy matematického programování jsou klasifikovány jako:

• problémy diskrétního programování (nebo kombinatorická optimalizace) - příp X konečný nebo spočetný;
• problémy s celočíselným programováním - pokud X je podmnožinou množiny celých čísel;
• problémy nelineárního programování, pokud omezení nebo účelová funkce obsahují nelineární funkce a X je podmnožinou konečně-dimenzionálního vektorového prostoru.
• Pokud všechna omezení a účelová funkce obsahují pouze lineární funkce, pak se jedná o problém lineárního programování.

Kromě toho jsou odvětvími matematického programování parametrické programování, dynamické programování a stochastické programování.

Matematické programování se používá při řešení optimalizačních problémů v operačním výzkumu.

Metoda hledání extrému je zcela určena třídou problému. Než však získáte matematický model, musíte provést 4 fáze modelování:

• Stanovení hranic optimalizačního systému
  • Odpadáme ta spojení mezi objektem optimalizace a vnějším světem, která nemohou výsledek optimalizace výrazně ovlivnit, nebo přesněji ta, bez kterých je řešení zjednodušeno.
• Výběr řízených proměnných
  • „Zmrazíme“ hodnoty některých proměnných (nekontrolované proměnné). Necháme ostatní, aby přijali jakékoli hodnoty z rozsahu možných řešení (řízené proměnné)
• Definování omezení pro regulované veličiny
  • … (rovnosti a/nebo nerovnosti)
• Výběr numerického optimalizačního kritéria (například ukazatele výkonu)
  • Vytvořte účelovou funkci

Příběh

V roce 1949 Kantorovich společně s M. K. Gavurinem vyvinul potenciální metodu, která se používá při řešení dopravních problémů. V následujících dílech Kantoroviče, Němčinova, V. V. Novožilova, A. L. Lurieho, A. Brudna, Aganbegyana, D. B. Yudina, E. G. Golshteina a dalších matematiků a ekonomů byly dále rozvíjeny jako matematická teorie lineárního a nelineárního programování a aplikace jejího metody ke studiu různých ekonomických problémů.

Metodám lineárního programování se věnuje řada prací zahraničních vědců. V roce 1941 představoval F. L. Hitchcock dopravní problém. Hlavní metoda pro řešení problémů lineárního programování, simplexová metoda, byla publikována v roce 1949 Danzigem. Metody lineárního a nelineárního programování byly dále rozvíjeny v dílech Kuhna ( Angličtina), A. Tucker ( Angličtina), Gass (Saul. I. Gass), Charnes (Charnes A.), Beale (E. M.) atd.

Souběžně s rozvojem lineárního programování byla velká pozornost věnována problémům nelineárního programování, ve kterých jsou buď účelová funkce, omezení nebo obojí nelineární. V roce 1951 Kuhn a Tucker publikovali článek, který poskytoval nezbytné a dostatečné podmínky optimality pro řešení problémů nelineárního programování. Tato práce posloužila jako základ pro další výzkum v této oblasti.

Od roku 1955 bylo publikováno mnoho prací o kvadratickém programování (práce Beala, Barankina a Dorfmana R., Franka M. a Wolfe P., Markowitze aj.). Práce Dennise J. B., Rosena J. B. a Zontendijka G. vyvinuly gradientové metody pro řešení problémů nelineárního programování.

V současné době byly pro efektivní využití metod matematického programování a řešení problémů na počítačích vyvinuty algebraické modelovací jazyky, jejichž zástupci jsou AMPL a LINGO.

viz také

Napište recenzi na článek "Optimalizace (matematika)"

Poznámky

Literatura

• Abakarov A. Sh., Sushkov Yu. A.. - Sborník FORA, 2004.
• Akulich I. L. Matematické programování v příkladech a úlohách: Proc. manuál pro studenty ekonomie. specialista. vysoké školy - M.: Vyšší škola, 1986.
• Gill F., Murray W., Wright M. Praktická optimalizace. Za. z angličtiny - M.: Mir, 1985.
• Girsanov I. V. Přednášky z matematické teorie extrémních problémů. - M.; Iževsk: Výzkumné centrum „Regular and Chaotic Dynamics“, 2003. - 118 s. - ISBN 5-93972-272-5.
• Zhiglyavsky A. A., Zhilinkas A. G. Metody hledání globálního extrému. - M.: Nauka, Fizmatlit, 1991.
• Karmanov V.G. Matematické programování. - Fyzikální a matematické nakladatelství. literatura, 2004.
• Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. - M.: Science, 1970. - S. 575-576.
• Korshunov Yu. M., Korshunov Yu. M. Matematické základy kybernetiky. - M.: Energoatomizdat, 1972.
• Maksimov Yu.A., Fillipovskaya E.A. Algoritmy pro řešení problémů nelineárního programování. - M.: MEPhI, 1982.
• Maksimov Yu. A. Algoritmy pro lineární a diskrétní programování. - M.: MEPhI, 1980.
• Plotnikov A.D. Matematické programování = rychlokurz. - 2006. - S. 171. - ISBN 985-475-186-4.
• Rastrigin L. A. statistické metody Vyhledávání. - M., 1968.
• Hemdi A. Taha.Úvod do operačního výzkumu = Operační výzkum: Úvod. - 8. vyd. - M.: Williams, 2007. - S. 912. - ISBN 0-13-032374-8.
• Keeney R.L., Raifa H. Rozhodování podle více kritérií: preference a substituce. - M.: Radio and Communications, 1981. - 560 s.
• S.I.Zukhovitsky, L.I.Avdeeva. Lineární a konvexní programování. - 2. vyd., přepracováno. a další.. - M.: Nakladatelství "Nauka", 1967.
• A.A. Bolonkin. Nové optimalizační metody a jejich aplikace. Krátké poznámky k přednáškám ke kurzu „Teorie optimálních systémů“.. - M.: Bauman Moscow Higher Technical School, 1972, 220 s. viXra.org/abs/1503.0081.

Odkazy

• B.P. Pól.// Sborník příspěvků ze 14. semináře bajkalské školy „Optimalizační metody a jejich aplikace“. - 2008. - T. 1. - S. 2-20.
• .

Metody optimalizace Jednorozměrný Přímé metody První objednávka Druhá objednávka Stochastické Lineární metody programování Nelineární metody programování

Výňatek charakterizující optimalizaci (matematika)

Princ Andrei odvedl Pierra ke své polovině, která na něj vždy čekala v dokonalém pořádku v domě jeho otce, a sám šel do školky.
"Pojďme k mé sestře," řekl princ Andrei a vrátil se k Pierrovi; - Ještě jsem ji neviděl, teď se schovává a sedí se svým Božím lidem. Slouží jí právo, bude v rozpacích a uvidíš Boží lid. C "est curieux, ma parole." [To je zajímavé, upřímně.]
– Qu"est ce que c"est que [Co je to] Boží lid? “ zeptal se Pierre
- Ale uvidíš.
Princezna Marya se opravdu styděla a zčervenala, když k ní přišli. V jejím útulném pokoji s lampami před pouzdry na ikony, na pohovce, u samovaru vedle ní seděl mladý chlapec s dlouhým nosem a dlouhými vlasy v mnišském rouchu.
Na židli poblíž seděla vrásčitá hubená stará žena s pokorným výrazem v dětské tváři.
"Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrei, proč jsi mě nevaroval?]," řekla s pokornou výčitkou a stála před svými tuláky jako slepice před svými slepicemi.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Velmi rád tě vidím. "Jsem tak ráda, že tě vidím," řekla Pierrovi a on jí políbil ruku. Znala ho jako dítě a nyní si ho oblíbilo jeho přátelství s Andrejem, smůla s manželkou a hlavně jeho laskavá prostá tvář. Podívala se na něj svýma krásnýma zářivýma očima a zdálo se, že říká: „Moc tě miluji, ale nesměj se mi prosím. Po výměně prvních pozdravných frází se posadili.
"Aha, a Ivanuška je tady," řekl princ Andrei a s úsměvem ukázal na mladého poutníka.
– Andre! - řekla princezna Marya prosebně.
"Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Věz, že je to žena," řekl Andrei Pierrovi.
– Andre, au nom de Dieu! [Andrey, proboha!] – opakovala princezna Marya.
Bylo jasné, že posměšný postoj prince Andreje k poutníkům a zbytečné přímluvy princezny Marie v jejich prospěch byly mezi nimi známé a ustálené vztahy.
"Mais, ma bonne amie," řekl princ Andrei, "vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intimní avec ce jeune homme... [Ale, příteli, měl bys mi být vděčný že vysvětlím Pierrovi vaši blízkost k tomuto mladému muži.]
- Vraiment? [Vážně?] - řekl Pierre zvědavě a vážně (za což mu byla princezna Marya obzvláště vděčná) a díval se přes brýle do tváře Ivanushky, která si uvědomila, že mluví o něm, a podívala se na všechny mazanýma očima.
Princezna Marya byla úplně marná, aby se styděla za svůj vlastní lid. Nebyli vůbec bázliví. Stará žena se sklopenýma očima, ale úkosem se dívala na ty, kteří vstoupili, obrátila šálek dnem vzhůru na talířek a položila k němu nakousnutý kousek cukru, seděla klidně a nehybně na židli a čekala, až jí nabídne další čaj. . Ivanuška, popíjející z podšálku, hleděl na mladé lidi zpod obočí lstivýma ženskýma očima.
– Kde jsi byl v Kyjevě? “ zeptal se princ Andrey staré ženy.
"Bylo to, otče," odpověděla slušně stará žena, "o samotných Vánocích jsem měla tu čest se svatými sdělit svatá, nebeská tajemství." A nyní od Koljazina, otče, se otevřela velká milost...
- Dobře, Ivanuška je s tebou?
"Jdu sám, chlebodárci," řekla Ivanuška a snažila se promluvit hlubokým hlasem. - Pouze v Juchnově jsme si s Pelageyushkou rozuměli...
Pelagia přerušila svého druha; Očividně chtěla říct, co viděla.
- V Koljazinu, otče, byla odhalena velká milost.
- No, jsou ty relikvie nové? “ zeptal se princ Andrej.
"To stačí, Andrey," řekla princezna Marya. - Neříkej mi, Pelageyushko.
"Ne...co to říkáš, matko, proč mi to neřekneš?" Miluji ho. Je laskavý, Bohem oblíbený, on, dobrodinec, mi dal rubly, vzpomínám si. Jak jsem byl v Kyjevě a svatý blázen Kirjuša mi vyprávěl – skutečně Boží muž, v zimě i v létě chodí bos. Proč chodíš, říká, ne na tvém místě, jdi do Koljazinu, tam je zázračná ikona, Matka Přesvaté Bohorodice byla odhalena. Z těch slov jsem se rozloučil se svatými a šel...
Všichni mlčeli, jeden tulák mluvil odměřeným hlasem a nasával vzduch.
"Otče, lidé přišli a řekli mi: Velká milost se zjevila, Matka Nejsvětější Bohorodice kape myrhu z její tváře...
"Dobře, dobře, řekneš mi to později," řekla princezna Marya a začervenala se.
"Nech mě se jí zeptat," řekl Pierre. -Viděl jsi to sám? - zeptal se.
- Proč, otče, ty sám jsi byl poctěn. Na tváři je taková záře, jako nebeské světlo, a z tváře mé matky stále kape a kape...
"To je ale podvod," řekl naivně Pierre, který tulákovi pozorně naslouchal.
- Oh, otče, co to říkáš! “ řekla Pelageyushka s hrůzou a obrátila se k princezně Marye pro ochranu.
"Podvádí lidi," opakoval.
- Pane Ježíši Kriste! – řekla poutnice a pokřižovala se. - Neříkej mi to, otče. Takže jeden analál tomu nevěřil, řekl: „Mniši klamou,“ a jak řekl, oslepl. A zdálo se mu, že k němu přišla matka Pečerská a řekla: "Věř mi, já tě uzdravím." Začal se tedy ptát: vezmi mě a vezmi mě k ní. Říkám vám skutečnou pravdu, sám jsem to viděl. Přivedli ho slepého přímo k ní, on přišel, upadl a řekl: „Uzdrav se! "Dám ti," říká, "co ti dal král." Sám jsem to viděl, otče, hvězda v něm byla zasazena. No, dostal jsem zrak! Je hřích to říkat. "Bůh potrestá," oslovila poučeně Pierra.
- Jak se hvězda ocitla na obrázku? zeptal se Pierre.
- Udělal jsi ze své matky generála? - řekl princ Andrei s úsměvem.
Pelagia náhle zbledla a sepjala ruce.
- Otče, otče, pro tebe je to hřích, máš syna! - promluvila a náhle se změnila z bledé na jasnou barvu.
- Otče, co jsi řekl, Bůh ti odpusť. - Pokřižovala se. - Pane, odpusť mu. Mami, co to je?...“ obrátila se k princezně Marye. Vstala a téměř s pláčem si začala balit kabelku. Zjevně se bála i styděla, že si užívala výhod v domě, kde to mohli říct, a byla škoda, že teď musela být o výhody tohoto domu zbavena.
- No, jaký druh lovu chceš? - řekla princezna Marya. -Proč jsi za mnou přišel?...
"Ne, dělám si legraci, Pelageyushko," řekl Pierre. - Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offensive, [Princezno, mám pravdu, nechtěl jsem ji urazit,] Právě jsem to udělal. Nemyslete si, že jsem si dělal legraci,“ řekl, nesměle se usmál a chtěl to napravit. - Koneckonců, jsem to já a on jen žertoval.
Pelageyushka se nevěřícně zastavila, ale na Pierrově tváři bylo vidět takové upřímné pokání a princ Andrei se tak pokorně podíval nejprve na Pelageyushku a potom na Pierra, že se postupně uklidnila.

