Optimizacija teorija. Koje metode optimizacije postoje? Metode za optimizaciju upravljačkih odluka. Optimizacija poreza: metode

Parametri za datu strukturu objekta, onda se ona poziva parametarska optimizacija. Problem izbora optimalne strukture je strukturna optimizacija.

Standardni matematički problem optimizacije je formuliran na sljedeći način. Među elementima χ koji formiraju skupove Χ, pronađite element χ * koji daje minimalnu vrijednost f(χ *) date funkcije f(χ). Da bi se ispravno formulirao problem optimizacije, potrebno je postaviti:

1. Dopušteni skup- gomila $\backslash mathbb(X)=\backslash (\backslash vec(x)|\backslash ;g\_i(\backslash vec(x))\backslash leq\; 0,\backslash ;i=1,\backslash ldots,m\backslash )\; \backslash podskup\; \backslash mathbb(R)^n$;
2. Ciljna funkcija- displej $f:\backslash ;\backslash mathbb(X)\backslash to\backslash mathbb(R)$;
3. Kriterijumi pretrage(maks. ili min.).

Zatim riješite problem $f(x)\backslash to\; \backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathrm(X))$ znači jedno od:

1. Pokaži šta $\backslash mathbb(X)=\backslash varnothing$.
2. Pokažite da je ciljna funkcija $f(\backslash vec(x))$ nije ograničeno odozdo.
3. Nađi $\backslash vec(x)^*\backslash in\backslash mathbb(X):\backslash ;f(\backslash vec(x)^*)=\backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x)\; ))$.
4. Ako $\backslash nepostoji\; \backslash vec(x)^*$, zatim pronađite $\backslash inf\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x))$.

Ako funkcija koja se minimizira nije konveksna, onda se često ograničava na traženje lokalnih minimuma i maksimuma: tačaka $x\_0$ takav da svuda u nekom svom naselju $f(x)\backslash ge\; f(x\_0)$ za minimum i $f(x)\backslash le\; f(x\_0)$ za maksimum.

Ako je dozvoljen skup $\backslash mathbb(X)=\backslash mathbb(R)^n$, onda se takav problem zove problem neograničene optimizacije, inače - problem ograničene optimizacije.

Klasifikacija metoda optimizacije

Općenito evidentiranje problema optimizacije specificira velika raznolikost njihove klase. Izbor metode (efikasnost njenog rješenja) zavisi od klase problema. Klasifikacija problema je određena: ciljnom funkcijom i izvodljivim područjem (postavljenim sistemom nejednakosti i jednakosti ili složenijim algoritmom).

Metode optimizacije su klasifikovane prema problemima optimizacije:

• Lokalne metode: konvergiraju nekom lokalnom ekstremumu ciljne funkcije. U slučaju unimodalne ciljne funkcije, ovaj ekstrem je jedinstven i bit će globalni maksimum/minimum.
• Globalne metode: bave se multiekstremnim funkcijama cilja. U globalnom pretraživanju, glavni zadatak je identificirati trendove u globalnom ponašanju funkcije cilja.

Trenutno postojeće metode pretraživanja mogu se podijeliti u tri velike grupe:

1. deterministički;
2. slučajni (stohastički);
3. kombinovano.

Prema kriteriju dimenzije dopuštenog skupa, metode optimizacije se dijele na metode jednodimenzionalna optimizacija i metode multidimenzionalna optimizacija.

Na osnovu tipa funkcije cilja i dozvoljenog skupa, problemi optimizacije i metode za njihovo rješavanje mogu se podijeliti u sljedeće klase:

• Optimizacijski problemi u kojima funkcija cilja $f(\backslash vec(x))$ i ograničenja $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;\; i=1,\backslash ldots,m$ su linearne funkcije, koje se rješavaju tzv. metodama linearno programiranje.
• Inače se pozabavite zadatkom nelinearno programiranje i primijeniti odgovarajuće metode. Zauzvrat, od njih se razlikuju dva posebna zadatka:
  • Ako $f(\backslash vec(x))$ I $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;i=1,\backslash ldots,m$ su konveksne funkcije, onda se takav problem naziva problem konveksno programiranje;
  • Ako $\backslash mathbb(X)\backslash podskup\; \backslash mathbb(Z)$, a zatim se pozabavite problemom cjelobrojno (diskretno) programiranje.

Prema zahtjevima za glatkoću i prisutnosti parcijalnih izvoda funkcije cilja, mogu se podijeliti i na:

• direktne metode koje zahtijevaju samo proračune ciljne funkcije u tačkama aproksimacije;
• metode prvog reda: zahtijevaju izračunavanje prvih parcijalnih izvoda funkcije;
• Metode drugog reda: zahtijevaju izračunavanje drugih parcijalnih izvoda, odnosno Hessiana ciljne funkcije.

Osim toga, metode optimizacije su podijeljene u sljedeće grupe:

• analitičke metode (na primjer, Lagrangeova metoda množitelja i Karush-Kuhn-Tucker uslovi);

U zavisnosti od prirode kompleta X Problemi matematičkog programiranja su klasifikovani kao:

• problemi diskretnog programiranja (ili kombinatorna optimizacija) - ako X konačan ili prebrojiv;
• problemi cjelobrojnog programiranja - ako X je podskup skupa cijelih brojeva;
• problemi nelinearnog programiranja ako ograničenja ili ciljna funkcija sadrže nelinearne funkcije i X je podskup konačno-dimenzionalnog vektorskog prostora.
• Ako sva ograničenja i ciljna funkcija sadrže samo linearne funkcije, onda je to problem linearnog programiranja.

Osim toga, grane matematičkog programiranja su parametarsko programiranje, dinamičko programiranje i stohastičko programiranje.

Matematičko programiranje se koristi u rješavanju problema optimizacije u istraživanju operacija.

Metoda za pronalaženje ekstrema u potpunosti je određena klasom problema. Ali prije nego što dobijete matematički model, potrebno je izvršiti 4 faze modeliranja:

• Određivanje granica sistema optimizacije
  • Odbacujemo one veze između objekta optimizacije i vanjskog svijeta koje ne mogu u velikoj mjeri utjecati na rezultat optimizacije, ili, preciznije, one bez kojih je rješenje pojednostavljeno.
• Odabir kontroliranih varijabli
  • “Zamrzavamo” vrijednosti nekih varijabli (nekontroliranih varijabli). Ostavljamo drugima da prihvate bilo koje vrijednosti iz raspona izvodljivih rješenja (kontroliranih varijabli)
• Definiranje ograničenja kontroliranih varijabli
  • … (jednakosti i/ili nejednakosti)
• Odabir numeričkog kriterija optimizacije (na primjer, indikator učinka)
  • Kreirajte ciljnu funkciju

Priča

Godine 1949. Kantorovich je zajedno sa M.K. Gavurinom razvio potencijalnu metodu koja se koristi u rješavanju transportnih problema. U kasnijim radovima Kantoroviča, Nemčinova, V.V.Lurije, A.Brudna, D.B.Judina i drugih matematičara i ekonomista, oni su dalje razvijeni kao matematička teorija linearnog i nelinearnog programiranja. metode za proučavanje različitih ekonomskih problema.

Mnogi radovi stranih naučnika posvećeni su metodama linearnog programiranja. Godine 1941. F. L. Hitchcock je postavio problem transporta. Glavni metod za rješavanje problema linearnog programiranja, simpleks metod, objavio je Danzig 1949. godine. Metode linearnog i nelinearnog programiranja dalje su razvijene u radovima Kuhna ( engleski), A. Tucker ( engleski), Gass (Saul. I. Gass), Charnes (Charnes A.), Beale (E. M.) itd.

Paralelno sa razvojem linearnog programiranja, velika pažnja je posvećena problemima nelinearnog programiranja, u kojima su ili funkcija cilja, ograničenja ili oboje nelinearni. Godine 1951. Kuhn i Tucker su objavili rad koji je dao potrebne i dovoljne uslove optimalnosti za rješavanje problema nelinearnog programiranja. Ovaj rad je poslužio kao osnova za kasnija istraživanja u ovoj oblasti.

Od 1955. godine objavljeni su brojni radovi o kvadratnom programiranju (radovi Beala, Barankina i Dorfmana R., Franka M. i Wolfea P., Markowitza itd.). Radovi Dennisa J. B., Rosena J. B. i Zontendejka G. razvili su metode gradijenta za rješavanje problema nelinearnog programiranja.

Trenutno, za efikasno korištenje metoda matematičkog programiranja i rješavanje problema na računarima, razvijeni su jezici algebarskog modeliranja, čiji su predstavnici AMPL i LINGO.

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Optimizacija (matematika)"

Bilješke

Književnost

• Abakarov A. Sh., Sushkov Yu.. - Zbornik radova FORA, 2004.
• Akulich I. L. Matematičko programiranje u primjerima i problemima: Proc. priručnik za studente ekonomije. specijalista. univerziteti - M.: Viša škola, 1986.
• Gill F., Murray W., Wright M. Praktična optimizacija. Per. sa engleskog - M.: Mir, 1985.
• Girsanov I. V. Predavanja iz matematičke teorije ekstremnih problema. - M.; Izhevsk: Istraživački centar “Regularna i haotična dinamika”, 2003. - 118 str. - ISBN 5-93972-272-5.
• Zhiglyavsky A. A., Zhilinkas A. G. Metode traženja globalnog ekstremuma. - M.: Nauka, Fizmatlit, 1991.
• Karmanov V. G. Matematičko programiranje. - Izdavačka kuća za fiziku i matematiku. književnost, 2004.
• Korn G., Korn T. Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere. - M.: Nauka, 1970. - P. 575-576.
• Korshunov Yu M., Korshunov Yu. Matematičke osnove kibernetike. - M.: Energoatomizdat, 1972.
• Maksimov Yu A., Fillipovskaya E. A. Algoritmi za rješavanje problema nelinearnog programiranja. - M.: MIPhI, 1982.
• Maksimov Yu. Algoritmi za linearno i diskretno programiranje. - M.: MIPhI, 1980.
• Plotnikov A. D. Matematičko programiranje = ubrzani kurs. - 2006. - Str. 171. - ISBN 985-475-186-4.
• Rastrigin L. A. Statističke metode traži. - M., 1968.
• Hemdi A. Taha. Uvod u istraživanje operacija = Operativno istraživanje: Uvod. - 8. izd. - M.: Williams, 2007. - P. 912. - ISBN 0-13-032374-8.
• Keeney R.L., Raifa H. Donošenje odluka prema više kriterijuma: preferencijama i zamjenama. - M.: Radio i veze, 1981. - 560 str.
• S.I.Zukhovitsky, L.I.Avdeeva. Linearno i konveksno programiranje. - 2. izd., revidirano. i dodatne.. - M.: Izdavačka kuća "Nauka", 1967.
• AA. Bolonkin. Nove metode optimizacije i njihova primjena. Kratke beleške sa predavanja na predmetu “Teorija optimalnih sistema”.. - M.: Moskovska viša tehnička škola Bauman, 1972, 220 str. viXra.org/abs/1503.0081.

Linkovi

• B.P. Pole.// Zbornik radova 14. Bajkalske škole-seminara “Metode optimizacije i njihove primjene”. - 2008. - T. 1. - str. 2-20.
• .