Tulák se uklidnil a přiveden zpět do rozhovoru dlouze mluvil o otci Amphilochiusovi, který byl tak světec života, že jeho ruka voněla jako palma, a o tom, jak jí mniši, které poznala na své poslední cestě do Kyjeva, dali klíče od jeskyní a jak ona, vzala s sebou sušenky, strávila dva dny v jeskyních se svatými. „Budu se modlit k jednomu, číst, půjdu k druhému. Vezmu si borovici, půjdu a dám si zase pusu; a takové ticho, matko, taková milost, že ani nechceš vyjít na světlo Boží."
Pierre ji pozorně a vážně poslouchal. Princ Andrej odešel z místnosti. A po něm princezna Marya nechala Boží lid dopít čaj a vedla Pierra do obývacího pokoje.
"Jsi velmi laskavý," řekla mu.
- Oh, opravdu mě nenapadlo ji urazit, chápu a velmi si vážím těchto pocitů!
Princezna Marya se na něj tiše podívala a něžně se usmála. "Koneckonců, znám tě už dlouho a miluji tě jako bratra," řekla. – Jak jste našli Andreyho? “ zeptala se spěšně a nedala mu čas, aby na její milá slova cokoli řekl. - Dělá mi velké starosti. Jeho zdravotní stav je v zimě lepší, ale loni na jaře se rána otevřela a lékař řekl, že by se měl jít léčit. A morálně se o něj velmi bojím. Není to typ postavy, jakou máme my ženy trpět a vykřikovat svůj žal. Nosí to v sobě. Dnes je veselý a čilý; ale právě tvůj příchod na něj měl takový vliv: málokdy je takový. Kdybyste ho tak přemluvili, aby odešel do zahraničí! Potřebuje aktivitu a tento hladký, klidný život ho ničí. Ostatní si toho nevšimnou, ale já to vidím.
V 10 hodin se číšníci vrhli na verandu a slyšeli, jak se blíží zvony starého knížecího kočáru. Princ Andrei a Pierre také vyšli na verandu.
- Kdo je to? - zeptal se starý princ, vystoupil z kočáru a hádal Pierra.
– AI je velmi šťastná! "Polib," řekl, když se dozvěděl, kdo je ten neznámý mladý muž.
Starý princ byl v dobré náladě a choval se k Pierrovi laskavě.
Před večeří princ Andrei, který se vrátil do otcovy kanceláře, našel starého prince ve vášnivé hádce s Pierrem.
Pierre tvrdil, že přijde čas, kdy už žádná válka nebude. Starý princ ho škádlivě, ale nezlobil, vyzval.
- Vypusťte krev ze svých žil, nalijte trochu vody, pak nebude válka. "Ženský nesmysl, ženský nesmysl," řekl, ale přesto láskyplně poplácal Pierra po rameni a přistoupil ke stolu, kde princ Andrei, očividně nechtěl mluvit, třídil papíry, které princ přinesl z domu. město. Starý princ k němu přistoupil a začal mluvit o podnikání.
- Vůdce, hrabě Rostov, nedodal polovinu lidí. Přišel jsem do města, rozhodl jsem se ho pozvat na večeři, - Dal jsem mu takovou večeři... Ale podívej se na tohle... No, bratře, - obrátil se princ Nikolaj Andreich ke svému synovi a poplácal Pierra po rameni, - výborně, příteli, miloval jsem ho! Rozpaluje mě. Ten druhý mluví chytře, ale já nechci poslouchat, ale lže a rozpaluje mě, starého muže. No, jdi, jdi," řekl, "možná si přijdu sednout k tvé večeři." Budu se znovu hádat. Miluj mého blázna, princezno Maryo,“ křičel na Pierra ode dveří.
Pierre teprve nyní, při své návštěvě Lysých hor, ocenil veškerou sílu a kouzlo svého přátelství s princem Andrejem. Toto kouzlo nebylo vyjádřeno ani tak v jeho vztazích se sebou samým, ale ve vztazích se všemi jeho příbuznými a přáteli. Pierre se starým, přísným princem a pokornou a bázlivou princeznou Maryou, přestože je téměř neznal, se okamžitě cítil jako starý přítel. Všichni ho už milovali. Nejen princezna Marya, podplacená jeho pokorným přístupem k cizincům, se na něj dívala tím nejzářivějším pohledem; ale malý, roční princ Nikolaj, jak mu dědeček říkal, se na Pierra usmál a šel mu do náruče. Michail Ivanovič, m lle Bourienne, hleděl na něj s radostnými úsměvy, když mluvil se starým princem.
Starý princ šel na večeři: to bylo Pierrovi jasné. Po oba dny svého pobytu v Lysých horách k němu byl nesmírně laskavý a řekl mu, aby za ním přišel.
Když Pierre odešel a všichni členové rodiny se sešli, začali ho soudit, jako vždy po odchodu nového člověka, a jak se málokdy stává, všichni o něm řekli jednu dobrou věc.

Po návratu z dovolené se Rostov poprvé cítil a dozvěděl se, jak silné bylo jeho spojení s Denisovem as celým plukem.
Když Rostov přijel k pluku, zažil podobný pocit, jako když se blížil ke Kuchařově domu. Když uviděl prvního husara v rozepnuté uniformě svého pluku, když poznal rusovlasého Dementjeva, uviděl stání rudých koní, když Lavrushka radostně zakřičel na svého pána: „Přišel hrabě! a chundelatý Denisov, který spal na posteli, vyběhl z zemljanky, objal ho a k nově příchozímu přišli důstojníci - Rostov zažil stejný pocit, jako když ho objímala maminka, tatínek a sestry, a slzy radosti, že přišel do hrdla mu zabránil mluvit. Pluk byl také domovem a domov byl vždy milý a drahý, stejně jako domov rodičů.
Poté, co se Rostov objevil před velitelem pluku, byl přidělen k předchozí eskadře, odešel do služby a sháněl potravu, vstoupil do všech malých zájmů pluku a cítil se zbaven svobody a spoután do jednoho úzkého, neměnného rámce. stejný klid, stejná podpora a stejné vědomí skutečnost, že je doma, na svém místě, které cítil pod střechou svých rodičů. Nebyl tam celý ten chaos svobodného světa, ve kterém nenašel místo pro sebe a ve volbách dělal chyby; nebyla tam žádná Sonya, se kterou bylo nebo nebylo nutné věci vysvětlovat. Nebyla možnost tam jít nebo nejít; těch 24 hodin dne nebylo tolik různé způsoby mohl být spotřebován; nebylo toto nespočetné množství lidí, z nichž nikdo nebyl blíž, nikdo nebyl dál; tyto nejasné a nejisté nebyly peněžní vztahy s jeho otcem nebyla žádná připomínka strašlivé ztráty pro Dolochov! Tady v pluku bylo všechno jasné a jednoduché. Celý svět byl rozdělen na dvě nerovné části. Jeden je náš Pavlogradský pluk a druhý všechno ostatní. A nebylo se čeho jiného obávat. V pluku se vědělo všechno: kdo je poručík, kdo kapitán, kdo dobrý člověk, kdo špatný člověk, a hlavně soudruh. Obchodník věří v dluh, plat je třetinový; není co vymýšlet ani vybírat, prostě nedělej nic, co je v Pavlogradském pluku považováno za špatné; ale pokud vás pošlou, udělejte to, co je jasné a zřetelné, definované a nařízené: a všechno bude v pořádku.
Poté, co Rostov znovu vstoupil do těchto určitých podmínek plukovního života, zažil radost a klid, podobný těm, které cítí unavený člověk, když si lehne k odpočinku. Tento plukovní život byl pro Rostov během tohoto tažení o to radostnější, že se po prohře s Dolochovem (čin, který si přes všechny útěchy své rodiny nemohl odpustit) rozhodl sloužit nikoli jako dříve, ale v r. rozkaz napravit, dobře sloužit a být naprosto vynikajícím soudruhem a důstojníkem, tedy úžasným člověkem, což se zdálo tak těžké ve světě, ale tak možné v pluku.
Rostov se od doby své ztráty rozhodl, že tento dluh svým rodičům zaplatí za pět let. Posílalo mu 10 tisíc ročně, ale teď se rozhodl vzít jen dva a zbytek dát rodičům na splacení dluhu.

Naše armáda se po opakovaných ústupech, ofenzívách a bitvách u Pultusku, u Preussisch Eylau, soustředila u Bartensteinu. Čekali na příchod panovníka do armády a zahájení nového tažení.
Pavlogradský pluk, který byl v té části armády, která byla na tažení v roce 1805, byl naverbován v Rusku a na první akce tažení se opozdil. Nebyl ani u Pultusku, ani u Preussisch Eylau, a ve druhé polovině kampaně, když se připojil k aktivní armádě, byl přidělen k Platovovu oddělení.
Platovův oddíl jednal nezávisle na armádě. Několikrát byli obyvatelé Pavlogradu v jednotkách v potyčkách s nepřítelem, zajali zajatce a jednou dokonce znovu zajali posádky maršála Oudinota. V dubnu stáli obyvatelé Pavlogradu několik týdnů poblíž prázdné německé vesnice, která byla zničena do základů, bez pohybu.
Byl mráz, bláto, zima, řeky byly rozbité, silnice se staly nesjízdnými; Několik dní nedávali jídlo ani koním, ani lidem. Protože se dodávka stala nemožná, lidé se rozptýlili po opuštěných pouštních vesnicích, aby hledali brambory, ale našli toho jen málo. Všechno se snědlo a všichni obyvatelé utekli; ti, kteří zůstali, byli horší než žebráci a nedalo se jim nic vzít, a dokonce i málo - soucitní vojáci jim často místo toho, aby je využili, dali to poslední.

Za optimální je považována nejpřijatelnější varianta rozhodnutí, která je učiněna na manažerské úrovni ohledně jakékoli záležitosti, a proces jejího hledání je považován za optimalizaci.

Vzájemná provázanost a složitost organizačních, socioekonomických, technických a dalších aspektů řízení výroby v současné době spočívá v rozhodování managementu, které ovlivňuje velký počet různé druhy faktorů, které jsou spolu úzce propojeny, v důsledku čehož je nemožné analyzovat každý zvlášť pomocí tradičních analytických metod.

Většina faktorů je v rozhodovacím procesu rozhodující a nelze je (ze své podstaty) kvantifikovat. Jsou i takové, které se prakticky nemění. V tomto ohledu vyvstala potřeba vyvinout speciální metody schopné zajistit výběr důležitých manažerských rozhodnutí v rámci složitých organizačních, ekonomických, technických problémů (expertní posudky, metody operačního výzkumu a optimalizace atd.).