Metode optimizacija Jednodimenzionalni Direktne metode Prva narudžba Druga narudžba Stohastic Linearne metode programiranje Nelinearne metode programiranje

Izvod koji karakteriše optimizaciju (matematika)

Princ Andrej je odveo Pjera do svoje polovine, koja ga je uvek čekala u savršenom redu u očevoj kući, a on je sam otišao u vrtić.
„Idemo kod moje sestre“, reče princ Andrej, vraćajući se Pjeru; - Nisam je još video, sad se krije i sedi sa svojim Božjim narodom. Služi joj kako treba, osramotiće se i vidjet ćeš Božji narod. C "est curieux, ma parole. [Ovo je zanimljivo, iskreno.]
– Qu"est ce que c"est que [Šta su] Božji ljudi? - upitao je Pjer
- Ali videćeš.
Princeza Marija se zaista osramotila i pocrvenela je na mrlje kada su joj došli. U njenoj udobnoj sobi sa svetiljkama ispred vitrina za ikone, na sofi, kod samovara, sedeo je pored nje dečak dugog nosa i duge kose, u monaškoj odeždi.
Na stolici u blizini sjedila je naborana, mršava starica s krotkim izrazom na djetinjastom licu.
"Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrei, zašto me nisi upozorio?]", rekla je s krotkim prijekorom, stojeći pred svojim lutalicama, kao kokoš pred svojim pilićima.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Vrlo mi je drago da vas vidim. „Tako mi je drago što te vidim“, rekla je Pjeru, dok joj je on ljubio ruku. Poznavala ga je kao dijete, a sada mu je prijalo prijateljstvo s Andrejom, nesreća sa suprugom i najvažnije, njegovo ljubazno, jednostavno lice. Pogledala ga je svojim prelepim, blistavim očima i kao da je rekla: „Volim te mnogo, ali molim te, nemoj se smejati mojima.” Nakon što su razmijenili prve pozdravne fraze, sjeli su.
„Oh, i Ivanuška je ovde“, rekao je princ Andrej, pokazujući sa osmehom na mladog lutalicu.
– Andre! - molećivo je rekla princeza Marija.
"Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Znaj da je ovo žena", rekao je Andrej Pjeru.
– Andre, au nom de Dieu! [Andrej, za ime Boga!] – ponovila je princeza Marija.
Bilo je jasno da su podrugljivi stav princa Andreja prema lutalicama i beskorisno posredovanje princeze Marije u njihovo ime bili poznati, uspostavljeni odnosi među njima.
"Mais, ma bonne amie", reče princ Andrej, "vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intimate avec ce jeune homme... [Ali, prijatelju, trebao bi mi biti zahvalan da Pjeru objasnim vašu bliskost sa ovim mladićem.]
- Vraiment? [Stvarno?] - radoznalo i ozbiljno reče Pjer (na čemu mu je princeza Marija bila posebno zahvalna) zavirujući kroz naočare u lice Ivanuške, koja je, shvativši da o njemu govore, sve pogledala lukavim očima.
Princeza Marija je bila potpuno uzaludna što se stidila za svoj narod. Nisu bili nimalo plašljivi. Starica, oborenih očiju, ali iskosa gledajući one koji su ušli, okrenula je šolju naopačke na tanjir i pored nje stavila ugrizeni komad šećera, sedela je mirno i nepomično u svojoj stolici, čekajući da joj se ponudi još čaja. . Ivanuška je, pijući iz tanjira, gledala mlade ljude ispod obrva lukavim, ženstvenim očima.
– Gde ste, u Kijevu, bili? – upitao je princ Andrej staricu.
„Bilo je, oče“, odgovorila je starica glasno, „na sam Božić bila sam počastvovana sa svetima da saopštim svete, nebeske tajne“. A sada se iz Koljazina, oče, otvorila velika milost...
- Pa, Ivanuška je sa tobom?
„Idem sama, hraniteljice“, rekla je Ivanuška, pokušavajući da govori dubokim glasom. - Samo u Juhnovu smo se Pelagejuška i ja slagali...
Pelagija je prekinula svog druga; Očigledno je htjela ispričati šta je vidjela.
- U Koljazinu, oče, otkrivena je velika milost.
- Pa, jesu li relikvije nove? - upitao je princ Andrej.
„Dosta je, Andrej“, reče princeza Marija. - Nemoj mi reći, Pelagejuška.
“Ne... šta to govoriš, majko, zašto mi ne kažeš?” Volim ga. On je ljubazan, milostiv od Boga, on mi je, dobrotvor, dao rublje, sećam se. Kako sam bio u Kijevu i pričao mi je sveti bezumni Kirjuša - istinski Božiji čovek, hoda bos i zimi i leti. Zašto hodaš, kaže, ne na svom mestu, idi u Koljazin, tamo je čudotvorna ikona, otkrivena je Majka Presvete Bogorodice. Od tih reči sam se oprostio od svetaca i otišao...
Svi su ćutali, jedan lutalica je govorio odmerenim glasom, uvlačeći vazduh.
„Oče moj, narod je došao i rekao mi: velika milost se otkrila, Majka Presvete Bogorodice s obraza smirno kaplje...
„Dobro, dobro, reći ćeš mi kasnije“, rekla je princeza Marija pocrvenevši.
„Da je pitam“, rekao je Pjer. -Jeste li ga sami videli? - pitao.
- Pa, oče, i sam si počastvovan. Na licu je takav sjaj, kao nebeska svetlost, a sa maminog obraza stalno kaplje i kaplje...
„Ali ovo je obmana“, naivno je rekao Pjer, koji je pažljivo slušao lutalicu.
- O, oče, šta to govoriš! - rekla je Pelagejuška sa užasom, okrećući se princezi Mariji za zaštitu.
"Oni varaju narod", ponovio je.
- Gospode Isuse Hriste! – rekla je lutalica prekrstivši se. - Oh, nemoj mi reći, oče. Pa jedan analal nije povjerovao, rekao je: “Monasi varaju” i kako je rekao, oslijepio je. I sanjao je da mu je došla majka Pečerska i rekla: "Vjeruj mi, izliječiću te." Pa je počeo da pita: uzmi me i odvedi me k njoj. Govorim vam pravu istinu, i sam sam to video. Doveli su ga slijepog pravo do nje, on je prišao, pao i rekao: “Ozdravi! „Daću ti“, kaže, „ono što ti je dao kralj“. Ja sam to vidio, oče, zvijezda je u to bila ugrađena. Pa, progledao sam! Greh je to reći. "Bog će kazniti", poučno se obratila Pjeru.
- Kako je zvijezda završila na slici? – upitao je Pjer.
- Da li ste od svoje majke napravili generala? - reče princ Andrej smešeći se.
Pelagija je odjednom problijedila i sklopila ruke.
- Oče, oče, greh ti je, imaš sina! - progovorila je, odjednom se pretvorivši iz blede u svetlu boju.
- Oče, šta si rekao da ti Bog oprosti? - Prekrstila se. - Gospode, oprosti mu. Majko, šta je ovo?...” okrenula se princezi Mariji. Ustala je i, gotovo plačući, počela pakirati svoju torbicu. Očigledno je bila i uplašena i sramna što je uživala beneficije u kući u kojoj su to mogli reći, a šteta što je sada morala biti lišena pogodnosti ove kuće.
- Pa kakav lov se baviš? - rekla je princeza Marija. - Zašto si došao kod mene?...
„Ne, šalim se, Pelagejuška“, rekao je Pjer. - Princezo, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Princezo, u pravu sam, nisam hteo da je uvredim,] Upravo sam to uradio. Nemojte misliti da sam se šalio”, rekao je plaho se osmehujući i želeći da se iskupi. - Uostalom, to sam ja, a on se samo šalio.
Pelagejuška je nepoverljivo zastala, ali Pjerovo lice je odavalo takvu iskrenost pokajanja, a princ Andrej je tako krotko pogledao prvo Pelagejušku, zatim Pjera, da se ona postepeno smirila.

Lutalica se smirila i, ponovo dovedena u razgovor, dugo pričala o ocu Amfilohiju, koji je bio toliki svetac života da mu je ruka mirisala na palmu, i o tome kako su joj monasi koje je poznavala na svom poslednjem putovanju u Kijev dali ključeve od pećina, i kako je ona, ponijevši sa sobom krekere, provela dva dana u pećinama sa svecima. „Jednome ću se moliti, čitati, drugom ići. Uzeću bor, otići ću i ponovo se poljubiti; i takva tišina, majko, takva milost da ne želiš ni izaći u svjetlost Božju.”
Pjer ju je pažljivo i ozbiljno slušao. Princ Andrej je izašao iz sobe. A nakon njega, ostavljajući Božji narod da dopune čaj, princeza Marija je povela Pjera u dnevnu sobu.
„Vrlo si ljubazan“, rekla mu je.
- Oh, stvarno nisam mislio da je uvredim, razumem i veoma cenim ta osećanja!
Princeza Marija ga je ćutke pogledala i nežno se nasmešila. „Na kraju krajeva, poznajem te dugo i volim te kao brata“, rekla je. – Kako ste našli Andreja? - žurno je upitala, ne dajući mu vremena da bilo šta kaže na njene lepe reči. - On me jako brine. Zdravlje mu je bolje zimi, ali se prošlog proleća rana otvorila i doktor je rekao da treba da ide na lečenje. I moralno se veoma plašim za njega. On nije tip karaktera mi žene da trpimo i plačemo svoju tugu. On to nosi u sebi. Danas je veseo i živahan; ali vaš dolazak je na njega tako utjecao: rijetko je ovakav. Kad bi ga samo mogao nagovoriti da ode u inostranstvo! Potrebna mu je aktivnost, a ovaj glatki, miran život ga uništava. Drugi ne primećuju, ali ja vidim.
U 10 sati konobari su pojurili na trem, čuvši kako se približavaju zvona kočije starog kneza. Na trem su izašli i princ Andrej i Pjer.
- Ko je ovo? - upita stari princ izlazeći iz kočije i pogađajući Pjera.
– AI je veoma srećan! "poljubac", rekao je, saznavši ko je nepoznati mladić.
Stari princ je bio dobre volje i ljubazno se ophodio prema Pjeru.
Prije večere, princ Andrej, vraćajući se u očevu kancelariju, zatekao je starog princa u žestokoj svađi s Pjerom.
Pjer je tvrdio da će doći vrijeme kada više neće biti rata. Stari princ ga je zadirkivao, ali ne i ljutio.
- Pusti krv iz vena, sipaj malo vode, onda neće biti rata. "Ženske gluposti, ženske gluposti", rekao je, ali je ipak nežno potapšao Pjera po ramenu i prišao stolu za kojim je princ Andrej, očigledno ne želeći da ulazi u razgovor, prebirao papire koje je princ doneo iz grad. Stari princ mu je prišao i počeo da priča o poslu.
- Vođa, grof Rostov, nije isporučio polovinu ljudi. Došao sam u grad, odlučio da ga pozovem na večeru, - dao sam mu takvu večeru... Ali pogledaj ovo... Pa, brate, - okrenuo se knjaz Nikolaj Andrejić svom sinu, tapšajući Pjera po ramenu, - bravo, tvoj prijatelju, volela sam ga! Pali me. Drugi govori pametne stvari, ali ja neću da slušam, ali on laže i raspaljuje mene, starca. Pa, idi, idi", rekao je, "možda ću doći i sjesti na tvoju večeru." Ponovo ću se raspravljati. „Volite moju budalu, princezo Mariju“, viknuo je Pjeru s vrata.
Pjer je tek sada, prilikom posete Ćelavim planinama, cenio svu snagu i čar svog prijateljstva sa princom Andrejem. Ovaj šarm nije bio izražen toliko u njegovim odnosima sa samim sobom, koliko u odnosima sa svom rodbinom i prijateljima. Pjer, sa starim, strogim princom i sa krotkom i plahom princezom Marijom, uprkos činjenici da ih jedva poznaje, odmah se osetio kao stari prijatelj. Svi su ga već voljeli. Nije ga samo kneginja Marija, potkupljena njegovim krotkim odnosom prema strancima, gledala najblistavijim pogledom; ali mali jednogodišnji princ Nikolaj, kako ga je zvao djed, nasmiješi se Pjeru i priđe mu u zagrljaj. Mihail Ivanovič, m lle Bourienne, gledao ga je s radosnim osmjesima dok je razgovarao sa starim princom.
Stari princ je izašao na večeru: Pjeru je to bilo očigledno. Bio je izuzetno ljubazan prema njemu oba dana boravka na Ćelavim planinama i rekao mu da dođe kod njega.
Kada je Pjer otišao i svi članovi porodice su se okupili, počeli su da ga osuđuju, kao što se uvek dešava nakon odlaska nove osobe, i, kao što se retko dešava, svi su rekli po jednu dobru stvar o njemu.

Vrativši se ovoga puta s odmora, Rostov je prvi put osjetio i saznao u kojoj je mjeri njegova veza s Denisovim i sa cijelim pukom jaka.
Kada se Rostov dovezao do puka, doživio je osjećaj sličan onom koji je doživio kada se približio Kuharskoj kući. Kada je ugledao prvog husara u raskopčanoj uniformi svog puka, kada je prepoznao crvenokosog Dementjeva, ugledao je stubove crvenih konja, kada je Lavruška radosno viknuo svom gospodaru: "Grof je stigao!" a čupavi Denisov, koji je spavao na krevetu, istrčao je iz zemunice, zagrlio ga, a oficiri su došli do pridošlice - Rostov je doživeo isti osećaj kao kada su ga grlili majka, otac i sestre, i suze radosnice koje su došlo mu do grla sprečilo ga da progovori. Puk je bio i dom, a dom je uvijek bio sladak i drag, baš kao i roditeljski dom.
Izašavši pred komandanta puka, raspoređen u prethodnu eskadrilu, prešavši na dužnost i traženje hrane, ušavši u sve sitne interese puka i osjećajući se lišenim slobode i okovanim u jedan uski, nepromjenjivi okvir, Rostov je doživio ista smirenost, ista podrška i ista svijest o činjenici da je ovdje kod kuće, na svom mjestu, što je osjećao pod krovom svojih roditelja. Nije bio sav taj haos slobodnog svijeta, u kojem nije našao mjesto za sebe i napravio greške na izborima; nije bilo Sonje s kojom je bilo potrebno ili nije trebalo objašnjavati stvari. Nije bilo opcije ići tamo ili ne ići tamo; nije bilo ovih 24 sata u danu toliko Različiti putevi može se konzumirati; nije bilo ovog bezbrojnog mnoštva ljudi, od kojih niko nije bio bliže, niko nije bio dalje; nije bilo ovih nejasnih i neizvjesnih monetarni odnosi sa svojim ocem, nije bilo podsetnika na strašni gubitak Dolohova! Ovdje u puku sve je bilo jasno i jednostavno. Cijeli svijet je bio podijeljen na dva nejednaka dijela. Jedno je naš Pavlogradski puk, a drugo sve ostalo. I nije bilo o čemu drugom da brinete. U puku se sve znalo: ko je poručnik, ko kapetan, ko je bio dobar čovek, ko je bio loš čovek, i što je najvažnije, drug. Trgovac vjeruje u dug, plata je trećina; nema se šta izmišljati ili birati, samo nemojte raditi ništa što se u Pavlogradskom puku smatra lošim; ali ako te pošalju, uradi ono što je jasno i jasno, definisano i naređeno: i sve će biti u redu.
Ušavši ponovo u ove određene uslove pukovskog života, Rostov je doživeo radost i spokoj, sličan onima koje oseća umoran kada legne da se odmori. Ovaj pukovski život je Rostovu tokom ovog pohoda bio utoliko zadovoljniji jer je, nakon što je izgubio od Dolohova (čin koji on, uprkos svim utjehama svoje porodice, nije mogao sebi oprostiti), odlučio da služi ne kao prije, već u kako bi se iskupio za svoju krivicu, da dobro služi i da bude sasvim izvrstan drug i oficir, odnosno divna osoba, što je izgledalo tako teško u svijetu, a tako moguće u puku.
Rostov je od trenutka gubitka odlučio da će ovaj dug svojim roditeljima isplatiti za pet godina. Slali su mu 10 hiljada godišnje, ali je sada odlučio da uzme samo dvije, a ostatak da roditeljima da otplate dug.

Naša vojska se, nakon ponovljenih povlačenja, ofanziva i bitaka kod Pultuska, kod Preussisch Eylaua, koncentrirala kod Bartenštajna. Čekali su dolazak suverena u vojsku i početak novog pohoda.
Pavlogradski puk, koji se nalazio u onom delu vojske koji je bio u pohodu 1805. godine, regrutovan je u Rusiji, i zakasnio je na prve akcije pohoda. Nije bio ni blizu Pultuska ni blizu Preussisch Eylaua, a u drugoj polovini pohoda, pridruživši se aktivnoj vojsci, raspoređen je u Platovljev odred.
Platovljev odred je delovao nezavisno od vojske. Pavlograđani su nekoliko puta bili u jedinicama u okršajima s neprijateljem, hvatali zarobljenike, a jednom su čak i osvajali posade maršala Oudinota. Pavlograđani su u aprilu nekoliko sedmica stajali u blizini praznog njemačkog sela koje je bilo uništeno do temelja, a da se nisu pomjerili.
Bilo je mraza, blata, hladnoće, rijeke su se razbile, putevi postali neprohodni; Nekoliko dana ni konjima ni ljudima nisu davali namirnice. Pošto je dostava postala nemoguća, ljudi su se raspršili po napuštenim pustinjskim selima u potrazi za krompirom, ali su malo toga našli. Sve je pojedeno, a svi stanovnici su pobjegli; oni koji su ostali bili su gori od prosjaka, i od njih se nije imalo šta uzeti, a čak i malo - samilosni vojnici često su im, umjesto da ih iskoriste, davali posljednje.

Optimalnom se smatra najprihvatljivija opcija odluke koja se donosi na menadžerskom nivou u vezi sa bilo kojim pitanjem, a proces traženja za njom optimizacijom.

Međuzavisnost i složenost organizacionih, socio-ekonomskih, tehničkih i drugih aspekata upravljanja proizvodnjom trenutno se svodi na donošenje upravljačke odluke koja utiče na veliki broj razne vrste faktora koji su usko isprepleteni jedni s drugima, zbog čega je nemoguće analizirati svaki zasebno koristeći tradicionalne analitičke metode.

Većina faktora je odlučujuća u procesu donošenja odluka i oni se (inherentno) ne mogu kvantificirati. Ima i onih koji su praktično nepromijenjeni. S tim u vezi, pojavila se potreba za razvojem posebnih metoda koje bi mogle osigurati odabir važnih upravljačkih odluka u okviru složenih organizacionih, ekonomskih, tehničkih problema (stručne procjene, operativno istraživanje i metode optimizacije itd.).

Metode usmjerene na istraživanje operacija koriste se za pronalaženje optimalnih rješenja u oblastima upravljanja kao što su organizacija proizvodnih i transportnih procesa, planiranje proizvodnje velikih razmjera, materijalno-tehničko snabdijevanje.

Metode za optimizaciju rješenja uključuju istraživanje upoređivanjem numeričkih procjena brojnih faktora, čija se analiza ne može provesti tradicionalnim metodama. Optimalno rješenje je najbolje među mogućim opcijama u pogledu ekonomskog sistema, a najprihvatljivije u odnosu na pojedine elemente sistema je suboptimalno.

Suština metoda istraživanja operacija

Kao što je ranije spomenuto, oni formiraju metode za optimizaciju upravljačkih odluka. Njihova osnova su matematički (deterministički), probabilistički modeli koji predstavljaju proces, vrstu aktivnosti ili sistem koji se proučava. Ovaj tip modela predstavlja kvantitativnu karakteristiku odgovarajućeg problema. Oni služe kao osnova za donošenje važnih upravljačkih odluka u procesu traženja optimalne opcije.

Spisak pitanja koja igraju značajnu ulogu za direktne rukovodioce proizvodnje i koja se rešavaju tokom upotrebe razmatranih metoda:

• stepen valjanosti izabranih opcija odluke;
• koliko su one bolje od alternativa;
• stepen uvažavanja odlučujućih faktora;
• koji je kriterij optimalnosti odabranih rješenja.

Ove metode optimizacije odlučivanja (menadžerske) imaju za cilj pronalaženje optimalnih rješenja za što veći broj firmi, kompanija ili njihovih odjeljenja. Zasnovani su na postojećim dostignućima u statističkim, matematičkim i ekonomskim disciplinama (teorija igara, red čekanja, grafika, optimalno programiranje, matematička statistika).

Metode stručne procjene

Ove metode za optimizaciju upravljačkih odluka koriste se kada problem djelomično ili u potpunosti nije podvrgnut formalizaciji, a njegovo rješenje se ne može pronaći matematičkim metodama.

Ekspertiza je proučavanje složenih posebnih pitanja u fazi izrade konkretne upravljačke odluke od strane relevantnih osoba koje imaju posebnu bazu znanja i impresivno iskustvo u cilju dobijanja zaključaka, preporuka, mišljenja i procjena. U procesu stručnog istraživanja koriste se najnovija dostignuća nauke i tehnologije u okviru specijalizacije stručnjaka.

Razmatrane metode za optimizaciju niza upravljačkih odluka (stručne procjene) efikasne su u rješavanju sljedećih upravljačkih zadataka u oblasti proizvodnje:

1. Proučavanje složenih procesa, pojava, situacija, sistema koje karakterišu neformalne, kvalitativne karakteristike.
2. Rangiranje i određivanje, prema datom kriterijumu, značajnih faktora koji su odlučujući za funkcionisanje i razvoj proizvodnog sistema.
3. Metode optimizacije koje se razmatraju posebno su efikasne u predviđanju trendova u razvoju proizvodnog sistema, kao i njegove interakcije sa spoljnim okruženjem.
4. Povećana pouzdanost stručna procjena pretežno ciljane funkcije koje su kvantitativne i kvalitativne prirode, kroz usrednjavanje mišljenja kvalifikovanih stručnjaka.

A ovo su samo neke od metoda za optimizaciju niza upravljačkih odluka (stručna procjena).

Klasifikacija metoda koje se razmatraju

Metode za rješavanje problema optimizacije, na osnovu broja parametara, mogu se podijeliti na:

• Jednodimenzionalne metode optimizacije.
• Metode višedimenzionalne optimizacije.

Nazivaju se i "numeričke metode optimizacije". Da budemo precizni, ovo su algoritmi za pretragu.

U okviru upotrebe derivata, metode su:

• direktne metode optimizacije (nulti red);
• metode gradijenta (1. red);
• Metode drugog reda, itd.

Većina metoda višedimenzionalne optimizacije bliska je problemu druge grupe metoda (jednodimenzionalna optimizacija).

Jednodimenzionalne metode optimizacije

Bilo koja metoda numeričke optimizacije temelji se na približnom ili točnom proračunu takvih karakteristika kao što su vrijednosti ciljne funkcije i funkcije koje definiraju dopušteni skup i njihove derivate. Tako se za svaki pojedinačni zadatak može riješiti pitanje izbora karakteristika za proračun u zavisnosti od postojećih svojstava funkcije koja se razmatra, raspoloživih mogućnosti i ograničenja u pohranjivanju i obradi informacija.

Postoje sljedeće metode za rješavanje problema optimizacije (jednodimenzionalne):

• Fibonačijeva metoda;
• dihotomije;
• zlatni omjer;
• udvostručavanje koraka.

Fibonačijeva metoda

Prvo, trebate postaviti koordinate tačke x na intervalu kao broj jednak omjeru razlike (x - a) i razlike (b - a). Dakle, a ima koordinatu 0 u odnosu na interval, a b ima koordinatu 1, a sredina je ½.

Ako pretpostavimo da su F0 i F1 jednaki jedan drugom i uzmemo vrijednost 1, F2 će biti jednak 2, F3 - 3, ..., tada je Fn = Fn-1 + Fn-2. Dakle, Fn su Fibonačijevi brojevi, a Fibonačijeva pretraga je optimalna strategija za takozvanu sekvencijalnu pretragu maksimuma zbog činjenice da je prilično blisko povezana sa njima.

Kao dio optimalne strategije, uobičajeno je izabrati xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Za bilo koji od dva intervala (ili), od kojih svaki može djelovati kao suženi interval nesigurnosti, tačka (naslijeđena) u odnosu na novi interval će imati ili koordinate , ili . Zatim se kao xn - 2 uzima tačka koja ima jednu od prikazanih koordinata u odnosu na novi interval. Ako koristite F(xn - 2), vrijednost funkcije koja je naslijeđena iz prethodnog intervala, postaje moguće smanjiti interval nesigurnosti i naslijediti jednu vrijednost funkcije.