Metodami zaměřenými na operační výzkum se nalézají optimální řešení v oblastech řízení, jako je organizace výrobních a přepravních procesů, plánování velkovýroby, materiálové a technické zásobování.

Metody pro optimalizaci řešení zahrnují výzkum srovnáváním numerických odhadů řady faktorů, jejichž analýzu nelze provádět tradičními metodami. Optimální řešení je nejlepší z možných variant ekonomického systému a nejpřijatelnější ve vztahu k jednotlivým prvkům systému je suboptimální.

Podstata metod operačního výzkumu

Jak již bylo zmíněno dříve, tvoří metody pro optimalizaci manažerských rozhodnutí. Jejich základem jsou matematické (deterministické), pravděpodobnostní modely reprezentující zkoumaný proces, typ činnosti nebo systému. Tento typ modelu představuje kvantitativní charakteristiku odpovídajícího problému. Slouží jako základ pro přijímání důležitých manažerských rozhodnutí v procesu hledání optimální varianty.

Seznam problémů, které hrají významnou roli pro přímé výrobní manažery a které se řeší při používání uvažovaných metod:

• stupeň platnosti zvolených možností rozhodnutí;
• o kolik jsou lepší než alternativy;
• míra zohlednění určujících faktorů;
• jaké je kritérium optimálnosti zvolených řešení.

Tyto metody optimalizace rozhodování (manažerské) jsou zaměřeny na nalezení optimálních řešení pro co nejvíce firem, společností nebo jejich divizí. Vycházejí z dosavadních výsledků ve statistických, matematických a ekonomických disciplínách (teorie her, řazení do fronty, grafika, optimální programování, matematická statistika).

Metody odborného posouzení

Tyto metody pro optimalizaci manažerských rozhodnutí se používají tehdy, když problém částečně nebo zcela nepodléhá formalizaci a jeho řešení nelze nalézt pomocí matematických metod.

Odbornost je studium komplexních speciálních problémů ve fázi vývoje konkrétního manažerského rozhodnutí příslušnými osobami, které mají speciální znalostní základnu a působivé zkušenosti, aby bylo možné získat závěry, doporučení, názory a hodnocení. V procesu expertního výzkumu jsou v rámci expertní specializace využívány nejnovější poznatky vědy i techniky.

Uvažované metody pro optimalizaci řady manažerských rozhodnutí (odborných posudků) jsou účinné při řešení následujících úkolů řízení v oblasti výroby:

1. Studium složitých procesů, jevů, situací, systémů, které se vyznačují neformálními, kvalitativními charakteristikami.
2. Pořadí a určení podle daného kritéria významných faktorů, které jsou rozhodující pro fungování a rozvoj produkčního systému.
3. Uvažované optimalizační metody jsou zvláště účinné při predikci trendů ve vývoji výrobního systému a také jeho interakce s vnějším prostředím.
4. Zvýšená spolehlivost odborné posouzení převážně cílit na funkce, které mají kvantitativní a kvalitativní povahu, prostřednictvím zprůměrování názorů kvalifikovaných odborníků.

A to jsou jen některé metody pro optimalizaci řady manažerských rozhodnutí (odborné posouzení).

Klasifikace uvažovaných metod

Metody řešení optimalizačních problémů na základě počtu parametrů lze rozdělit na:

• Jednorozměrné optimalizační metody.
• Vícerozměrné optimalizační metody.

Říká se jim také „numerické optimalizační metody“. Abych byl přesný, jedná se o algoritmy pro jeho vyhledávání.

V rámci použití derivátů jsou tyto metody:

• metody přímé optimalizace (nultého řádu);
• gradientní metody (1. řádu);
• Metody 2. řádu atd.

Většina metod vícerozměrné optimalizace má blízko k problému druhé skupiny metod (jednorozměrná optimalizace).

Jednorozměrné optimalizační metody

Jakékoli numerické optimalizační metody jsou založeny na přibližném nebo přesném výpočtu takových charakteristik, jako jsou hodnoty účelové funkce a funkce, které definují přípustnou množinu a jejich derivace. Pro každý jednotlivý úkol tak může být otázka týkající se volby charakteristik pro výpočet vyřešena v závislosti na existujících vlastnostech uvažované funkce, dostupných možnostech a omezeních při ukládání a zpracování informací.

Existují následující metody řešení optimalizačních problémů (jednorozměrné):

• Fibonacciho metoda;
• dichotomie;
• Zlatý řez;
• zdvojnásobení kroku.

Fibonacciho metoda

Nejprve je třeba nastavit souřadnice bodu x na intervalu jako číslo rovné poměru rozdílu (x - a) k rozdílu (b - a). Proto má a souřadnici 0 vzhledem k intervalu a b má souřadnici 1 a střed je ½.

Pokud předpokládáme, že F0 a F1 jsou si navzájem rovny a vezmeme hodnotu 1, F2 se bude rovnat 2, F3 - 3, ..., pak Fn = Fn-1 + Fn-2. Fn jsou tedy Fibonacciho čísla a Fibonacciho hledání je optimální strategie pro tzv. sekvenční hledání maxima, protože s nimi docela úzce souvisí.

V rámci optimální strategie je zvykem volit xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Pro kterýkoli ze dvou intervalů (nebo), z nichž každý může fungovat jako zúžený interval nejistoty, bude mít bod (zděděný) vzhledem k novému intervalu buď souřadnice , nebo . Dále se jako xn - 2 bere bod, který má jednu z prezentovaných souřadnic vzhledem k novému intervalu. Pokud použijete F(xn - 2), funkční hodnotu, která je zděděna z předchozího intervalu, bude možné snížit interval nejistoty a zdědit jednu funkční hodnotu.

V posledním kroku bude možné přejít na interval nejistoty, jako je , zatímco střední bod je zděděn z předchozího kroku. Jako x1 je nastaven bod, který má relativní souřadnici ½+ε a konečný interval nejistoty bude nebo [½, 1] vzhledem k .

V 1. kroku byla délka tohoto intervalu zkrácena na Fn-1: Fn (z jedné). V dokončovacích krocích je zmenšení délek odpovídajících intervalů reprezentováno čísly Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Délka takového intervalu jako finální verze tedy nabude hodnoty (1 + 2ε) : Fn.

Pokud zanedbáme ε, pak asymptoticky 1: Fn se bude rovnat rn, s n→∞, a r = (√5 - 1) : 2, což je přibližně rovno 0,6180.

Stojí za zmínku, že asymptoticky pro významné n každý následující krok Fibonacciho hledání významně zužuje uvažovaný interval o výše uvedený koeficient. Tento výsledek je nutné porovnat s 0,5 (koeficient zúžení intervalu nejistoty v rámci metody půlení pro nalezení nuly funkce).

Metoda dichotomie

Pokud si představíte určitou účelovou funkci, musíte nejprve najít její extrém na intervalu (a; b). K tomu je osa úsečky rozdělena na čtyři ekvivalentní části, poté je nutné určit hodnotu příslušné funkce v 5 bodech. Dále je vybráno minimum z nich. Extrém funkce musí ležet v intervalu (a"; b"), který sousedí s minimálním bodem. Hranice hledání se zúží 2krát. A pokud se minimum nachází v bodě a nebo b, pak se zužuje všemi čtyřmi časy. Nový interval je také rozdělen na čtyři stejné segmenty. Vzhledem k tomu, že hodnoty této funkce ve třech bodech byly určeny v předchozí fázi, je pak nutné vypočítat účelovou funkci ve dvou bodech.

Metoda zlatého poměru

Pro významné hodnoty n jsou souřadnice bodů jako xn a xn-1 blízké 1 - r, rovnající se 0,3820 a r ≈ 0,6180. Posun z těchto hodnot je velmi blízký požadované optimální strategii.

Pokud předpokládáme, že F(0,3820) > F(0,6180), pak je interval nastíněn. Avšak vzhledem k tomu, že 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, pak F je v tomto bodě již známá. V důsledku toho je v každé fázi, počínaje 2., nutný pouze jeden výpočet účelové funkce a každý krok zkracuje délku uvažovaného intervalu faktorem 0,6180.

Na rozdíl od Fibonacciho vyhledávání, in tato metoda není třeba před zahájením vyhledávání opravovat číslo n.

„Zlatý řez“ úseku (a; b) je úsek, u kterého je poměr jeho délky r k větší části (a; c) shodný s poměrem větší části r k menší, tzn. (a; c) až (c; b). Není těžké uhodnout, že r je určeno výše uvedeným vzorcem. V důsledku toho pro významné n přechází Fibonacciho metoda do tohoto.

Metoda krokového zdvojení

Podstatou je hledání směru poklesu účelové funkce, pohyb tímto směrem v případě úspěšného hledání s postupně se zvyšujícím krokem.

Nejprve určíme počáteční souřadnici M0 funkce F(M), minimální hodnotu kroku h0 a směr hledání. Poté definujeme funkci v bodě M0. Dále uděláme krok a zjistíme hodnotu této funkce v tomto bodě.

Pokud je funkce menší než hodnota, která byla v předchozím kroku, další krok by měl být proveden ve stejném směru, přičemž by se měl nejprve 2krát zvýšit. Pokud je jeho hodnota větší než předchozí, budete muset změnit směr hledání a poté se začít pohybovat vybraným směrem s kroky h0. Prezentovaný algoritmus lze upravit.

Vícerozměrné optimalizační metody

Výše zmíněná metoda nultého řádu nebere v úvahu derivace minimalizované funkce, proto může být jejich použití efektivní, pokud se vyskytnou nějaké potíže při výpočtu derivací.

Skupina metod 1. řádu se také nazývá gradientní metody, protože pro stanovení směru hledání se používá gradient dané funkce - vektor, jehož složkami jsou parciální derivace minimalizované funkce vzhledem k odpovídajícím optimalizovaným parametrům. .

Ve skupině metod 2. řádu jsou použity 2 derivace (jejich použití je značně omezené z důvodu obtíží při jejich výpočtu).

Seznam neomezených optimalizačních metod

Při použití vícerozměrného vyhledávání bez použití derivátů jsou neomezené metody optimalizace následující:

• Hook and Jeeves (provádějící 2 typy vyhledávání - na základě vzoru a průzkumné);
• minimalizace správným simplexem (hledání minimálního bodu odpovídající funkce porovnáním jejích hodnot ve vrcholech simplexu při každé jednotlivé iteraci);
• cyklický souřadnicový sestup (použití souřadnicových vektorů jako referenčních bodů);
• Rosenbrock (založený na použití jednorozměrné minimalizace);
• minimalizace pomocí deformovaného simplexu (úprava minimalizační metody pomocí běžného simplexu: přidání procedury stlačení a natažení).

V situaci použití derivací v procesu vícerozměrného vyhledávání se rozlišuje metoda nejstrmějšího sestupu (nejzásadnější postup pro minimalizaci diferencovatelné funkce s více proměnnými).

Existují také další metody, které používají konjugované směry (Davidon-Fletcher-Powell metoda). Jeho podstatou je znázornění směrů hledání jako Dj*grad(f(y)).

Klasifikace matematických optimalizačních metod

Konvenčně, na základě dimenze funkcí (cíl), jsou to:

• s 1 proměnnou;
• multidimenzionální.

V závislosti na funkci (lineární nebo nelineární) existuje velké množství matematických metod zaměřených na nalezení extrému k řešení problému.

Podle kritéria pro použití derivátů matematické metody optimalizace se dělí na:

• metody pro výpočet 1 derivace účelové funkce;
• multidimenzionální (1. derivace-vektorová veličina-gradient).

Na základě účinnosti výpočtu existují:

• metody pro rychlý výpočet extrému;
• zjednodušený výpočet.

Toto je podmíněná klasifikace uvažovaných metod.