U završnom koraku, biće moguće preći na interval nesigurnosti kao što je , dok je srednja tačka naslijeđena iz prethodnog koraka. Kao x1, postavljena je tačka koja ima relativnu koordinatu ½+ε, a konačni interval nesigurnosti će biti ili [½, 1] u odnosu na .

U 1. koraku, dužina ovog intervala je smanjena na Fn-1: Fn (sa jedan). U završnim koracima, smanjenje dužina odgovarajućih intervala predstavljeno je brojevima Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Dakle, dužina takvog intervala kao konačna verzija će imati vrijednost (1 + 2ε): Fn.

Ako zanemarimo ε, tada će asimptotski 1: Fn biti jednako rn, sa n→∞, i r = (√5 - 1) : 2, što je približno jednako 0,6180.

Vrijedi napomenuti da asimptotski za značajno n, svaki sljedeći korak Fibonačijeve pretrage značajno sužava razmatrani interval za gornji koeficijent. Ovaj rezultat se mora uporediti sa 0,5 (koeficijent sužavanja intervala nesigurnosti unutar metode bisekcije za pronalaženje nule funkcije).

Metoda dihotomije

Ako zamislite određenu ciljnu funkciju, prvo morate pronaći njen ekstrem na intervalu (a; b). Da biste to učinili, os apscise je podijeljena na četiri ekvivalentna dijela, zatim je potrebno odrediti vrijednost dotične funkcije u 5 tačaka. Zatim se odabire minimum među njima. Ekstremum funkcije mora ležati unutar intervala (a"; b"), koji je susedan minimalnoj tački. Granice pretraživanja sužene su za 2 puta. A ako se minimum nalazi u tački a ili b, onda se sužava za sva četiri puta. Novi interval je također podijeljen na četiri jednaka segmenta. Zbog činjenice da su vrijednosti ove funkcije u tri tačke određene u prethodnoj fazi, tada je potrebno izračunati ciljnu funkciju u dvije tačke.

Metoda zlatnog omjera

Za značajne vrijednosti n, koordinate tačaka kao što su xn i xn-1 su blizu 1 - r, jednako 0,3820, a r ≈ 0,6180. Guranje od ovih vrijednosti je vrlo blizu željenoj optimalnoj strategiji.

Ako pretpostavimo da je F(0,3820) > F(0,6180), onda je interval ocrtan. Međutim, zbog činjenice da je 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, tada je F već poznat u ovom trenutku. Shodno tome, u svakoj fazi, počevši od 2., potrebno je samo jedno izračunavanje funkcije cilja, a svaki korak smanjuje dužinu razmatranog intervala za faktor 0,6180.

Za razliku od Fibonačijeve pretrage, u ovu metodu nema potrebe popravljati broj n prije početka pretraživanja.

„Zlatni presjek” presjeka (a; b) je presjek kod kojeg je omjer njegove dužine r prema većem dijelu (a; c) identičan omjeru većeg dijela r prema manjem, tj. , (a; c) do (c; b). Nije teško pretpostaviti da je r određeno gornjom formulom. Shodno tome, za značajno n, Fibonačijeva metoda ide u ovu.

Metoda udvostručavanja koraka

Suština je traženje smjera opadanja ciljne funkcije, kretanje u tom smjeru u slučaju uspješnog traženja s postupnim povećanjem koraka.

Prvo određujemo početnu koordinatu M0 funkcije F(M), minimalnu vrijednost koraka h0 i smjer traženja. Tada definiramo funkciju u tački M0. Zatim ćemo napraviti korak i pronaći vrijednost ove funkcije u ovom trenutku.

Ako je funkcija manja od vrijednosti koja je bila u prethodnom koraku, sljedeći korak treba poduzeti u istom smjeru, nakon što je prvo povećate za 2 puta. Ako je njegova vrijednost veća od prethodne, morat ćete promijeniti smjer pretraživanja, a zatim krenuti u odabranom smjeru sa koracima h0. Prikazani algoritam se može modifikovati.

Metode višedimenzionalne optimizacije

Navedena metoda nultog reda ne uzima u obzir izvode minimizirane funkcije, zbog čega njihova upotreba može biti efikasna ako se pojave poteškoće u izračunavanju izvoda.

Grupa metoda 1. reda naziva se i gradijentna metoda, jer se za uspostavljanje smjera pretraživanja koristi gradijent date funkcije - vektor čije su komponente djelomične izvode minimizirane funkcije u odnosu na odgovarajuće optimizirane parametre. .

U grupi metoda 2. reda koriste se 2 derivata (njihova upotreba je prilično ograničena zbog poteškoća u njihovom proračunu).

Lista metoda neograničene optimizacije

Kada koristite višedimenzionalno pretraživanje bez upotrebe derivata, metode neograničene optimizacije su sljedeće:

• Hook i Jeeves (sprovođenje 2 vrste pretraživanja - bazirano na uzorcima i istraživačko);
• minimizacija ispravnim simpleksom (traženje minimalne točke odgovarajuće funkcije poređenjem njenih vrijednosti na vrhovima simpleksa na svakoj pojedinačnoj iteraciji);
• ciklično koordinatno spuštanje (koristeći koordinatne vektore kao referentne tačke);
• Rosenbrock (zasnovan na upotrebi jednodimenzionalne minimizacije);
• minimizacija pomoću deformisanog simpleksa (modifikacija metode minimizacije pomoću običnog simpleksa: dodavanje postupka kompresije i rastezanja).

U situaciji korištenja derivacija u procesu višedimenzionalnog pretraživanja, izdvaja se metoda najstrmijeg spuštanja (najosnovniji postupak za minimiziranje diferencijabilne funkcije s više varijabli).

Postoje i druge metode koje koriste konjugirane smjerove (Davidon-Fletcher-Powell metoda). Njegova suština je predstavljanje pravaca traženja kao Dj*grad(f(y)).

Klasifikacija metoda matematičke optimizacije

Konvencionalno, na osnovu dimenzije funkcija (cilja), oni su:

• sa 1 varijablom;
• multidimenzionalni.

U zavisnosti od funkcije (linearne ili nelinearne), postoji veliki broj matematičkih metoda koje imaju za cilj pronalaženje ekstrema za rešavanje problema.

Prema kriteriju korištenja derivata matematičke metode optimizacije se dijele na:

• metode za izračunavanje 1 derivacije ciljne funkcije;
• multidimenzionalni (1. derivacija-vektor količina-gradijent).

Na osnovu efikasnosti proračuna razlikuju se:

• metode za brzo izračunavanje ekstrema;
• pojednostavljeni proračun.

Ovo je uslovna klasifikacija metoda koje se razmatraju.

Optimizacija poslovnih procesa

Ovdje se mogu koristiti različite metode, ovisno o problemima koji se rješavaju. Uobičajeno je razlikovati sljedeće metode za optimizaciju poslovnih procesa:

• izuzeci (smanjenje nivoa postojećeg procesa, eliminisanje uzroka smetnji i dolazne kontrole, smanjenje transportnih ruta);
• pojednostavljenje (olakšana obrada narudžbi, smanjena složenost strukture proizvoda, distribucija posla);
• standardizacija (upotreba posebnih programa, metoda, tehnologija itd.);
• ubrzanje (paralelni inženjering, stimulacija, operativni dizajn prototipova, automatizacija);
• promjena (promjene sirovina, tehnologije, metoda rada, osoblja, sistema rada, obima narudžbi, postupaka obrade);
• obezbjeđivanje interakcije (u odnosu na organizacione jedinice, kadrove, sistem rada);
• odabir i uključivanje (u odnosu na potrebne procese, komponente).

Optimizacija poreza: metode

Rusko zakonodavstvo pruža poreznom obvezniku vrlo bogate mogućnosti za smanjenje poreza, zbog čega je uobičajeno razlikovati takve metode usmjerene na njihovo minimiziranje kao opće (klasične) i posebne.

Opšte metode optimizacije poreza su sljedeće:

• izrada računovodstvene politike kompanije uz maksimalno korištenje mogućnosti koje pruža rusko zakonodavstvo (postupak otpisa malih preduzeća, izbor metode za obračun prihoda od prodaje robe, itd.);
• optimizacija putem ugovora (zaključivanje preferencijalnih transakcija, jasna i kompetentna upotreba formulacije, itd.);
• primjena raznih vrsta beneficija i poreskih olakšica.

Drugu grupu metoda također mogu koristiti sve kompanije, ali one i dalje imaju prilično uzak opseg primjene. Posebne metode optimizacije poreza su sljedeće:

• zamjena odnosa (operacija koja uključuje opterećujuće oporezivanje zamjenjuje se drugom, što omogućava postizanje sličnog cilja, ali istovremeno korištenje preferencijalnog poreskog tretmana).
• podjela odnosa (zamjena samo dijela poslovne transakcije);
• odlaganje plaćanja poreza (odgađanje trenutka pojavljivanja predmeta oporezivanja za drugi kalendarski period);
• direktno smanjenje predmeta oporezivanja (osloboditi se mnogih oporezivih transakcija ili imovine bez negativnog uticaja na glavni ekonomska aktivnost kompanije).