Optimalizace obchodních procesů

Zde lze použít různé metody v závislosti na řešených problémech. Pro optimalizaci obchodních procesů je obvyklé rozlišovat následující metody:

• výjimky (snížení úrovní stávajícího procesu, odstranění příčin rušení a příchozí kontroly, snížení přepravních cest);
• zjednodušení (usnadněné zpracování objednávek, snížení složitosti struktury produktu, rozložení práce);
• standardizace (použití speciálních programů, metod, technologií atd.);
• akcelerace (paralelní inženýrství, stimulace, provozní návrh prototypů, automatizace);
• změna (změny surovin, technologie, pracovních metod, personálního obsazení, pracovních systémů, objemu zakázek, postupů zpracování);
• zajištění interakce (ve vztahu k organizačním jednotkám, personálu, systému práce);
• výběr a zařazení (ve vztahu k nezbytným procesům, komponentám).

Daňová optimalizace: metody

Ruská legislativa poskytuje daňovému poplatníkovi velmi bohaté možnosti snížení daní, proto je zvykem takové metody směřující k jejich minimalizaci rozlišovat na obecné (klasické) a speciální.

Obecné metody daňové optimalizace jsou následující:

• vypracování účetní politiky společnosti s maximálním možným využitím příležitostí, které poskytuje ruská legislativa (postup při odepisování malých podniků, volba metody pro výpočet výnosů z prodeje zboží atd.);
• optimalizace prostřednictvím smlouvy (uzavření preferenčních transakcí, jasné a kompetentní použití formulací atd.);
• uplatnění různých druhů výhod a osvobození od daně.

Druhou skupinu metod mohou také používat všechny společnosti, ale stále mají spíše úzký rozsah použití. Speciální metody daňové optimalizace jsou následující:

• nahrazení vztahů (operace, která zahrnuje zatěžující zdanění, je nahrazena jinou, což umožňuje dosáhnout podobného cíle, ale zároveň využít zvýhodněné daňové zacházení).
• rozdělení vztahů (nahrazení pouze části obchodní transakce);
• odklad platby daně (odložení okamžiku vzniku zdanitelného předmětu na jiné kalendářní období);
• přímé snížení předmětu zdanění (zbavení se mnoha zdanitelných plnění nebo majetku, aniž by to mělo negativní dopad na hlavní ekonomická aktivita společnosti).