Federalna agencija za obrazovanje Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Uralski državni tehnički univerzitet - UPI" PARAMETRIČKA OPTIMIZACIJA RADIO-ELEKTRONSKIH KOLA Smjernice za laboratorijski rad na predmetu „Računarska analiza elektronskih kola“ za studente svih oblika studija na specijalnosti 200700 - Radiotehnika Ekaterinburg 2005 UDK 681,3,06:621.396.6 Sastavio V.V. Kiykov, V.F. Kočkina, K.A. Vdovkin naučni urednik Vanredni profesor, kandidat nauka tech. nauke V.I. Gadžikovsky PARAMETRIČKA OPTIMIZACIJA RADIO-ELEKTRONSKIH KOLA: smjernice za laboratorijski rad na predmetu “Računarska analiza elektronskih kola” /komp. V.V. Kiiko, V.F. Kočkina, K.A. Vdovkin. Ekaterinbug: Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja USTU-UPI, 2005. 21 str. Smjernice sadrže informacije o formulaciji optimizacijskih problema, kriterijima optimalnosti i teoriji pronalaženja minimuma funkcije cilja. Dat je pregled metoda parametarske optimizacije, detaljno je opisana Hook-Jeevesova metoda i data su pitanja za samokontrolu. Bibliografija: 7 naslova. Rice. 6. Priredila Katedra za radioelektroniku informacionih sistema.  Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Uralski državni tehnički univerzitet-UPI“, 2005. 2 SADRŽAJ CILJ RADA.................................. ................................................... ........................................................ 4 1. OPŠTA METODIČKA UPUTSTVA..................................................... ............ 4 2. TEORIJA OPTIMIZACIJE .................................................... .............................. ................... ....... 4 2.1. Formalna (matematička) formulacija problema optimizacije 4 2.2. Izjava o problemu parametarske optimizacije OIE.................................. 5 2.3. Kriterijumi optimalnosti ................................................................ ........................................................ 7 2.4. Strategija za rješavanje problema optimalnog projektovanja OIE........................................ ....... 9 2.5. Globalni algoritmi pretraživanja ................................................. .................................... 9 2.5.1. Algoritam slučajnog pretraživanja ................................................. .................................................... 10 2.5.2. Monotoni globalni algoritam pretraživanja.................................................. ...... 10 2.5.3. Algoritam skeniranja na mreži Grey koda........................................ ......... .10 2.6. Metode i algoritmi lokalnog pretraživanja.................................................. ........................ 11 2.6.1. Direktne metode ................................................................ ................................................... 11 2.6. Metode optimizacije gradijenta prvog reda......................................... 13 2.6.3. Gradijentne metode optimizacije drugog reda......................................... 13 3. OPIS PROGRAM RAČUNARSKE ANALIZE ........................ 15 3.1. Pokrenite program. ................................................... ........................................................ ... 15 3.2. Izrada zadatka optimizacije ................................................. ................................... 15 3.3. Rezultati optimizacije ................................................................ .................................... 17 4. SADRŽAJ LABORATORIJSKOG RADA...... ........................................ 19 4.1. Nalog za izvršenje................................................. .................................................... 19 4.2. Zadatak za laboratorijske radove.................................................................. ............... .......................... 19 5. METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA PRIPREMU POČETNIH PODATAKA ................................................... ........................................................ ................................. 20 6. SADRŽAJ IZVJEŠTAJA................ ........................................ .......... ......................... 20 7. PITANJA ZA SAMOKONTROLU......... ........ ................................................ 20 REFERENCE ................................................................ ................................................... 21 3 CILJ RADA Sticanje prezentacije i praktičnih vještina parametarske optimizacije elektronskih uređaja u automatiziranom dizajnu kola radioelektronske opreme (REA). 1. OPŠTA METODOLOŠKA UPUTSTVA Ovaj rad je treći u nizu laboratorijskih radova o metodama proračuna, analize i optimizacije radioelektronskih kola. Kompleks obuhvata sledeće radove: 1. Proračun radioelektronskih kola metodom čvornih potencijala. 2. Analiza elektronskih kola modifikovanom metodom čvornih potencijala. 3. Parametarska optimizacija radioelektronskih kola. 4. Analiza elektronskih kola pomoću funkcija kola. U prvom i drugom laboratorijskom radu urađena je frekventna analiza, određivana osjetljivost naponskog pojačanja od varijacija unutrašnjih parametara, te su proračunane prijelazne i impulsne karakteristike pri nazivnim vrijednostima parametara RES elemenata, koji su inicijalno odabrani (postavljeni ili izračunati) ne na najbolji način. U ovom radu je izvedena parametarska optimizacija projektovanih OIE kako bi se osiguralo da izlazni parametri budu usklađeni sa zahtjevima tehničkih specifikacija. 2. TEORIJA OPTIMIZACIJE 2.1. Formalna (matematička) formulacija problema optimizacije Optimizacija parametara (parametarska optimizacija) se obično naziva problemom izračunavanja optimalnih nominalnih vrijednosti unutrašnjih parametara projektnog objekta. Problemi optimizacije parametara u CAD elektronskoj opremi svode se na problem matematičkog programiranja extr F(X), XXD, (1) gdje je XD = (XX0| k (X) ≥ 0, r (X ) = 0, k  , r  ). Vektor X=(x1, x2, . . . xn) naziva se vektor kontrolisanih (promenljivih) parametara; F(X) - cijela funkcija (funkcija kvaliteta); XD - dozvoljena površina; X0 je prostor u kojem je definirana ciljna funkcija; k(X) i r(X) funkcije su ograničenja. 4 Verbalna formulacija zadatka (1): pronaći ekstremum ciljne funkcije F(X) unutar područja XD, ograničene u prostoru X0 N nejednačinama k(X) ≥ 0 i M jednakostima r (X) = 0. Ciljna funkcija mora biti formulisana na osnovu postojećih ideja o kvaliteti projektovanog objekta: njena vrednost treba da opada sa poboljšanjem kvaliteta, zatim u (1) je potrebna minimizacija (extr je min), ili povećanje, zatim u ( 1) potrebna je maksimizacija (extr je max). Ograničenja su nejednakosti oblika xi > xi min ili xi< xi max , называют прямыми ограничениями, где xi min и xi max - заданные константы, остальные ограничения называют функциональными. Задача поиска максимума, как правило, сводится к задаче поиска минимума путем замены F(Х) на -F(Х). Функция F(Х) имеет локальный минимум в точке Х0, если в малой окрестности этой точки F(Х) ≥ F(Х0). И функция F(Х) имеет глобальный минимум в точке Х*, если для всех Х справедливо неравенство F(Х) ≥ F(Х*). Классическая теория оптимизации подробно изложена в соответствующей литературе, например . Ниже основное внимание уделено применению теории оптимизации для поиска оптимальных решений при проектировании радиоэлектронной аппаратуры. 2.2. Постановка задачи параметрической оптимизации РЭС Решение задачи проектирования обычно связана с выбором оптимального, наилучшим образом удовлетворяющего требованиям технического задания варианта устройства из некоторого допустимого множества решений. Эффективное решение задач базируется на формальных поисковых методах оптимизации и неформальных способах принятия оптимальных проектных решений. Поэтому решение задач оптимального проектирования необходимо рассматривать не только в вычислительном аспекте, но скорее в творческом, учитывая опыт и знания инженера-схемотехника на всех этапах автоматизированного проектирования. Одной из наиболее cложных операций при решении задач оптимального проектирования является этап математической формулировки задачи, которая включает в себя выбор критерия оптимальности, определение варьируемых параметров и задание ограничений, накладываемых на варьируемые параметры . Среди задач схемотехнического проектирования, которые целесообразно решать с привлечением методов оптимизации, выделяют следующие задачи параметрического синтеза и оптимизации: - определение параметров компонентов схемы, обеспечивающих экстремальные характеристики при заданных ограничениях; - определение параметров функциональных узлов схем исходя из требований технического задания на характеристики устройства в целом; - адаптация существующих схемных решений с целью подбора параметров, удовлетворяющих новым требованиям к схеме; 5 - уточнение значений параметров компонентов схемы, полученных в результате ручного инженерного расчета. Для схем приемно-усилительной техники оптимизация ведется по отношению к таким выходным параметрам, как: - коэффициент усиления и полоса пропускания: - форма частотной характеристики; - устойчивость усилителя или активного фильтра; - время запаздывания, длительность фронта импульса. Примечание. Класс задач, связанный с определением значений параметров компонентов, при которых проектируемая схема удовлетворяет совокупности условий технического задания на разработку, принято называть параметрическим синтезом (по отношению к определяемым параметрам) или параметрической оптимизацией (по отношению к реализуемым характеристикам). В любой из перечисленных задач реализуемые характеристики проектируемого устройства являются функциями вектора варьируемых (настраиваемых) параметров, составляющих некоторое подмножество полного набора параметров компонентов схемы. Целью параметрического синтеза или оптимизации является определение вектора параметров X, обеспечивающего наилучшее соответствие характеристик устройства Y = Y(X) требованиям технического задания. Для решения этой задачи необходимо, прежде всего, выбрать формальный критерий оценки качества каждого из вариантов проектируемого устройства, который позволил бы различать их между собой и устанавливать между ними отношения предпочтения. Такая оценка может быть представлена функциональной зависимостью вида F(X) =F(Y(X)), называемой обычно критерием оптимальности, функцией качества или целевой функцией. Задача поиска параметров компонентов схемы сводится к классической задаче оптимизации - нахождения экстремума некоторой функции качества F(X) при наличии ограничений (равенств, неравенств или двухсторонних границ), накладываемых на варьируемые параметры и характеристики проектируемой схемы . Разнообразные задачи оптимизации аналоговых радиоэлектронных схем имеют общие черты, основные из которых: - многокритериальность оптимизационных задач; - отсутствие явных аналитических зависимостей выходных параметров от внутренних параметров, связь между внутренними и внешними параметрами выражается системами уравнений и оценивается количественно только через численное решение этих систем. Эти особенности обуславливают трудности постановки и решения задач оптимизации аналоговых радиоэлектронных схем. 6 2.3. Критерии оптимальности В процессе поиска оптимального решения для каждой конкретной задачи может оказаться предпочтительным определенный вид критерия оптимальности. Базовый набор критериев оптимальности, позволяющий удовлетворить разнообразные требования инженера-схемотехника к оптимизируемым характеристикам проектируемых устройств, изложен в . Так, для отыскания экстремума (минимума или максимума) показателя качества, например, как потребляемая схемой мощность, частота среза, используется само значение критерия оптимальности без преобразования: F1(X) = Y(X), (2) В задачах, требующих максимального соответствия оптимизируемой характеристики и некоторой желаемой, например, при оптимизации частотных характеристик, наиболее целесообразно использовать критерий среднего квадратического отклонения F2 ()  (Y() - Y )2 , (3) где Y* - желаемое или требуемое по tehničke specifikacije karakteristična vrijednost, () - znak prosjeka. Za karakteristiku specificiranu diskretnim skupom tačaka, ciljna funkcija je 1 F2 (X)  N N  (Y(X , p i 1 i)  Yi)2 , * i (4) gdje je N broj tačke uzorkovanja nezavisne varijable p; Y(X, pi) - vrijednost optimizirane karakteristike u i-toj tački intervala uzorkovanja; i je težinski koeficijent i-te vrijednosti optimizirane karakteristike, koji odražava važnost i-te tačke u poređenju sa ostalima (obično 0< i > 1). Minimiziranje funkcija (3) i (4) osigurava da su karakteristike bliske u standardnoj devijaciji. Funkcija (4) se koristi u numeričkim metodama za izračunavanje Y(X). U nekim problemima optimizacije, potrebno je osigurati da optimizirana karakteristika premašuje ili ne prelazi određeni specificirani nivo. Ovi kriterijumi optimalnosti se implementiraju pomoću sledećih funkcija: - da se osigura da je specificirani nivo prekoračen F3 (X)  0 na Y (X)  YH* ; (Y  Y (X)) 2 na Y (X)  YH* ; 7 (5) - da se osigura da navedeni nivo nije prekoračen F4 (X)  0 na Y (X)  YB* (Y (X)  YB*) 2 na Y (X)  YB*, (6) gdje je YH*, YB* - donja i gornja granica dozvoljene površine za karakteristiku Y(X). Ukoliko je potrebno da optimizovana karakteristika prođe u određenoj prihvatljivoj zoni (koridoru), koristi se kombinacija prethodna dva kriterijuma optimalnosti: 0atYH*  Y (X)  YB* ; F(X)  (Y (X)  YB*) 2 za Y (X)  YB* , (YH*  Y (X)) 2 za Y (X)  YH* . (7) U slučajevima kada je potrebno realizovati samo oblik krive, a zanemariti konstantni vertikalni pomak, kriterij pomaka N F6 (X)    i (Yi *  Y (X , pi)  Yav) 2 , ( 8) i 1 gdje je Ysr  1 N *  (Yi  Y (X , pi)). N i 1 Važne karakteristike računskog procesa i, prije svega, konvergencija procesa optimizacije zavise od tipa funkcije cilja. Predznaci izvoda ciljne funkcije u odnosu na kontrolisane parametre ne ostaju konstantni u celom dozvoljenom području. Za ciljne funkcije oblika (4) i (8), potonja okolnost dovodi do njihovog jaruga karaktera. Dakle, karakteristika ciljnih funkcija pri rješavanju problema dizajna kola je njihova jaruška priroda, što dovodi do visokih računskih troškova i zahtijeva posebnu pažnju pri izboru metode optimizacije. Još jedna karakteristika ciljnih funkcija je da su one obično multiekstremne i, uz globalni minimum, postoje lokalni minimumi. Posebna karakteristika optimizacijskih problema za elektronska kola je da interni parametri ne mogu uzeti proizvoljne vrijednosti. Dakle, vrijednosti otpornika i kondenzatora su ograničene na određene maksimalne i minimalne vrijednosti. Osim toga, od nekoliko eksternih parametara obično je moguće odabrati jedan glavni, prema kojem se vrši optimizacija, a za druge naznačiti prihvatljive granice promjene. 8 Optimizacijski problem s ograničenjima se svodi na problem optimizacije bez ograničenja uvođenjem kaznenih funkcija. Funkcija cilja tada poprima oblik M N r 1 k 1  (X)  Fi (X)   r ( T (X)) 2    k ( k (X)) 2 , (9 ) gdje su r, k numerički koeficijenti koji uzimaju u obzir važnost određenog ograničenja u odnosu na druga. One su jednake nuli ako je odgovarajuća nejednakost iz (1) zadovoljena i u suprotnom uzimaju određene vrijednosti; Fi(X) je jedna od funkcija kvaliteta opisanih relacijom (2) - (8). Dakle, prelazak preko dozvoljenog CD regiona dovodi do povećanja funkcije minimiziranog kola i međurešenja X j se drže „barijerom“ na granici CD regiona. Visina "barijere" određena je vrijednostima  i , koje su u praksi u širokim granicama (1-1010). Što je veći  i , manja je vjerovatnoća da će izaći izvan dozvoljenog područja. Istovremeno se povećava i strmina padine jaruge na granici, što usporava ili potpuno remeti konvergenciju procesa minimizacije. Zbog nemogućnosti specificiranja optimalnih vrijednosti  i , preporučljivo je započeti optimizaciju sa malim vrijednostima, a zatim ih povećavati kada se dobije rješenje izvan dozvoljenog područja. 2.4. Strategija za rešavanje problema optimalnog projektovanja OIE Problemi optimalnog projektovanja OIE imaju specifične karakteristike, koje uključuju multiekstremalnost i ravan funkcije kvaliteta, prisustvo ograničenja na unutrašnje i izlazne parametre projektovanog uređaja, kao i velike. dimenzija vektora različitih parametara. Strategija za rješavanje problema optimalnog dizajna uključuje korištenje globalnih optimizacijskih procedura u početnim fazama traženja i doradu rezultirajućeg globalnog rješenja lokalnim algoritmima koji brzo konvergiraju u blizini optimalne tačke. Ova strategija omogućava, prvo, da se sa dovoljno pouzdanosti i preciznosti odredi vrednost globalnog ekstremuma i, drugo, da se značajno smanje računski troškovi pretraživanja. U ovom slučaju se etape globalne pretrage mogu izvoditi sa malom preciznošću, a faze lokalnog preciziranja se izvode u području privlačenja globalnog ekstremuma, što zahtijeva znatno manji broj proračuna. 2.5. Globalni algoritmi pretraživanja Algoritmi globalnog pretraživanja, po pravilu, daju prilično grubu procjenu globalnog ekstremuma uz nisku cijenu računarskih resursa i zahtijevaju značajno povećanje broja proračuna kako bi se dobila preciznija procjena položaja ekstremuma. 2.5.1. Algoritam slučajnog pretraživanja Najjednostavniji, sa stanovišta implementacije računskog procesa, je algoritam za traženje globalnog ekstremuma, zasnovan na sondiranju dozvoljene površine skladišta podataka s nizom tačaka ravnomjerno raspoređenih u njemu i odabiru najbolja opcija od dobijenih. Kvalitet rada algoritma je u velikoj mjeri određen svojstvima senzora ravnomjerno raspoređenih slučajnih brojeva koji se koriste za generiranje vektora X  HD 2. 5.2. Monotoni globalni algoritam pretraživanja Višedimenzionalna optimizacija ovim algoritmom zasniva se na konstrukciji skeniranja (Peano kriva) mapiranjem segmenta realne ose u hiperkocku dozvoljenog domena HD. Koristeći sweep, vrši se nedvosmisleno i kontinuirano preslikavanje X(), koje za bilo koju tačku 0.1 omogućava dobijanje tačke X  HD. Tada je problem minimiziranja F(X) u CD domeni ekvivalentan pronalaženju minimuma * jednodimenzionalne funkcije F(X) = F(X()). Da bi se izvršila globalna jednodimenzionalna minimizacija funkcije F() na intervalu 0.1 u optimizacijskom podsistemu sistema za projektovanje kola DISP-a, koristi se monotona modifikacija algoritma globalne pretrage, koja implementira monotonska transformacija F() u obliku  ()  za ubrzanje konvergencije ( 1  [ 1  F ()] 2 )0 ,5 , (10) koja čuva lokaciju globalne tačke ekstrema, ali čini glatkija funkcija. Algoritam daje prilično dobru procjenu globalnog ekstremuma unutar prvih 50-100 iteracija. Najbolji rezultati se postižu ako broj varijabli ne prelazi 5-7. Za razmatrani algoritam, u nekim slučajevima, bolji rezultati se mogu dobiti upotrebom transformacije prostora pretraživanja prema logaritamskom zakonu. Ova transformacija je posebno efikasna ako se granice pretraživanja razlikuju za nekoliko redova veličine, što je važno u problemima REA optimizacije, i ako se ekstremum nalazi blizu granica regije. 2.5.3. Algoritam skeniranja na mreži Grey koda Glavna ideja metode je da se sekvencijalno mijenja specifična sfera pretraživanja s karakterističnim zrakama koje sadrže testne točke dok se akumuliraju i obrađuju primljene informacije. Smjer skeniranja se izvodi na posebnoj mreži specificiranoj binarnim kodom od 10 Grey. Sfera pretraživanja na mreži Grey koda u algoritmu koji se razmatra razlikuje se od tradicionalne (krug sa brojem varijabli jednakim 2) i pored kruga ima karakteristične zrake. Zraci su usmjereni od centra sfere ka granicama HD regije i time, takoreći, "transparentne" čitavo područje do njegovih granica. Algoritam koji se razmatra ima jedan podesivi parametar -osjetljivost funkcije kvaliteta na varijacije parametara, koji se koristi za određivanje koraka diskretnosti za svaku od varijabli. 2.6. Metode i algoritmi lokalnog pretraživanja Metode i algoritmi lokalnog pretraživanja najčešće traže najbliži lokalni ekstrem, a putanja njihovog kretanja jako ovisi o izboru početne točke i prirodi ciljne funkcije. 2.6.1. Direktne metode Metode nultog reda (direktne metode) u osnovi nemaju strogo matematičko opravdanje i grade se na osnovu razumnih prijedloga i empirijskih podataka. Najjednostavniji metod nultog reda je metoda koordinatnog spuštanja (Gauss-Seidel). U svakom koraku, sve varijable su fiksne osim jedne, koja se koristi za određivanje minimuma ciljne funkcije. Optimizacija se postiže sekvencijalnim nabrajanjem varijabli. Ovaj algoritam je neefikasan ako funkcija cilja sadrži izraze poput x1x2. Problemi projektovanja kola u kojima nije moguće dobiti analitički izraz ciljne funkcije karakteriše njena složena zavisnost od komponenti kola, pa je ova metoda obično neprimenljiva. Od metoda nultog reda u slučaju ciljnih funkcija jaruga, dobre rezultate daje Rosenbrockova metoda, koja kombinira ideje koordinatnog spuštanja i ideje transformacije koordinata. Najbolji pravac za traženje ekstremuma je kretanje duž klanca. Dakle, nakon prvog ciklusa koordinatnog spuštanja, koordinatne ose se rotiraju tako da se jedna od njih poklapa sa smjerom jaruge Xk - Xk - n, k = n, 2n, 3n…. Rozenbrokova metoda ne daje informacije o dostizanju minimalne tačke. Stoga, brojanje prestaje ili nakon što smanjenje F(X) postane manje od određenog malog broja , ili nakon određenog broja ciklusa. Metoda Hook-Jeeves razvijena je 1961. godine, ali je i dalje vrlo efikasna i originalna. Pronalaženje minimuma ciljne funkcije sastoji se od niza istraživačkih koraka oko bazne tačke, nakon kojih, ako je uspješno, slijedi pretraga uzorka. Ovaj postupak se sastoji od sljedećih koraka: 1. Odaberite početnu referentnu tačku b1 i korak dužine hj za svaku varijablu xj, j=1,2,…,n skalarne ciljne funkcije F(X). 11 2. Izračunajte F(X) u baznoj točki b1 kako biste dobili informacije o lokalnom ponašanju funkcije F(X). Ove informacije će se koristiti za pronalaženje smjera traženja uzorka koji se, nadamo se, može koristiti za postizanje većeg smanjenja vrijednosti funkcije F(X). Vrijednost funkcije F(X) u baznoj tački b1 nalazi se na sljedeći način: a) izračunava se vrijednost funkcije F(b1) u baznoj tački b1; b) svaka varijabla se mijenja naizmjence promjenom koraka. Tako se izračunava vrijednost F(b1 + he1), gdje je e1 jedinični vektor u smjeru ose x1. Ako to dovodi do smanjenja vrijednosti funkcije, tada se b1 zamjenjuje sa b1 + he1. Inače se izračunava vrijednost funkcije F(b1 - he1), a ako se njena vrijednost smanjila, tada se b1 zamjenjuje sa b1 - he1. Ako nijedan od poduzetih koraka ne dovede do smanjenja vrijednosti funkcije, tada tačka b1 ostaje nepromijenjena i razmatraju se promjene u smjeru ose x2, tj. odnosno nađe se vrijednost funkcije F(b1 + h2e2) itd. Kada se uzme u obzir svih n varijabli, određuje se nova bazna tačka b2; c) ako b2 = b1, tj. nije postignuta redukcija funkcije F(X), onda se istraživanje nastavlja oko iste bazne tačke b1, ali sa smanjenom dužinom koraka. Po pravilu, u praksi se visina tona smanjuje za 10 puta od početne dužine; d) ako je b2  b1, tada se traži uzorak. 3. Prilikom pretraživanja koriste se informacije dobijene tokom procesa istraživanja, a minimizacija funkcije cilja završava se pretragom u smjeru koji je odredio uzorak. Ovaj postupak se izvodi na sljedeći način: a) kretanje se vrši od bazne tačke b2 u smjeru b2 - b1, pošto je pretraga u tom smjeru već dovela do smanjenja vrijednosti funkcije F(X). Stoga se izračunavaju vrijednosti funkcije u tački uzorka P1 = b2 + (b2 - b1). Općenito, Pi = 2bi+1 - bi; b) istraživanje se vrši oko tačke P1(Pi); c) ako je najmanja vrijednost u koraku 3,b manja od vrijednosti u baznoj tački b2 (u opštem slučaju bi+1), tada se dobija nova bazna tačka b3(bi+2), nakon čega korak 3, a se ponavlja. U suprotnom, pretraga uzorka iz tačke b2 (bi+1) se ne vrši. 4. Minimalni proces pretraživanja završava kada se dužina koraka (dužine koraka) smanji na specificiranu malu vrijednost. 12 2.6.2. Metode optimizacije gradijenta prvog reda Metode za pronalaženje ekstrema pomoću derivata imaju strogo matematičko opravdanje. Poznato je da pri pronalaženju ekstremuma nema boljeg smjera od kretanja po gradijentu. Od metoda gradijenta, jedna od najefikasnijih je Fletcher-Powellova metoda (konjugirani gradijenti), koja je vrsta metode najstrmijeg spuštanja. Metoda najstrmijeg spuštanja sastoji se od sljedećih faza: 1) određena je početna tačka (vektor Xk k=0); 2) F(Xk) i F(Xk) su izračunati; 3) X se mijenja u smjeru Sk = -F(Xk) sve dok F(X) ne prestane da se smanjuje; 4) Pretpostavlja se k = k+1, izračunava se nova vrijednost F(Xk) i proces se ponavlja od 3. faze. Nedostatak metode je što kod jarugastih funkcija pristup minimumu ima cik-cak karakter i zahtijeva veliki broj iteracija. Suština Fletcher-Powell metode je da se za sve iteracije, počevši od druge (na prvoj iteraciji, ova metoda poklapa s metodom najstrmijeg spuštanja), prethodne vrijednosti F(X) i F(X) se koriste za određivanje novog vektora pravca   S k  F X k  d k S k 1 , gdje je (11) [F (X k)]T  F (X k) d . [F (X k 1)]T  F (X k 1) Ovo eliminiše cik-cak prirodu spuštanja i ubrzava konvergenciju. Ovaj algoritam je jednostavan za programiranje i zahtijeva umjerenu količinu mašinske memorije (treba popuniti samo prethodni smjer pretraživanja i prethodni gradijent). 2.6.3. Metode optimizacije gradijenta drugog reda Iterativni metod zasnovan na poznavanju drugih izvoda općenito je poznat kao Newtonova metoda. Neka je funkcija F(X) proširena u Taylorov red i sadrži tri člana. Rezultat zapisujemo u sljedećem obliku: 1 F (X k  X)  F (X k)  (X)T F k  (X)T G k X 2 (12) Potrebno je maksimizirati razliku na lijevim dijelovima. To se može učiniti diferenciranjem (12) u odnosu na X i izjednačavanjem rezultata sa nulom: 13  [ F (X k  X)  F (X k)]  F k  G k X  0, X G k X  F k . Ova jednačina se može riješiti, na primjer, korištenjem metode LU ekspanzije u odnosu na H. Formalno možemo napisati X  (G k) 1 F k   H k F k gdje je N=G-1. Sada pretpostavljamo da se smjer traženja poklapa sa vektorom S k  X k   H k F k . (13) Kada se ide na minimum, Hessian matrica1 će biti pozitivno određena i može se koristiti puna veličina koraka dk=1 (tj. nije potrebno pretraživanje u smjeru Sk). Međutim, daleko od minimuma, Hessian matrica možda nije pozitivno definitivna. Štaviše, računanje ove matrice je skupo. Stoga je razvijena čitava klasa drugih metoda, koje se nazivaju varijabilne metričke ili kvazi-njutnove metode, koje nemaju ove nedostatke. Ove metode su razvijene dosta davno, ali su generalizirane tek nedavno. Oni se zasnivaju na procjeni gradijenata i na aproksimaciji Hessian matrice ili njene inverzne. Aproksimacija se postiže promjenom originalne pozitivno određene matrice na poseban način kako bi se očuvala pozitivna određenost. Tek kada je dostignut minimum, rezultujuća matrica aproksimira Hesovu matricu (ili njenu inverznu). U svim metodama ove klase određuje se smjer traženja, kao u Newtonovoj metodi (13). Na svakoj iteraciji, korištenjem matrice Hk, prema posebnoj formuli, dobiva se matrica Hk+1. Kao primjer navodimo formulu koju su dobili Davidon, Fletcher i Powell, a ponekad se naziva i DFT formula:  2F 2F 2F  . . .   x1x n   x1x1 x1x 2  2F 2F 2F  . . .   1 Hessian matrica - matrica drugih izvoda G (x)   x 2 x1 x 2 x 2 x 2 x n   . . .    2F 2F 2F   x x x x . . . (14) Ova formula je prikladna samo ako je (X)T   0,  THk  0. Ovdje je k=Fk+1-Fk. 3. OPIS PROGRAMA RAČUNARSKE ANALIZE Program ima zgodan grafički korisnički interfejs za rad u okruženju operativni sistem Windows. Početni opis elektronskog kola koje se optimizira je informacija u datoteci kreiranoj tokom drugog laboratorijskog rada. Učitavanjem ove datoteke i odabirom elemenata za optimizaciju, ovaj program izračunava nove vrijednosti elemenata. Kriterijum za ispravnost proračuna je minimalna vrijednost ciljne funkcije, koja se izračunava kao ponderisana standardna devijacija traženih i stvarnih karakteristika OIE: amplitudno-frekventne, prelazne ili impulsne karakteristike. Program ima standardni set kontrola - meni, traku sa alatkama.... Automatski se kreira izvještaj o obavljenom laboratorijskom radu u html formatu. Bilješka. Nakon što su svi dijaloški okviri popunjeni vrijednostima, pritisnu se dugme<Далее>. Ako rezultat prikazan u sljedećem prozoru nije zadovoljavajući, onda pritiskom na tipku<Назад> možete se vratiti na prethodne korake i promijeniti pojmove za pretraživanje. 3.1. Pokretanje programa Kada pokrenete program, otvara se prozor u kojem, u traci menija Datoteka, treba da otvorite datoteku sačuvanu nakon završetka drugog laboratorijskog rada (Sl. 1). 3.2. Izrada zadatka optimizacije Datoteka koja opisuje kolo sadrži parametre elemenata, uključujući ekvivalentno kolo tranzistora. U lijevom prozoru potrebno je odabrati varijabilne parametre za parametarsku optimizaciju. Potrebna karakteristika, na primjer, frekvencijski odziv, određena je vrijednostima frekvencije (u Hz) i odgovarajućim vrijednostima pojačanja (u dB). U sljedećoj fazi postavlja se početni korak mjerenja parametara tokom optimizacije (slika 2). 15 Fig. 1. Prozor za otvaranje ulazne datoteke Sl. 2. Prozor za izbor vrijednosti optimizacije 16 3.3. Rezultati optimizacije U sljedećoj fazi program prikazuje rezultate proračuna:  minimum funkcije cilja;  parametri varijabilnih elemenata prije i poslije optimizacije;  broj proračuna ciljne funkcije;  smanjuje se broj dužine koraka i traženje šablona. Kriterij ispravnosti dobijenih rezultata je minimalna vrijednost funkcije cilja. Za bipolarni tranzistor bi trebao biti približno 10-7 I10-8, a za tranzistor sa efektom polja - 10-4 I 10-5 (slika 3). Ako su rezultati optimizacije zadovoljavajući, onda se prelazi na sljedeću fazu - konstrukciju amplitudno-frekvencijskih ili vremenskih karakteristika (sl. 4, 6,). Za precizno određivanje (pronalaženje) RES propusnog opsega, tj. gornje i donje granične frekvencije, kao i za određivanje vremena prolaznih procesa, postoje proračunske tabele (slika 5). Rice. 3. Prozor za proračun nakon optimizacije 17 Sl. 4. Prozor za crtanje frekvencijskog odziva Sl. 5. Vrijednosti frekvencijskog odziva u tabeli 18 Sl. 6. Prozor vremenskih karakteristika 4. SADRŽAJ LABORATORIJSKOG RADA 4.1. Procedura 1. Pripremljena faza uključuje upoznavanje sa smjernicama za laboratorijski rad, proučavanje teorije optimizacije korištenjem bilješki s predavanja, literarnih izvora i 2. odjeljka ovih smjernica. 2. Druga faza obuhvata realizaciju teorijskog rada: - formiranje zahteva za optimizovane karakteristike OIE; - izbor elementa ili elemenata kola prema čijim parametrima treba da se izvrši optimizacija. 3. Učitavanje programa optimizacije s opisom optimiziranog kola i zadatkom za parametarsku optimizaciju. 4. Izvršite optimizaciju. 5. Proračun karakteristika kola s optimiziranim parametrima. 6. Završna faza. U ovoj fazi se upoređuju karakteristike OIE prije i poslije optimizacije. Na osnovu primljenih materijala sastavlja se zapisnik na A4 listovima (297x210) uz obavezni prilog ispisa rezultata. 4.2. Laboratorijski zadatak 1. Na osnovu rezultata analize frekventnog odziva pojačavača dobijenih u drugom laboratorijskom radu, formulisati zahtjeve za idealan frekventni odziv. Odaberite metodu za određivanje idealnog frekvencijskog odziva i koordinata tačaka na grafu frekvencijskog odziva. 19 2. Odrediti grupu elemenata čije parametre treba optimizirati. 5. METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA PRIPREMU POČETNIH PODATAKA 5.1. Koristeći graf frekvencijskog odziva izračunat tokom drugog laboratorijskog rada, određuju se gornja i donja granična frekvencija i razjašnjava se utjecaj visokofrekventne induktivne korekcije. 5.2. Koristeći poznavanje sklopa uređaja za pojačanje, određuju se komponente čiji parametri određuju gornju i donju graničnu frekvenciju. 5.3. Idealna (zahtevana tehničkim specifikacijama) karakteristika je ucrtana na grafikonu frekvencijskog odziva. Odabrane su tačke optimizacije. Da bi se sačuvao tip frekventnog odziva u propusnom opsegu, potrebno je odabrati i tačke u ovom dijelu karakteristike. 6. SADRŽAJ IZVJEŠTAJA 1. Svrha rada. 2. Početni podaci u obliku sklopne šeme stepena pojačala i parametri njegovih elemenata prije optimizacije. 3. Popis rezultata mašinske analize. 4. Analiza rezultata. Zaključci. 7. PITANJA ZA SAMOPROVERU 1. Navedite neophodan i dovoljan uslov za postojanje minimuma funkcije. 2. Koja matrica se zove pozitivno definitivna? 3. Zašto se funkcija cilja naziva funkcija kvaliteta? 4. Imenujte glavno svojstvo funkcije cilja. 5. Koji se problemi nazivaju parametarska sinteza, a koji parametarska optimizacija? 6. U kojim slučajevima se problem numeričkog traženja minimuma funkcije cilja odnosi na probleme nelinearnog programiranja? 7. Koja je razlika između metoda gradijenta za traženje ekstrema funkcije i direktnih metoda? 8. Objasniti koncept globalnog i lokalnog minimuma. 9. Koja su ograničenja u parametarskoj optimizaciji radioelektronskih uređaja? 10. Objasnite metodu koordinatnog spuštanja. 11. Kako se metoda konjugovanog gradijenta razlikuje od metode najstrmijeg spuštanja? 12. Šta znači „pretraga uzorka“ u Hook-Jeeves metodi? 13. Koji su kriteriji za završetak iterativnog procesa optimizacije? 20 LITERATURA 1. Računarski sistemi projektovanja u radio elektronici: Directory/E.V. Avdeev, A.T. Eremin, I.P. Norenkov, M.I. Peskov; Ed. I.P. Norenkova. M.: Radio i komunikacija, 1986. 368 str. 2. Bundy B. Metod optimizacije. Uvodni kurs: Per. sa engleskog M.: Radio i komunikacija, 1988. 128 str. 3. Vlah I., Singhal K. Mašinske metode za analizu i projektovanje elektronskih kola. M.: Radio i komunikacije. 1988. 560 str. 4. Zbirka problema o tehnologiji mikrokola: Kompjutersko projektovanje: Tutorial za univerzitete / V.I. Anisimov, P.P. Azbelev, A.B. Isakov et al.; Ed. IN AND. Anisimova. L.: Energoatomizdat, Lenjingradsko odeljenje, 1991. 224 str. 5. Dijaloški sistemi za projektovanje kola / V.N. Anisimov, G.D. Dmitrievich, K.B. Skobeltsyn et al.; Ed. V.N. Anisimova. M.: Radio i komunikacija, 1988. 288 str. 6. Razevich V.D., Rakov V.K., Kapustyan V.I. Mašinska analiza i optimizacija elektronskih kola: Udžbenik za predmete "Pojačalački uređaji" i "Radio prijemni uređaji." M.: MPEI, 1981. 88 str. 7. Udžbenik matematičke analize / Tabueva V.A. Matematika, matematička analiza: Udžbenik. Ekaterinburg: USTU-UPI, 2001. 494 str. 8. Kiiko V.V. Kočkina V.F. Vdovkin K.A. Analiza elektronskih kola primenom modifikovane metode čvornih potencijala. Ekaterinburg: UGTUUPI, 2004. 31 str. 21