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "Uralská státní technická univerzita - UPI" PARAMETRICKÁ OPTIMALIZACE RADIOELEKTRONICKÝCH OBVODŮ Pokyny pro laboratorní práce v kurzu „Počítačová analýza elektronických obvodů“ pro studenty všech forem studia v oboru 200700 - Radiotechnika Jekatěrinburg 2005 UDC 681,3,06:621.396.6 Sestavil V.V. Kiykov, V.F. Kochkina, K.A. Vědecký redaktor Vdovkin docent, kandidát věd tech. Vědy V.I. Gadzikovsky PARAMETRICKÁ OPTIMALIZACE RADIOELEKTRONICKÝCH OBVODŮ: pokyny pro laboratorní práci v předmětu „Počítačová analýza elektronických obvodů“ /srov. V.V. Kiiko, V.F. Kochkina, K.A. Vdovkin. Ekaterinbug: Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání USTU-UPI, 2005. 21 s. Směrnice obsahují informace o formulaci optimalizačních problémů, kritériích optimality a teorii hledání minima účelové funkce. Je uveden přehled metod parametrické optimalizace, podrobně je popsána Hook-Jeevesova metoda a jsou uvedeny otázky pro sebekontrolu. Bibliografie: 7 titulů. Rýže. 6. Zpracovala katedra radioelektroniky informačních systémů.  Státní vzdělávací ústav vyššího odborného vzdělávání „Uralská státní technická univerzita-UPI“, 2005 2 OBSAH ÚČEL PRÁCE................................. ................................................................... ............................................. 4 1. OBECNÉ METODICKÉ POKYNY...................... ........................ ............ 4 2. TEORIE OPTIMALIZACE....................................... ............................................................. ........ 4 2.1. Formální (matematická) formulace optimalizační úlohy................. 4 2.2. Vyjádření problému parametrické optimalizace OZE................................................. 5 2.3. Kritéria optimalizace ................................................ ...................................... 7 2.4. Strategie řešení problémů optimálního návrhu OZE................................................ ........ 9 2.5. Globální vyhledávací algoritmy ................................................................ ................ ................... 9 2.5.1. Algoritmus náhodného vyhledávání ................................................................ ................... ........................ 10 2.5.2. Monotónní globální vyhledávací algoritmus .................................................. ...... 10 2.5.3. Algoritmus skenování na mřížce šedého kódu................................................ ......... 10 2.6. Metody a algoritmy místního vyhledávání ................................................ ........................... 11 2.6.1. Přímé metody ................................................ ...................................................... 11 2.6.2. Gradientové optimalizační metody prvního řádu................................................. 13 2.6.3. Gradientové metody optimalizace 2. řádu................................................. 13 3. POPIS PROGRAM POČÍTAČOVÉ ANALÝZY......... 15 3.1. Spusťte program. ...................................................... ...................................................... ... 15 3.2. Sestavení optimalizační úlohy ................................................................ ...................... ............ 15 3.3. Výsledky optimalizace ................................................ ... ................................... 17 4. OBSAH LABORATORNÍ PRÁCE...... ...................................... 19 4.1. Prováděcí příkaz ................................................ ... ........................................ 19 4.2. Zadání laboratorní práce ................................................................ ............... .......................... 19 5. METODICKÉ POKYNY PRO PŘÍPRAVU VÝCHOZÍCH ÚDAJŮ ................................................................... ............................................................. ................................... 20 6. OBSAH ZPRÁVY............ ........................................................ ...................... 20 7. OTÁZKY PRO SEBEKONTROLU......... ........ ................................................ 20 REFERENCE ...................................................... ...................................................... ............. 21 3 CÍL PRÁCE Získat prezentaci a praktické dovednosti parametrické optimalizace elektronických zařízení v automatizovaném návrhu obvodů radioelektronických zařízení (REA). 1. OBECNÉ METODICKÉ POKYNY Tato práce je třetí ze souboru laboratorních prací o metodách výpočtu, analýzy a optimalizace radioelektronických obvodů. Komplex zahrnuje následující práce: 1. Výpočet radioelektronických obvodů metodou uzlových potenciálů. 2. Analýza elektronických obvodů modifikovanou metodou uzlových potenciálů. 3. Parametrická optimalizace radioelektronických obvodů. 4. Analýza elektronických obvodů pomocí obvodových funkcí. V první a druhé laboratorní práci byla provedena frekvenční analýza, stanovena citlivost napěťového zesílení od změn vnitřních parametrů a vypočteny přechodové a impulsní charakteristiky při jmenovitých hodnotách parametrů prvků OZE, které byly původně vybrány (nastaveny nebo vypočteny) ne nejlepším způsobem. V této práci je provedena parametrická optimalizace navrženého OZE tak, aby výstupní parametry odpovídaly požadavkům technické specifikace. 2. TEORIE OPTIMALIZACE 2.1. Formální (matematická) formulace optimalizačního problému Optimalizace parametrů (parametrická optimalizace) se obvykle nazývá problémem výpočtu optimálních nominálních hodnot vnitřních parametrů konstrukčního objektu. Problémy s optimalizací parametrů v elektronických zařízeních CAD jsou redukovány na problém matematického programování extr F(X), XXД, (1) kde XД = (XX0| k (X) ≥ 0, r (X ) = 0, k  , r  ). Vektor X=(x1, x2, . . . xn) se nazývá vektor řízených (proměnných) parametrů; F(X) - celá funkce (funkce kvality); XD - přípustná plocha; X0 je prostor, ve kterém je definována účelová funkce; Funkce k(X) a r(X) jsou omezení. 4 Slovní formulace problému (1): najděte extrém cílové funkce F(X) v oblasti XD, omezenou v prostoru X0 N nerovnostmi k(X) ≥ 0 a M rovnostmi r (X) = 0. Cílová funkce musí být formulována na základě existujících představ o kvalitě navrženého objektu: její hodnota by měla klesat se zlepšováním kvality, pak v (1) je nutná minimalizace (extr je min), nebo zvýšení, pak v ( 1) je vyžadována maximalizace (extr je max). Omezení jsou nerovnosti tvaru xi > xi min nebo xi< xi max , называют прямыми ограничениями, где xi min и xi max - заданные константы, остальные ограничения называют функциональными. Задача поиска максимума, как правило, сводится к задаче поиска минимума путем замены F(Х) на -F(Х). Функция F(Х) имеет локальный минимум в точке Х0, если в малой окрестности этой точки F(Х) ≥ F(Х0). И функция F(Х) имеет глобальный минимум в точке Х*, если для всех Х справедливо неравенство F(Х) ≥ F(Х*). Классическая теория оптимизации подробно изложена в соответствующей литературе, например . Ниже основное внимание уделено применению теории оптимизации для поиска оптимальных решений при проектировании радиоэлектронной аппаратуры. 2.2. Постановка задачи параметрической оптимизации РЭС Решение задачи проектирования обычно связана с выбором оптимального, наилучшим образом удовлетворяющего требованиям технического задания варианта устройства из некоторого допустимого множества решений. Эффективное решение задач базируется на формальных поисковых методах оптимизации и неформальных способах принятия оптимальных проектных решений. Поэтому решение задач оптимального проектирования необходимо рассматривать не только в вычислительном аспекте, но скорее в творческом, учитывая опыт и знания инженера-схемотехника на всех этапах автоматизированного проектирования. Одной из наиболее cложных операций при решении задач оптимального проектирования является этап математической формулировки задачи, которая включает в себя выбор критерия оптимальности, определение варьируемых параметров и задание ограничений, накладываемых на варьируемые параметры . Среди задач схемотехнического проектирования, которые целесообразно решать с привлечением методов оптимизации, выделяют следующие задачи параметрического синтеза и оптимизации: - определение параметров компонентов схемы, обеспечивающих экстремальные характеристики при заданных ограничениях; - определение параметров функциональных узлов схем исходя из требований технического задания на характеристики устройства в целом; - адаптация существующих схемных решений с целью подбора параметров, удовлетворяющих новым требованиям к схеме; 5 - уточнение значений параметров компонентов схемы, полученных в результате ручного инженерного расчета. Для схем приемно-усилительной техники оптимизация ведется по отношению к таким выходным параметрам, как: - коэффициент усиления и полоса пропускания: - форма частотной характеристики; - устойчивость усилителя или активного фильтра; - время запаздывания, длительность фронта импульса. Примечание. Класс задач, связанный с определением значений параметров компонентов, при которых проектируемая схема удовлетворяет совокупности условий технического задания на разработку, принято называть параметрическим синтезом (по отношению к определяемым параметрам) или параметрической оптимизацией (по отношению к реализуемым характеристикам). В любой из перечисленных задач реализуемые характеристики проектируемого устройства являются функциями вектора варьируемых (настраиваемых) параметров, составляющих некоторое подмножество полного набора параметров компонентов схемы. Целью параметрического синтеза или оптимизации является определение вектора параметров X, обеспечивающего наилучшее соответствие характеристик устройства Y = Y(X) требованиям технического задания. Для решения этой задачи необходимо, прежде всего, выбрать формальный критерий оценки качества каждого из вариантов проектируемого устройства, который позволил бы различать их между собой и устанавливать между ними отношения предпочтения. Такая оценка может быть представлена функциональной зависимостью вида F(X) =F(Y(X)), называемой обычно критерием оптимальности, функцией качества или целевой функцией. Задача поиска параметров компонентов схемы сводится к классической задаче оптимизации - нахождения экстремума некоторой функции качества F(X) при наличии ограничений (равенств, неравенств или двухсторонних границ), накладываемых на варьируемые параметры и характеристики проектируемой схемы . Разнообразные задачи оптимизации аналоговых радиоэлектронных схем имеют общие черты, основные из которых: - многокритериальность оптимизационных задач; - отсутствие явных аналитических зависимостей выходных параметров от внутренних параметров, связь между внутренними и внешними параметрами выражается системами уравнений и оценивается количественно только через численное решение этих систем. Эти особенности обуславливают трудности постановки и решения задач оптимизации аналоговых радиоэлектронных схем. 6 2.3. Критерии оптимальности В процессе поиска оптимального решения для каждой конкретной задачи может оказаться предпочтительным определенный вид критерия оптимальности. Базовый набор критериев оптимальности, позволяющий удовлетворить разнообразные требования инженера-схемотехника к оптимизируемым характеристикам проектируемых устройств, изложен в . Так, для отыскания экстремума (минимума или максимума) показателя качества, например, как потребляемая схемой мощность, частота среза, используется само значение критерия оптимальности без преобразования: F1(X) = Y(X), (2) В задачах, требующих максимального соответствия оптимизируемой характеристики и некоторой желаемой, например, при оптимизации частотных характеристик, наиболее целесообразно использовать критерий среднего квадратического отклонения F2 ()  (Y() - Y )2 , (3) где Y* - желаемое или требуемое по Technické specifikace charakteristická hodnota, () - znaménko průměrování. Pro charakteristiku specifikovanou diskrétní množinou bodů je účelová funkce 1 F2 (X)  N N  (Y(X , p i 1 i)  Yi)2 , * i (4) kde N je počet vzorkovací body nezávisle proměnné p; Y(X, pi) - hodnota optimalizované charakteristiky v i-tém bodě vzorkovacího intervalu; i je váhový koeficient i-té hodnoty optimalizované charakteristiky, odrážející důležitost i-tého bodu ve srovnání s ostatními (obvykle 0< i > 1). Minimalizační funkce (3) a (4) zajistí, že charakteristiky jsou blízké směrodatné odchylce. Funkce (4) se používá v numerických metodách pro výpočet Y(X). U některých optimalizačních problémů je nutné zajistit, aby optimalizovaná charakteristika přesáhla nebo nepřekročila určitou stanovenou úroveň. Tato kritéria optimality jsou implementována následujícími funkcemi: - zajistit, aby byla překročena specifikovaná úroveň F3 (X)  0 při Y (X)  YH* ; (Y  Y (X)) 2 na Y (X)  YH*; 7 (5) - zajistit, aby nebyla překročena zadaná úroveň F4 (X)  0 u Y (X)  YB* (Y (X)  YB*) 2 u Y (X)  YB*, (6) kde YH*, YB* - dolní a horní hranice přípustné plochy pro charakteristiku Y(X). Pokud je nutné, aby optimalizovaná charakteristika procházela v určité přijatelné zóně (koridoru), použije se kombinace dvou předchozích kritérií optimality: 0atYH*  Y (X)  YB* ; F(X)  (Y (X)  YB*) 2 pro Y (X)  YB* , (YH*  Y (X)) 2 pro Y (X)  YH* . (7) V případech, kdy je nutné realizovat pouze tvar křivky, při ignorování konstantního vertikálního posunutí, je kritérium posunu N F6 (X)    i (Yi *  Y (X , pi)  Yav) 2 , ( 8) i 1 kde Yср  1 N *  (Yi  Y (X , pi)). N i 1 Důležité charakteristiky výpočetního procesu a především konvergence optimalizačního procesu závisí na typu účelové funkce. Znaménka derivací účelové funkce vzhledem k řízeným parametrům nezůstávají konstantní v celé přípustné oblasti. U objektivních funkcí tvaru (4) a (8) vede posledně jmenovaná okolnost k jejich rýhovému charakteru. Charakteristickým rysem objektivních funkcí při řešení problémů návrhu obvodů je tedy jejich vulgární povaha, která vede k vysokým nákladům na výpočet a vyžaduje zvláštní pozornost při výběru optimalizační metody. Dalším rysem objektivních funkcí je, že jsou obvykle multiextrémní a spolu s globálním minimem existují i ​​lokální minima. Zvláštností optimalizačních problémů pro elektronické obvody je, že vnitřní parametry nemohou nabývat libovolných hodnot. Hodnoty rezistorů a kondenzátorů jsou tedy omezeny na určité maximální a minimální hodnoty. Navíc z více externích parametrů lze obvykle vybrat jeden hlavní, podle kterého se optimalizace provádí, a pro ostatní uvést přijatelné meze změny. 8 Optimalizační problém s omezeními je redukován na optimalizační problém bez omezení zavedením penalizačních funkcí. Účelová funkce pak nabývá tvaru M N r 1 k 1  (X)  Fi (X)   r ( T (X)) 2    k ( k (X)) 2 , (9 ) kde r, k jsou číselné koeficienty, které berou v úvahu důležitost určitého omezení vzhledem k ostatním. Jsou rovny nule, pokud je splněna odpovídající nerovnost z (1) a jinak nabývají určitých hodnot; Fi(X) je jednou z funkcí kvality popsaných vztahem (2) - (8). Překročení přípustné CD oblasti tedy vede ke zvýšení minimalizované obvodové funkce a mezilehlá řešení Xj jsou držena „bariérou“ na hranici CD oblasti. Výška „bariéry“ je určena hodnotami  a , které se v praxi pohybují v širokých mezích (1-1010). Čím větší  a , tím menší je pravděpodobnost, že překročí povolenou oblast. Zároveň se také zvyšuje strmost svahu rokle na hranici, což zpomaluje nebo zcela narušuje konvergenci procesu minimalizace. Vzhledem k nemožnosti specifikovat optimální hodnoty  a  je vhodné začít s optimalizací s malými hodnotami a poté je zvyšovat při získávání řešení mimo povolenou oblast. 2.4. Strategie řešení problémů optimálního návrhu OZE Problémy optimálního návrhu OZE mají specifické rysy, mezi něž patří mnohoextremalita a roklenost funkce jakosti, přítomnost omezení na vnitřní a výstupní parametry navrženého zařízení a velká rozměr vektoru různých parametrů. Strategie řešení optimálních návrhových problémů zahrnuje použití globálních optimalizačních postupů v počátečních fázích hledání a zpřesňování výsledného globálního řešení pomocí lokálních algoritmů, které rychle konvergují v blízkosti optimálního bodu. Tato strategie umožňuje za prvé stanovit hodnotu globálního extrému s dostatečnou spolehlivostí a přesností a za druhé výrazně snížit výpočetní náklady na vyhledávání. V tomto případě lze fáze globálního vyhledávání provádět s nízkou přesností a fáze lokálního zpřesňování se provádějí v oblasti přitažlivosti globálního extrému, což vyžaduje výrazně menší počet výpočtů. 2.5. Algoritmy globálního vyhledávání Algoritmy globálního vyhledávání zpravidla poskytují poměrně hrubý odhad globálního extrému při nízkých nákladech na výpočetní zdroje a vyžadují výrazné zvýšení počtu výpočtů pro získání přesnějšího odhadu polohy extrému. 