U praksi se stalno javljaju situacije kada se određeni rezultat može postići ne na jedan, već na mnogo različitih načina. U sličnoj situaciji može se naći i pojedinac, na primjer, kada odlučuje o raspodjeli svojih troškova, pa čitavo preduzeće ili čak industrija, ako je potrebno utvrditi kako će koristiti resurse kojima raspolaže kako bi postići maksimalan učinak i, konačno, nacionalnu ekonomiju u cjelini. Naravno, kod velikog broja rješenja mora se izabrati najbolje.

Uspjeh rješavanja velike većine ekonomskih problema ovisi o najboljem, najisplativijem načinu korištenja resursa. A konačni rezultat aktivnosti ovisit će o tome kako su ti, po pravilu, ograničeni resursi raspoređeni.

Suština metoda optimizacije (optimalnog programiranja) je da se na osnovu raspoloživosti određenih resursa odabere način njihove upotrebe (distribucije) koji će osigurati maksimum ili minimum indikatora od interesa.

Neophodan uslov za korišćenje optimalnog pristupa planiranju (princip optimalnosti) je fleksibilnost i alternativne proizvodne i ekonomske situacije u kojima se moraju donositi odluke o planiranju i upravljanju. Upravo takve situacije, po pravilu, čine svakodnevnu praksu privrednog subjekta (izbor proizvodnog programa, vezivanje dobavljačima, rutiranje, sečenje materijala, priprema smesa).

Optimalno programiranje stoga pruža uspješno rješenje za niz ekstremnih problema planiranja proizvodnje. U oblasti makroekonomske analize, predviđanja i planiranja, optimalno programiranje vam omogućava da odaberete varijantu nacionalnog ekonomskog plana (programa razvoja), koju karakteriše optimalan odnos potrošnje i štednje (akumulacije), optimalan udio industrijskih investicija u nacionalni dohodak, optimalni odnos koeficijenta rasta i koeficijenta rentabilnosti nacionalne privrede itd. .d.