2.5.1. Algoritmus náhodného vyhledávání Nejjednodušší z hlediska implementace výpočetního procesu je algoritmus pro vyhledávání globálního extrému, založený na prozkoumání přípustné oblasti datového skladu s posloupností bodů rovnoměrně rozložených v něm a výběrem nejlepší možnost ze získaných. Kvalita práce algoritmu je do značné míry dána vlastnostmi senzoru rovnoměrně rozložených náhodných čísel používaných ke generování vektorů X  HD 2. 5.2. Monotónní globální vyhledávací algoritmus Multidimenzionální optimalizace tímto algoritmem je založena na konstrukci skenu (Peanova křivka) mapujícího segment reálné osy do hyperkrychle přípustné oblasti HD. Pomocí rozmítání se provede jednoznačné a spojité zobrazení X(), které pro libovolný bod 0,1 umožňuje získat bod X  HD. Pak je problém minimalizace F(X) v CD doméně ekvivalentní nalezení minima * jednorozměrné funkce F(X) = F(X()). Pro provedení globální jednorozměrné minimalizace funkce F() na intervalu 0,1 v optimalizačním subsystému systému návrhu obvodů DISP je použita monotónní modifikace globálního vyhledávacího algoritmu, který implementuje monotónní transformace F() ve tvaru  ()  pro urychlení konvergence ( 1  [ 1  F ()] 2 )0 .5 , (10), která zachovává polohu bodu globálního extrému, ale činí funkce jemnější. Algoritmus poskytuje poměrně dobrý odhad globálního extrému během prvních 50-100 iterací. Nejlepších výsledků se dosáhne, pokud počet proměnných nepřekročí 5-7. Pro uvažovaný algoritmus lze v některých případech dosáhnout lepších výsledků při použití transformace vyhledávacího prostoru podle logaritmického zákona. Tato transformace je zvláště účinná, pokud se hranice vyhledávání liší o několik řádů, což je důležité v problémech optimalizace REA, a pokud se extrém nachází v blízkosti hranic regionu. 2.5.3. Algoritmus skenování na mřížce Grayova kódu Hlavní myšlenkou metody je postupně měnit konkrétní vyhledávací kouli s charakteristickými paprsky obsahujícími testovací body a přitom shromažďovat a zpracovávat přijaté informace. Směr skenování se provádí na speciální mřížce specifikované 10 šedým binárním kódem. Vyhledávací koule na mřížce Grayova kódu v uvažovaném algoritmu se liší od tradiční (kruh s počtem proměnných rovným 2) a má kromě kruhu charakteristické paprsky. Paprsky směřují ze středu koule k hranicím HD oblasti a tím jakoby „průhlední“ celou oblast k jejím hranicím. Uvažovaný algoritmus má jediný nastavitelný parametr -citlivost funkce kvality na variace parametru, který se používá k určení kroku diskrétnosti pro každou z proměnných. 2.6. Metody a algoritmy lokálního vyhledávání Metody a algoritmy lokálního vyhledávání nejčastěji hledají nejbližší lokální extrém a trajektorie jejich pohybu silně závisí na volbě výchozího bodu a povaze účelové funkce. 2.6.1. Přímé metody Metody nultého řádu (přímé metody) v zásadě nemají striktní matematické opodstatnění a jsou budovány na základě rozumných návrhů a empirických dat. Nejjednodušší metodou nultého řádu je metoda souřadnicového sestupu (Gauss-Seidel). V každém kroku jsou všechny proměnné pevné kromě jedné, která se používá k určení minima účelové funkce. Optimalizace je dosaženo sekvenčním výčtem proměnných. Tento algoritmus je neúčinný, pokud účelová funkce obsahuje výrazy jako x1x2. Problémy návrhu obvodu, ve kterých není možné získat analytické vyjádření účelové funkce, se vyznačují její komplexní závislostí na součástech obvodu, a proto je tato metoda obvykle nepoužitelná. Z metod nultého řádu v případě gullyových objektivních funkcí dosahuje dobrých výsledků Rosenbrockova metoda, která kombinuje myšlenky sestupu souřadnic a myšlenky transformace souřadnic. Nejlepším směrem k hledání extrému je pohybovat se podél rokle. Proto se po prvním cyklu souřadnicového klesání souřadnicové osy pootočí tak, aby jedna z nich souhlasila se směrem rokle Xk - Xk - n, k = n, 2n, 3n…. Rosenbrockova metoda neposkytuje informaci o dosažení minimálního bodu. Proto se počítání zastaví buď poté, co pokles F(X) bude menší než určité malé číslo , nebo po určitém počtu cyklů. Metoda Hook-Jeeves byla vyvinuta v roce 1961, ale stále je velmi účinná a originální. Nalezení minima objektivní funkce se skládá ze sekvence průzkumných kroků prohledávání kolem základního bodu, po nichž, je-li úspěšné, následuje vyhledávání vzorů. Tento postup se skládá z následujících kroků: 1. Vyberte počáteční referenční bod b1 a krok délky hj pro každou proměnnou xj, j=1,2,…,n skalární objektivní funkce F(X). 11 2. Vypočítejte F(X) v základním bodě b1, abyste získali informace o lokálním chování funkce F(X). Tato informace bude použita k nalezení směru hledání vzoru, který lze snad použít k dosažení většího snížení hodnoty funkce F(X). Hodnotu funkce F(X) v základním bodě b1 zjistíme takto: a) vypočteme hodnotu funkce F(b1) v základním bodě b1; b) každá proměnná se postupně mění změnou kroku. Vypočte se tedy hodnota F(b1 + he1), kde e1 je jednotkový vektor ve směru osy x1. Pokud to vede ke snížení hodnot funkce, pak je b1 nahrazeno b1 + he1. V opačném případě se vypočítá hodnota funkce F(b1 - he1) a pokud se její hodnota sníží, nahradí se b1 b1 - he1. Pokud žádný z provedených kroků nevede ke snížení hodnot funkcí, pak bod b1 zůstává nezměněn a jsou uvažovány změny směru osy x2, tzn. tj. je nalezena hodnota funkce F(b1 + h2e2) atd. Když se vezme v úvahu všech n proměnných, určí se nový základní bod b2; c) jestliže b2 = b1, tj. nebylo dosaženo redukce funkce F(X), pak studie pokračuje kolem stejného základního bodu b1, ale se zkrácenou délkou kroku. V praxi se výška tónu zpravidla zmenší na 10násobek původní délky; d) pokud b2  b1, pak se hledá vzor. 3. Při vyhledávání se využívají informace získané v průběhu výzkumného procesu a minimalizace účelové funkce končí vyhledáváním ve směru určeném vzorkem. Tento postup se provádí následovně: a) pohyb se provádí ze základního bodu b2 ve směru b2 - b1, protože hledání v tomto směru již vedlo ke snížení hodnoty funkce F(X). Proto se vypočítá hodnota funkce ve vzorovém bodě P1 = b2 + (b2 - b1). Obecně platí, že Pi = 2bi+1 - bi; b) výzkum se provádí kolem bodu P1(Pi); c) pokud je nejmenší hodnota v kroku 3,b menší než hodnota v základním bodě b2 (v obecném případě bi+1), pak se získá nový základní bod b3(bi+2), po kterém následuje krok 3, a se opakuje. Jinak se hledání vzoru z bodu b2 (bi+1) neprovede. 4. Proces minimálního vyhledávání končí, když se délka kroku (délky kroku) zkrátí na zadanou malou hodnotu. 12 2.6.2. Gradientové optimalizační metody prvního řádu Metody hledání extrému pomocí derivací mají striktní matematické opodstatnění. Je známo, že při nalezení extrému neexistuje lepší směr než pohyb po gradientu. Z gradientních metod je jednou z nejúčinnějších metoda Fletcher-Powell (konjugované gradienty), což je typ metody nejstrmějšího sestupu. Metoda nejstrmějšího sestupu se skládá z následujících fází: 1) je určen výchozí bod (vektor Xk k=0); 2) F(Xk) a F(Xk) jsou vypočteny; 3) X se mění ve směru Sk = -F(Xk), dokud F(X) nepřestane klesat; 4) Předpokládá se k = k+1, vypočítá se nová hodnota F(Xk) a proces se opakuje od 3. fáze. Nevýhodou metody je, že u funkcí gully má přiblížení k minimu cik-cak charakter a vyžaduje velký počet iterací. Podstatou Fletcher-Powellovy metody je, že pro všechny iterace, počínaje druhou (při první iteraci se tato metoda shoduje s metodou nejstrmějšího sestupu), předchozí hodnoty F(X) a F(X) se používají k určení nového směrového vektoru   S k  F X k  d k S k 1 , kde (11) [F (X k)]T  F (X k) d . [F (X k 1)]T  F (X k 1) Tím se eliminuje klikatý charakter klesání a urychluje se konvergence. Tento algoritmus se snadno programuje a vyžaduje střední množství paměti stroje (je třeba vyplnit pouze předchozí směr vyhledávání a předchozí gradient). 2.6.3. Metody optimalizace gradientu druhého řádu Iterační metoda založená na znalosti druhých derivací je obecně známá jako Newtonova metoda. Nechť je funkce F(X) rozšířena na Taylorovu řadu a obsahuje tři členy. Výsledek zapíšeme v tomto tvaru: 1 F (X k  X)  F (X k)  (X)T F k  (X)T G k X 2 (12) Je třeba maximalizujte rozdíl v levých částech. To lze provést derivací (12) vzhledem k X a přirovnáním výsledku k nule: 13  [ F (X k  X)  F (X k)]  F k  G k X  0, X G k X  F k . Tuto rovnici lze řešit např. pomocí metody rozšíření LU vzhledem k Х. Formálně můžeme psát X  (G k) 1 F k   H k F k kde Н=G-1. Nyní předpokládáme, že směr hledání se shoduje s vektorem S k  X k   H k F k . (13) Při přechodu na minimum bude Hessova matice1 pozitivně definitní a lze použít plnou velikost kroku dk=1 (tj. není potřeba žádné vyhledávání ve směru Sk). Hessiánská matice však nemusí být ani zdaleka minimem pozitivně definitivní. Navíc je výpočet této matice drahý. Proto byla vyvinuta celá třída dalších metod, nazývaných variabilní metrické nebo kvazi-Newtonovy metody, které tyto nevýhody nemají. Tyto metody byly vyvinuty poměrně dávno, ale teprve nedávno byly zobecněny. Jsou založeny na odhadu gradientů a na aproximaci Hessovy matice nebo její inverze. Aproximace se dosahuje změnou původní pozitivně definitní matice zvláštním způsobem tak, aby byla zachována pozitivní definitivnost. Teprve při dosažení minima se výsledná matice aproximuje Hessově matici (nebo její inverzní). Ve všech metodách této třídy se určuje směr hledání, jako v Newtonově metodě (13). Při každé iteraci se pomocí matice Hk podle speciálního vzorce získá matice Hk+1. Jako příklad uvádíme vzorec získaný Davidonem, Fletcherem a Powellem a někdy se mu říká vzorec DFT:  2F 2F 2F  . . .   x1x n   x1x1 x1x 2  2F 2F 2F  . . .   1 Hessova matice - matice druhých derivací G (x)   x 2 x1 x 2 x 2 x 2 x n   . . .    2F 2F 2F   x x x x . . . (14) Tento vzorec je vhodný pouze v případě, že (X)T   0,  THk  0. Zde k=Fk+1-Fk. 3. POPIS PROGRAMU POČÍTAČOVÉ ANALÝZY Program má pohodlné grafické uživatelské rozhraní pro práci v prostředí operační systém Okna. Prvotním popisem optimalizovaného elektronického obvodu je informace v souboru vytvořeném během druhé laboratorní práce. Načtením tohoto souboru a výběrem prvků pro optimalizaci tento program vypočítá nové hodnoty prvků. Kritériem správnosti výpočtů je minimální hodnota účelové funkce, která se vypočítá jako vážená směrodatná odchylka požadovaných a skutečných charakteristik OZE: amplitudově-frekvenční, přechodové nebo impulsní charakteristiky. Program má standardní sadu ovládacích prvků - menu, panel nástrojů.... Automaticky se vytváří protokol o provedené laboratorní práci ve formátu html. Poznámka. Po vyplnění všech dialogových oken hodnotami se stiskne tlačítko<Далее>. Pokud výsledek zobrazený v následujícím okně není uspokojivý, stiskněte tlačítko<Назад> můžete se vrátit k předchozím krokům a změnit hledané výrazy. 3.1. Spuštění programu Po spuštění programu se otevře okno, ve kterém je třeba v liště Soubor otevřít soubor uložený po dokončení druhé laboratorní práce (obr. 1). 3.2. Sestavení optimalizační úlohy Soubor popisující obvod obsahuje parametry prvků včetně ekvivalentního obvodu tranzistoru. V levém okně je potřeba vybrat proměnné parametry pro parametrickou optimalizaci. Požadovaná charakteristika, například frekvenční odezva, je určena hodnotami frekvence (v Hz) a odpovídajícími hodnotami zesílení (v dB). V další fázi je nastaven počáteční krok měření parametrů při optimalizaci (obr. 2). 15 Obr. 1. Okno pro otevření vstupního souboru Obr. 2. Okno pro výběr optimalizačních hodnot 16 3.3. Výsledky optimalizace V další fázi program předloží výsledky výpočtu:  minimum účelové funkce;  parametry proměnných prvků před a po optimalizaci;  počet výpočtů cílové funkce;  zkracuje se počet kroků a vyhledávání vzorů. Kritériem správnosti získaných výsledků je minimální hodnota účelové funkce. Pro bipolární tranzistor by to mělo být přibližně 10-7 I10-8 a pro tranzistor s efektem pole - 10-4 I 10-5 (obr. 3). Pokud jsou výsledky optimalizace uspokojivé, pak přejdeme k další fázi - konstrukci amplitudově-frekvenčních nebo časových charakteristik (obr. 4, 6,). Pro přesné určení (zjištění) šířky pásma OZE, tzn. horní a dolní mezní frekvence, stejně jako pro stanovení doby přechodových procesů existují výpočtové tabulky (obr. 5). Rýže. 3. Okno výpočtu po optimalizaci 17 Obr. 4. Okno pro vykreslení frekvenční charakteristiky Obr. 5. Hodnoty frekvenční charakteristiky v tabulce 18 Obr. 6. Okno časových charakteristik 4. OBSAH LABORATORNÍ PRÁCE 4.1. Postup 1. Připravená etapa zahrnuje seznámení se směrnicemi pro laboratorní práci, prostudování teorie optimalizace pomocí poznámek z přednášek, literárních zdrojů a oddílu 2 těchto pokynů. 2. Druhá etapa zahrnuje realizaci teoretických prací: - tvorba požadavků na optimalizované charakteristiky OZE; - výběr prvku nebo prvků obvodu, podle jejichž parametrů má být provedena optimalizace. 3. Načtení optimalizačního programu s popisem optimalizovaného obvodu a úlohou pro parametrickou optimalizaci. 4. Proveďte optimalizaci. 5. Výpočet charakteristik obvodu s optimalizovanými parametry. 6. Závěrečná fáze. V této fázi se porovnávají charakteristiky OZE před a po optimalizaci. Na základě obdržených materiálů je vypracován protokol na listech A4 (297x210) s povinnou přílohou tiskových výstupů výsledků. 4.2. Zadání laboratorní práce 1. Na základě výsledků analýzy frekvenční charakteristiky zesilovače získaných v druhé laboratorní práci formulujte požadavky na ideální frekvenční charakteristiku. Vyberte metodu pro určení ideální frekvenční odezvy a souřadnic bodů na grafu frekvenční odezvy. 19 2. Určete skupinu prvků, jejichž parametry mají být optimalizovány. 5. METODICKÉ POKYNY PRO PŘÍPRAVU VÝCHOZÍCH ÚDAJŮ 5.1. Pomocí grafu frekvenční odezvy vypočítaného během druhé laboratorní práce jsou určeny horní a dolní mezní frekvence a objasněn vliv vysokofrekvenční induktivní korekce. 5.2. S využitím znalostí obvodů zesilovacích zařízení jsou určeny součástky, jejichž parametry určují horní a dolní mezní frekvence. 5.3. Ideální (požadovaná technickými specifikacemi) charakteristika je vynesena do grafu frekvenční odezvy. Jsou vybrány body optimalizace. Aby byl zachován typ frekvenční charakteristiky v propustném pásmu, je nutné vybrat i body v této části charakteristiky. 6. OBSAH ZPRÁVY 1. Účel práce. 2. Výchozí data ve formě schématu zapojení zesilovacího stupně a parametry jeho prvků před optimalizací. 3. Výpis výsledků strojní analýzy. 4. Analýza výsledků. Závěry. 7. OTÁZKY PRO SAMOKONTROLU 1. Vyjmenujte nezbytnou a postačující podmínku pro existenci minima funkce. 2. Která matice se nazývá pozitivně definitní? 3. Proč se účelová funkce nazývá jakostní funkce? 4. Pojmenujte hlavní vlastnost účelové funkce. 5. Které problémy se nazývají parametrická syntéza a které se nazývají parametrická optimalizace? 6. V jakých případech souvisí problém numerického hledání minima účelové funkce s problémy nelineárního programování? 7. Jaký je rozdíl mezi gradientními metodami pro hledání extrému funkce a přímými metodami? 8. Vysvětlete pojem globální a lokální minimum. 9. Jaká jsou omezení parametrické optimalizace radioelektronických zařízení? 10. Vysvětlete způsob souřadnicového klesání. 11. Jak se liší metoda konjugovaného gradientu od metody nejstrmějšího sestupu? 12. Co znamená „vyhledávání vzorů“ v Hook-Jeevesově metodě? 13. Jaká jsou kritéria pro ukončení procesu iterativní optimalizace? 20 LITERATURA 1. Počítačem podporované konstrukční systémy v radioelektronice: Adresář / E.V. Avdějev, A.T. Eremin, I.P. Norenkov, M.I. Peskov; Ed. I. P. Norenková. M.: Rozhlas a komunikace, 1986. 368 s. 2. Bundy B. Optimalizační metoda. Úvodní kurz: Per. z angličtiny M.: Rozhlas a komunikace, 1988. 128 s. 3. Vlah I., Singhal K. Strojové metody pro analýzu a návrh elektronických obvodů. M.: Rádio a spoje. 1988. 560 s. 4. Sbírka problémů o technologii mikroobvodů: Počítačem podporovaný návrh: Tutorial pro vysoké školy / V.I. Anisimov, P.P. Azbelev, A.B. Isakov a další; Ed. V A. Anisimová. L.: Energoatomizdat, oddělení Leningrad, 1991. 224 s. 5. Dialogové systémy pro návrh obvodů / V.N. Anisimov, G.D. Dmitrievič, K.B. Skobeltsyn a kol.; Ed. V.N. Anisimová. M.: Rozhlas a komunikace, 1988. 288 s. 6. Razevich V.D., Rakov V.K., Kapustyan V.I. Strojová analýza a optimalizace elektronických obvodů: Učebnice pro předměty „Zesilovací zařízení“ a „Radiové přijímací zařízení“. M.: MPEI, 1981. 88 s. 7. Učebnice o matematické analýze / Tabueva V.A. Matematika, matematická analýza: Učebnice. Jekatěrinburg: USTU-UPI, 2001. 494 s. 8. Kiiko V.V. Kochkina V.F. Vdovkin K.A. Analýza elektronických obvodů pomocí modifikované metody uzlových potenciálů. Jekatěrinburg: UGTUUPI, 2004. 31 s. 21

V praxi neustále nastávají situace, kdy lze určitého výsledku dosáhnout ne jedním, ale mnoha různými způsoby. V podobné situaci se může ocitnout jednotlivec, například když rozhoduje o rozdělení svých výdajů, a celý podnik nebo dokonce odvětví, pokud je nutné určit, jak využít zdroje, které má k dispozici, aby dosáhnout maximálního výkonu a konečně národního hospodářství jako celku. Při velkém množství řešení je samozřejmě nutné vybrat to nejlepší.

Úspěch řešení velké většiny ekonomických problémů závisí na nejlepším a nejvýnosnějším způsobu využití zdrojů. A konečný výsledek činnosti bude záviset na tom, jak jsou tyto zpravidla omezené zdroje rozděleny.

Podstatou optimalizačních metod (optimálního programování) je na základě dostupnosti určitých zdrojů zvolit způsob jejich využití (distribuce), který zajistí maximum či minimum sledovaného ukazatele.

Nezbytnou podmínkou pro použití optimálního přístupu k plánování (princip optimality) je flexibilita a alternativní produkční a ekonomické situace, za kterých je třeba rozhodovat o plánování a řízení. Právě takové situace jsou zpravidla každodenní praxí hospodářského subjektu (výběr výrobního programu, návaznost na dodavatele, směrování, řezání materiálů, příprava směsí).

Optimální programování tak poskytuje úspěšné řešení řady extrémních problémů plánování výroby. V oblasti makroekonomické analýzy, prognózování a plánování umožňuje optimální programování zvolit variantu národohospodářského plánu (program rozvoje), vyznačující se optimálním poměrem spotřeby a úspor (akumulací), optimálním podílem průmyslových investic národní důchod, optimální poměr koeficientu růstu a koeficientu rentability národního hospodářství atd. d.

Optimální programování zajišťuje získání prakticky hodnotných výsledků, protože je svou povahou plně v souladu s povahou studovaných technických a ekonomických procesů a jevů. Z matematického a statistického hlediska je tato metoda použitelná pouze pro ty jevy, které jsou vyjádřeny kladnými veličinami a ve svém souhrnu tvoří spojení vzájemně závislých, avšak kvalitativně odlišných veličin. Tyto podmínky zpravidla odpovídají veličinám, které charakterizují ekonomické jevy. Ekonomický výzkumník má vždy před sebou určitý soubor různých druhů kladných veličin. Při řešení optimalizačních problémů se ekonom vždy zabývá ne jednou, ale několika vzájemně závislými veličinami nebo faktory.

Optimální programování lze aplikovat pouze na ty problémy, ve kterých je optimálního výsledku dosaženo pouze v podobě přesně formulovaných cílů a za přesně definovaných omezení, obvykle vyplývajících z dostupných zdrojů (výrobní kapacity, suroviny, pracovní zdroje atd.). Podmínky problému obvykle zahrnují nějaký matematicky formulovaný systém vzájemně závislých faktorů, zdrojů a podmínek, které omezují charakter jejich použití.

Problém se stává řešitelným, když jsou do něj zavedeny určité odhady jak pro vzájemně závislé faktory, tak pro očekávané výsledky. V důsledku toho je optimalita výsledku programovacího problému relativní. Tento výsledek je optimální pouze z hlediska kritérií, podle kterých je hodnocen, a omezení vnesených do problému.

Na základě výše uvedeného je každý problém optimálního programování charakterizován následujícími třemi body:

1) přítomnost systému vzájemně závislých faktorů;

2) přesně definované kritérium pro posouzení optimálnosti;

3) přesná formulace podmínek omezujících využití dostupných zdrojů nebo faktorů.

Z mnoha možných možností je vybrána alternativní kombinace, která splňuje všechny podmínky zadané do problému a poskytuje minimální nebo maximální hodnotu zvoleného kritéria optimality. Řešení úlohy je dosaženo použitím určitého matematického postupu, který spočívá v postupné aproximaci racionální možnosti, odpovídající zvolené kombinaci faktorů, do jediného optimálního plánu.

Matematicky to lze redukovat na nalezení extrémní hodnoty nějaké funkce, tedy na problém jako:

Najděte max (min) f(x) za předpokladu, že proměnná x (bod x) prochází nějakou danou množinou X:

f(x) ® max (min), x I Х (4,1)

Takto definovaný problém se nazývá optimalizační problém. Množina X se nazývá přípustná množina daného problému a funkce f(x) se nazývá účelová funkce.

Optimalizační úloha je tedy taková, která spočívá ve výběru mezi určitou sadou přípustných (tj. povolených okolnostmi případu) řešení (X) těch řešení (x), která lze v tom či onom smyslu kvalifikovat jako optimální. Navíc přípustnost každého řešení je chápána ve smyslu možnosti jeho skutečné existence a optimalita - ve smyslu jeho účelnosti.

Hodně záleží na tom, v jaké formě je uvedena přípustná množina X. V mnoha případech se tak děje pomocí systému nerovností (rovnic):

q1 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

q2 (x1, x2, …, xn) (? , = , ?) 0, (4.2)

……………………………..

qm (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

kde q1, q2, … , qm jsou nějaké funkce, (x1, x2, …, xn) = x – dráhový bod x je určen množinou několika čísel (souřadnic), což je bod v n-rozměrném aritmetickém prostoru Rn. V souladu s tím je množina X podmnožinou v Rn a tvoří množinu bodů (x1, x2, ..., xn) I Rn a splňující systém nerovnic (2.2.2).

Funkce f(x) se stává funkcí n proměnných f(x1, x2, ..., xn), což je optimum (max nebo min), které je třeba najít.

Je jasné, že je potřeba najít nejen samotnou hodnotu max (min) (x1, x2, ..., xn), ale i bod nebo body, pokud jich je více, u kterých je tato hodnota dosaženo. Takové body se nazývají optimální řešení. Množina všech optimálních řešení se nazývá optimální množina.

Výše popsaný problém je obecným problémem optimálního (matematického) programování, jehož konstrukce je založena na principech optimality a konzistence. Funkce f se nazývá účelová funkce, nerovnosti (rovnice) qi (x1, x2, ... , xn) (? , = , ?) 0, i = 1, 2, ... , m jsou omezení. Ve většině případů omezení zahrnují podmínky pro nezápornost proměnných:

x1? 0, x2? 0, …, xn? 0,

nebo části proměnných. To však nemusí být nutné.

V závislosti na povaze omezujících funkcí a účelové funkce se rozlišují různé typy matematického programování:

1. lineární programování – funkce jsou lineární;

2. nelineární programování – alespoň jedna z těchto funkcí je nelineární;

3. kvadratické programování – f(x) je kvadratická funkce, omezení jsou lineární;

4. separovatelné programování – f(x) je součet funkcí, které jsou pro každou proměnnou různé, podmínky – omezení mohou být lineární i nelineární;

5. celočíselné (lineární nebo nelineární) programování – souřadnice požadovaného bodu x jsou pouze celá čísla;

6. konvexní programování – účelová funkce je konvexní, funkce – omezení – jsou konvexní, tj. uvažují se konvexní funkce na konvexních množinách atd.

Nejjednodušší a nejběžnější případ je, když jsou tyto funkce lineární a každá z nich má tvar:

а1х1 + а2х2 + … аnхn + b,

to znamená, že existuje problém lineárního programování. Odhaduje se, že v současnosti přibližně 80-85 % všech v praxi řešených optimalizačních problémů tvoří problémy lineárního programování.

Kombinací jednoduchosti a realistických předpokladů má tato metoda zároveň obrovský potenciál při určování nejlepších plánů z hlediska zvoleného kritéria.

První výzkumy v oblasti lineárního programování, zaměřené na volbu optimálního pracovního plánu v rámci výrobního komplexu, spadají do konce 30. let našeho století a jsou spojeny se jménem L.V. Kantorovič. V domácí vědecké tradici je to právě on, kdo je považován za prvního vývojáře této metody.

Ve 30. letech 20. století, v období intenzivního hospodářského a průmyslového rozvoje Sovětského svazu, stál Kantorovič v čele matematického výzkumu a snažil se uplatnit své teoretické poznatky v praxi rostoucí sovětské ekonomiky. Taková příležitost se naskytla v roce 1938, kdy byl jmenován konzultantem do laboratoře továrny na překližky. Dostal za úkol vyvinout metodu alokace zdrojů, která; mohl maximalizovat výkon zařízení a Kantorovich, formulující problém v matematických termínech, vytvořil maximalizaci lineární funkce podléhající velkému počtu omezovačů. Bez čistého ekonomického vzdělání však věděl, že maximalizace pod četnými omezeními je jedním ze základních problémů ekonomie a že metodu, která usnadňuje plánování v továrnách na překližku, lze použít v mnoha dalších odvětvích, ať už jde o určení optimálního využití orné půdy nebo o nej efektivní rozložení dopravních toků.

Když mluvíme o vývoji této metody na Západě, je třeba říci o Tjallingovi Koopmansovi, americkém matematickém ekonomovi holandského původu.

V misi obchodní flotily se Koopmans snažil rozvinout trasy spojeneckých flotil tak, aby snížil náklady na dodání nákladu na minimum. Úkol byl nesmírně složitý: tisíce obchodních lodí přepravovaly miliony tun nákladu po námořních trasách mezi stovkami přístavů rozesetých po celém světě. Tato práce poskytla Koopmansovi příležitost uplatnit své matematické znalosti na základní ekonomický problém – optimální alokaci vzácných zdrojů mezi konkurenční spotřebitele.

Koopmans vyvinul analytickou techniku ​​zvanou analýza aktivit, která dramaticky změnila způsob, jakým ekonomové a manažeři přistupovali k alokaci tras. Poprvé tuto techniku ​​popsal v roce 1942 a nazval ji „Výměnné poměry mezi náklady na různých trasách“, kde ukázal možnost přistupovat k distribučnímu problému jako k matematickému problému maximalizace v mezích. Hodnota podléhající maximálnímu zvýšení je cena dodaného nákladu rovnající se součtu nákladů na náklad dodaný do každého z přístavů. Omezení představovaly rovnice vyjadřující poměr počtu spotřebovaných výrobních faktorů (například lodě, čas, práce) k množství nákladu dodaného do různých destinací, přičemž hodnota žádného z nákladů by neměla přesáhnout dostupné množství. .

Při práci na problému maximalizace vyvinul Koopmans matematické rovnice, které našly široké uplatnění jak v ekonomické teorii, tak v manažerské praxi. Tyto rovnice určily pro každý výrobní náklad koeficient rovný ceně těchto nákladů v podmínkách ideálních konkurenčních trhů. Bylo tak vytvořeno základní spojení mezi teoriemi efektivnosti výroby a teoriemi distribuce prostřednictvím konkurenční trhy. Kromě toho měly Koopmansovy rovnice velkou hodnotu pro centrální plánovače, kteří pomocí těchto rovnic mohli určit vhodné ceny pro různé vstupy, přičemž výběr optimálních cest ponechali na uvážení místních ředitelů, jejichž odpovědností bylo maximalizovat zisky. Metoda analýzy činnosti by mohla být široce používána všemi manažery při plánování výrobních procesů.

V roce 1975 L.V. Kantorovich a Tjalling C. Koopmans byli oceněni Nobelovou cenou „za příspěvky k teorii optimální alokace zdrojů“.

Když už mluvíme o prvním výzkumu v oblasti lineárního programování, nelze nezmínit dalšího amerického vědce - George D. Danziga. Konkrétní formulace metody lineárního programování pochází z jeho práce vykonávané pro americké letectvo za 2. světové války, kdy vznikl problém koordinace akcí jedné velké organizace v takových záležitostech, jako je hromadění zásob, výroba a údržba vybavení a logistika, a existovaly alternativy a omezení. Navíc svého času J. Danzing spolupracoval s V.V. Leontiev a simplexová metoda řešení lineárních optimalizačních úloh (nejčastěji používaná k jejich řešení) se objevily v souvislosti s jednou z prvních praktických aplikací metody input-output balance.

Odmítnutí aktuálně dominantní definice

Ekonomická teorie je věda o tom, které ze vzácných výrobních zdrojů lidé a společnost v průběhu času, s pomocí peněz nebo bez nich, vybírají pro výrobu různých statků a jejich distribuci ke spotřebě v současnosti a budoucnosti mezi různé lidi a skupiny lidí. společnost.

Ve prospěch krátkých

ET je věda o optimalizaci ekonomiky (řízení) na všech úrovních až po globální úroveň.

Souvisí s možnostmi konceptu optimalizace

OPTIMALIZACE (jedna z formulací) - stanovení hodnot ekonomických ukazatelů, při kterých je dosaženo optima, tedy nejlepšího stavu systému. Optimum nejčastěji odpovídá dosažení nejvyššího výsledku s daným vynaložením zdrojů nebo dosažení daného výsledku s minimálním vynaložením zdrojů. http://slovari.yandex.ru/dict/economic

Nebo Optimalizace (z latinského optimum - nejlepší) - proces hledání extrému (globálního maxima nebo minima) určité funkce nebo výběru nejlepší (optimální) možnosti z mnoha možných. Nejspolehlivějším způsobem, jak najít nejlepší možnost, je srovnávací posouzení všech možných možností (alternativ).
Pokud je počet alternativ velký, k nalezení nejlepší se obvykle používají metody matematického programování. Metody lze použít, pokud existuje striktní formulace problému: je specifikována množina proměnných, je stanovena oblast jejich možné změny (jsou specifikována omezení) a typ účelové funkce (funkce, jejíž extrém je třeba zjistit) z těchto proměnných. To je kvantitativní měřítko (kritérium) pro hodnocení stupně dosažení cíle. V dynamických problémech, kdy omezení kladená na proměnné závisí na čase, se používají metody k nalezení nejlepšího postupu. optimální ovládání a dynamické programování.

Abychom našli tu optimální mezi velkým množstvím racionálních možností, je zapotřebí informace o preferenci různých kombinací hodnot ukazatelů charakterizujících možnosti. Při absenci těchto informací nejlepší možnost Manažer odpovědný za rozhodování vybírá z těch racionálních...

Zavedení pojmu optimalizace do definice ekonomická teorie snižuje šance na obecné tlachání v této vědě.

Ekonomická teorie jako věda o optimalizaci ekonomiky vyžaduje

Optimalizace pojmového aparátu této teorie;
- optimalizace metod ekonomického výzkumu;
- optimalizace zohlednění a definice každého pojmu;
- optimalizace ekonomických rozhodnutí na všech úrovních ekonomického života;
- použití kritérií optimality při posuzování jakýchkoli ekonomických jevů.

Cíle ekonomického vzdělávání:
vytvoření základů ekonomického optimalizačního myšlení;
rozvoj funkční ekonomické gramotnosti a schopností optimalizovat seberozvoj;
rozvoj praktických dovedností pro optimální rozhodování v různých ekonomických situacích;

Cíle ekonomického vzdělávání:
rozvíjet znalosti, dovednosti a schopnosti potřebné pro optimalizaci v ekonomickém životě;
rozvíjet kulturu myšlení ekonomické optimalizace, učit, jak používat nástroje ekonomické optimalizace.

Klasici politické ekonomie uznávají osobní zisk jako kritérium optimality.
Neoklasicismus a hnutí jemu blízká také nejsou proti ekonomickému egoismu.

Ekonomická teorie s důrazem na optimalizaci akceptuje vlastní zájem jako zvláštní (i když běžný) případ ekonomických rozhodnutí na všech úrovních.

Zároveň takové ET umožňuje na všech úrovních optimalitu kolektivního prospěchu, primárního prospěchu většinových (zejména všech) účastníků na jakékoli úrovni ekonomického života: rodina (kde jsou 2 a více členů rodiny), místní, regionální , státní, mezistátní, globální...

Různorodé výhody (soukromé a obecné) - jako kritérium optimality - jsou také charakteristické pro živou přírodu (http://ddarwin.narod.ru/), zahrnují také výhody ze samotného přežití jakéhokoli systému.

V současnosti převládající ekonomická teorie (intenzivně konkurenční, „tržní“) ospravedlňuje pouze soukromé výhody, často stydlivě zavírá oči před snahou zemí a národů dosáhnout společných výhod (někdy nevyhnutelně na úkor soukromých) ve jménu existence. ekonomické systémy různé úrovně. Počínaje malým osad a jednotlivé rodiny (např. zemědělci).

ET jako věda o optimalizaci ekonomiky (řízení) na všech úrovních až po globální umožňuje větší zkoumání harmonizace osobních a společných zájmů pro přežití všech podnikatelských subjektů.

Různé aspekty optimalizace podnikání sociální skupiny praktikoval od primitivních dob. Optimalizační procesy zesílily v posledních tisíciletích se vznikem států, vznikem velkých polyetnických skupin v Číně a Indii, Egyptě a Sumeru, v rozlehlosti Skythie a dalších regionech. Bez různých forem optimalizace (ta či ona koordinace zájmů, často násilná) je ekonomický život nemožný.

Optimalita souvisí s účinností a účinnost s optimalitou. Toto spojení prochází všemi základními pojmy i dosud dominantního ET.

Potřeby a ekonomické přínosy, užitečnost.
Ekonomické zdroje, jejich druhy, omezení zdrojů (a jejich optimální využití).
Ekonomická volba. Náklady na příležitost. Princip zvyšování ekonomických nákladů. Křivka výrobních možností.
Koncepce účinnosti. Paretovo kritérium účinnosti a optimality. Efektivita zdrojů a alokační efektivita.
Pozitivní a normativní teorie. Hospodářská politika. Ekonomické systémy.
Tržní systém. Trh. Soutěž.
Poptávka a cena. Křivka funkce a poptávky. Faktory poptávky. Zákon poptávky. Spotřebitelský prospěch. Individuální a tržní poptávka.
Nabídka a cena. Funkce a nabídková křivka. Faktory nabídky. Zákon nabídky. Zisk výrobce.
Tržní rovnováha nabídky a poptávky. Rovnovážná cena. Schodky a přebytky.
Vliv produktových daní a dotací, rozložení daňového zatížení.
Cenová elasticita poptávky a její vlastnosti. Elasticita oblouku.
Křížová elasticita. Příjmová elasticita poptávky. Cenová elasticita nabídky.
Předpoklady pro analýzu spotřebitelské volby. Utility. Mezní užitečnost.
Spotřebitelská rovnováha v teorii kardinálů.
Spotřebitelské preference. Indiferenční křivky.
Rozpočtové omezení. Spotřebitelská rovnovážná pozice.
Změny spotřebitelských příjmů a cen zboží. Substituční efekt. Příjmový efekt.
Výhody nižší řád. Zaměnitelnost a komplementarita zboží.
Výroba. Faktory produkce. Faktorový příjem.
Pojem produkční funkce.
Celkový, průměrný a mezní produkt.
Zákon klesající mezní produktivity
Izokvanta a její vlastnosti. Isocosta. Producent Equilibrium
Firma: koncepce, typy.
Firemní náklady. Fixní a variabilní náklady.
Obecné náklady. Průměrné náklady.
Mezní náklady.
Účetnictví a ekonomický zisk
Celkové, průměrné a mezní tržby společnosti.
Různé typy tržních struktur.
Perfektní soutěž
Rovnováha konkurenční firmy v krátkém období
Rovnováha konkurenceschopné firmy v dlouhodobém horizontu
Čistý monopol. Stanovení ceny a objemu výroby v monopolních podmínkách. Ukazatele tržní síly. Ekonomické důsledky monopolu.
Monopolistická konkurence. Stanovení cen a objemů výroby za podmínek monopolistická konkurence. Necenová konkurence. Diverzifikace produktů.
oligopol. Stanovení ceny a objemu produkce v oligopolu.
Trhy výrobních faktorů: práce, kapitál, půda. Tvorba poptávky po výrobních faktorech, její derivátová povaha.
Trh práce. Nabídka a poptávka na trhu práce.
Monopson a bilaterální monopol na trhu práce. Role odborů. Účinný mzda. Teorie lidského kapitálu. Investice do vzdělání.
Kapitálový trh. Fyzické a peněžní kapitál. Kapitál a úroky z úvěru. Nabídka a poptávka po vypůjčených prostředcích.
Úroková sazba v dokonalé konkurenci. Reálné a nominální úrokové sazby. Rovnovážná úroková míra.
Investiční rozhodování firem. Princip diskontování. Hodnocení efektivnosti investic.
Částečná a obecná rovnováha. Obecná rovnováha a alokační účinnost.
Kritéria efektivnosti v tržní ekonomice.
Kritérium účinnosti a Paretovo optimum (a zde).
Účinnost a sociální spravedlnost sociální a ekonomické optimum. Princip kompenzace (Kaldor-Hicksův princip).
"Selhání trhu" Systém sociálního zabezpečení.
Nerovnost, chudoba a diskriminace. Rozdělení příjmů. Lorenzova křivka. Giniho koeficient.
Veřejné zboží. Poptávka a nabídka veřejných statků. Srovnávací analýza veřejných a soukromých statků.
Soukromé a sociální náklady. Soukromé (interní) a sociální (externí) dávky. Problém trhu s veřejnými statky a regulační role státu.
Poskytování veřejných statků prostřednictvím politických institucí. Veřejná volba v přímé a zastupitelské demokracii. Rozhodnutí učiněná po schválení. Pravidla většiny. Lobbování. Političtí hledači nájemného.
Externality: pozitivní a negativní externality.
Problém internalizace vnějších vlivů. Státní politika: nápravné daně a dotace.
Teorie vlastnických práv. Coaseova věta. Transakční náklady. Trh s vlastnickými právy.

Zdá se, že není třeba moderním ekonomům dokazovat vyhlídky na optimalitu jako hlavní problém moderní ekonomické teorie. Téměř každý specialista myslí na optimalizaci ekonomiky na všech úrovních.

Moderní ET by měly jednoduše ospravedlnit tyto snahy specialistů.