Optimalno programiranje osigurava postizanje praktično vrijednih rezultata, jer je po svojoj prirodi u potpunosti u skladu s prirodom tehničkih i ekonomskih procesa i pojava koje se proučavaju. Sa matematičke i statističke tačke gledišta, ova metoda je primjenjiva samo na one pojave koje su izražene pozitivnim veličinama i u svojoj ukupnosti čine uniju međusobno zavisnih, ali kvalitativno različitih veličina. Ovi uslovi, po pravilu, odgovaraju veličinama koje karakterišu ekonomske pojave. Istraživač ekonomije uvijek ima pred sobom određeni skup različitih vrsta pozitivnih veličina. Prilikom rješavanja problema optimizacije, ekonomista se uvijek bavi ne jednom, već nekoliko međusobno zavisnih veličina ili faktora.

Optimalno programiranje može se primijeniti samo na one probleme u kojima se optimalni rezultat postiže samo u obliku precizno formuliranih ciljeva i uz dobro definirana ograničenja, koja najčešće proizlaze iz raspoloživih resursa (proizvodni kapacitet, sirovine, radni resursi itd.). Uslovi problema obično uključuju neki matematički formulisan sistem međuzavisnih faktora, resursa i uslova koji ograničavaju prirodu njihove upotrebe.

Problem postaje rješiv kada se u njega uvedu određene procjene za međuzavisne faktore i očekivane rezultate. Prema tome, optimalnost rezultata programskog problema je relativna. Ovaj rezultat je optimalan samo sa stanovišta kriterijuma po kojima se vrednuje i ograničenja koja se uvode u problem.

Na osnovu navedenog, svaki problem optimalnog programiranja karakteriziraju sljedeće tri tačke:

1) prisustvo sistema međuzavisnih faktora;

2) strogo definisan kriterijum za procenu optimalnosti;

3) precizno formulisanje uslova koji ograničavaju korišćenje raspoloživih resursa ili faktora.

Od mnogih mogućih opcija bira se alternativna kombinacija koja ispunjava sve uslove unesene u problem i daje minimalnu ili maksimalnu vrijednost odabranog kriterija optimalnosti. Rješenje problema se postiže korištenjem određene matematičke procedure koja se sastoji u sukcesivnoj aproksimaciji racionalne opcije, koji odgovara odabranoj kombinaciji faktora, jednom optimalnom planu.

Matematički, ovo se može svesti na pronalaženje ekstremne vrijednosti neke funkcije, odnosno na problem kao što je:

Pronađite max (min) f(x) pod uslovom da varijabla x (tačka x) prolazi kroz neki dati skup X:

f(x) ® max (min), x I H (4.1)

Ovako definisan problem naziva se problem optimizacije. Skup X naziva se dopušteni skup datog problema, a funkcija f(x) naziva se funkcija cilja.

Dakle, zadatak optimizacije je onaj koji se sastoji u izboru između određenog skupa prihvatljivih (tj. dopuštenih okolnostima slučaja) rješenja (X) onih rješenja (x) koja se u ovom ili onom smislu mogu kvalifikovati kao optimalna. Štaviše, prihvatljivost svakog rješenja razumijeva se u smislu mogućnosti njegovog stvarnog postojanja, a optimalnost - u smislu njegove svrsishodnosti.

Mnogo toga zavisi od oblika u kojem je dozvoljeni skup X specificiran. U mnogim slučajevima to se radi pomoću sistema nejednakosti (jednakosti):

q1 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

q2 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0, (4.2)

……………………………..

qm (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

gdje su q1, q2, … , qm neke funkcije, (x1, x2, … , xn) = x – način na koji je točka x specificirana skupom nekoliko brojeva (koordinata), što je tačka u n-dimenzionalnom aritmetičkom prostoru Rn. Prema tome, skup X je podskup u Rn i čini skup tačaka (x1, x2, ..., xn) I Rn i zadovoljava sistem nejednačina (2.2.2).

Funkcija f(x) postaje funkcija n varijabli f(x1, x2, ..., xn), optimuma (max ili min) koji treba pronaći.

Jasno je da je potrebno pronaći ne samo vrijednost max (min) same (x1, x2, ..., xn), već i tačku ili tačke, ako ih ima više, u kojima je ta vrijednost postignuto. Takve tačke se nazivaju optimalnim rješenjima. Skup svih optimalnih rješenja naziva se optimalni skup.

Gore opisani problem je opći problem optimalnog (matematičkog) programiranja, čija se konstrukcija zasniva na principima optimalnosti i konzistentnosti. Funkcija f se naziva ciljna funkcija, nejednakosti (jednakosti) qi (x1, x2, ... , xn) (? , = , ?) 0, i = 1, 2, ... , m su ograničenja. U većini slučajeva, ograničenja uključuju uslove nenegativnosti varijabli:

x1 ? 0, x2 ? 0, … , xn ? 0,

ili dijelovi varijabli. Međutim, to možda neće biti potrebno.

Ovisno o prirodi funkcija ograničenja i ciljne funkcije, razlikuju se različite vrste matematičkog programiranja:

1. linearno programiranje – funkcije su linearne;

2. nelinearno programiranje – barem jedna od ovih funkcija je nelinearna;

3. kvadratno programiranje – f(x) je kvadratna funkcija, ograničenja su linearna;

4. odvojivo programiranje – f(x) je zbir funkcija koje su različite za svaku varijablu, uslovi – ograničenja mogu biti i linearna i nelinearna;

5. cjelobrojno (linearno ili nelinearno) programiranje – koordinate željene tačke x su samo cijeli brojevi;

6. konveksno programiranje – ciljna funkcija je konveksna, funkcije – ograničenja – su konveksne, odnosno razmatraju se konveksne funkcije na konveksnim skupovima itd.

Najjednostavniji i najčešći slučaj je kada su ove funkcije linearne i svaka od njih ima oblik:

a1h1 + a2h2 + … anhn + b,

to jest, postoji problem linearnog programiranja. Procjenjuje se da su trenutno oko 80-85% svih optimizacijskih problema riješenih u praksi problemi linearnog programiranja.

Kombinujući jednostavnost i realistične pretpostavke, ova metoda istovremeno ima ogroman potencijal u određivanju najboljih planova sa stanovišta izabranog kriterijuma.

Prvo istraživanje u oblasti linearnog programiranja, u cilju izbora optimalnog plana rada u okviru proizvodnog kompleksa, datira s kraja 30-ih godina našeg veka i vezuje se za ime L.V. Kantorovich. U domaćoj naučnoj tradiciji, upravo se on smatra prvim razvijačem ove metode.

Tridesetih godina prošlog vijeka, tokom perioda intenzivnog ekonomskog i industrijskog razvoja Sovjetskog Saveza, Kantorovič je bio na čelu matematičkih istraživanja i nastojao je primijeniti svoja teorijska dostignuća na praksu rastuće sovjetske ekonomije. Takva prilika ukazala mu se 1938. godine, kada je postavljen za konsultanta u laboratoriju jedne fabrike šperploča. Imao je zadatak da razvije metodu raspodjele resursa koja; mogao maksimizirati performanse opreme, a Kantorovich je, formulirajući problem u matematičkim terminima, proizveo maksimizaciju linearne funkcije podložne velikom broju limitera. Bez čistog ekonomskog obrazovanja, on je ipak znao da je maksimizacija pod brojnim ograničenjima jedan od temeljnih problema ekonomije i da se metoda koja olakšava planiranje u fabrikama šperploče može koristiti u mnogim drugim industrijama, bilo da se radi o određivanju optimalne upotrebe obradive zemlje ili najviše. efikasna distribucija saobraćajnih tokova.

Govoreći o razvoju ove metode na Zapadu, treba reći o Tjalling Koopmansu, američkom matematičkom ekonomistu holandskog porijekla.

U misiji trgovačke flote, Koopmans je pokušao razviti rute savezničke flote na takav način da svedu troškove isporuke tereta na minimum. Zadatak je bio izuzetno složen: hiljade trgovačkih brodova nosile su milione tona tereta pomorskim rutama između stotina luka raštrkanih širom svijeta. Ovaj rad je pružio priliku Kupmansu da primijeni svoje matematičko znanje na fundamentalni ekonomski problem — optimalnu alokaciju oskudnih resursa među konkurentskim potrošačima.

Koopmans je razvio analitičku tehniku ​​nazvanu analiza aktivnosti koja je dramatično promijenila način na koji su ekonomisti i menadžeri pristupili raspodjeli ruta. Ovu tehniku ​​je prvi opisao 1942. godine, nazvavši je "Razmjenski odnosi između tereta na različitim rutama", gdje je pokazao mogućnost pristupa problemu distribucije kao matematičkom problemu maksimizacije unutar granica. Vrijednost koja podliježe maksimalnom povećanju je trošak isporučenog tereta, jednak zbiru troškova tereta dostavljenog u svaku od luka. Ograničenja su bila predstavljena jednadžbama koje izražavaju omjer broja utrošenih faktora proizvodnje (na primjer, brodovi, vrijeme, rad) i količine tereta isporučenog na različite destinacije, pri čemu vrijednost bilo kojeg od troškova ne bi trebala prelaziti raspoloživu količinu .

Radeći na problemu maksimizacije, Koopmans je razvio matematičke jednadžbe koje su našle široku primjenu i u ekonomskoj teoriji i u praksi upravljanja. Ove jednačine određuju za svaki proizvodni trošak koeficijent jednak cijeni ovog troška u uslovima idealnog konkurentnog tržišta. Tako je uspostavljena fundamentalna veza između teorija efikasnosti proizvodnje i teorija distribucije kroz konkurentna tržišta. Osim toga, Koopmansove jednačine bile su od velike vrijednosti za centralne planere, koji su mogli koristiti ove jednačine za određivanje odgovarajućih cijena za različite inpute, dok je odabir optimalnih ruta prepuštao diskreciji lokalnih direktora, čija je odgovornost bila maksimiziranje profita. Metod analize aktivnosti mogao bi se široko koristiti od strane svih menadžera prilikom planiranja proizvodnih procesa.

Godine 1975. L.V. Kantorovich i Tjalling C. Koopmans dobili su Nobelovu nagradu "za doprinos teoriji optimalne alokacije resursa".

Govoreći o prvom istraživanju u oblasti linearnog programiranja, ne može se ne spomenuti još jedan američki naučnik - George D. Danzig. Specifična formulacija metode linearnog programiranja datira iz njegovog rada za američko ratno vazduhoplovstvo tokom Drugog svetskog rata, kada je nastao problem koordinacije akcija jedne velike organizacije u pitanjima kao što su skladištenje, proizvodnja i održavanje opreme i logistike, i postojale su alternative i ograničenja. Osim toga, jedno vrijeme J. Danzing je radio zajedno sa V.V. Leontjeva, a simpleks metoda za rješavanje problema linearne optimizacije (koja se najčešće koristi za njihovo rješavanje) pojavila se u vezi s jednom od prvih praktičnih primjena metode ulazno-izlazne ravnoteže.

Odbacivanje trenutno dominantne definicije

Ekonomska teorija je nauka o tome koje od retkih proizvodnih resursa ljudi i društvo, tokom vremena, uz pomoć novca ili bez nje, biraju za proizvodnju različitih dobara i njihovu distribuciju za potrošnju u sadašnjosti i budućnosti među različitim ljudima i grupama društvo.

U korist kratkih

ET je nauka o optimizaciji ekonomije (menadžmenta) na svim nivoima do globalnog nivoa.

Vezano za mogućnosti koncepta optimizacije

OPTIMIZACIJA (jedna od formulacija) - određivanje vrijednosti ekonomskih pokazatelja pri kojima se postiže optimum, odnosno najbolje stanje sistema. Optimum najčešće odgovara postizanju najvišeg rezultata sa datim utroškom resursa ili postizanju datog rezultata uz minimalni utrošak resursa. http://slovari.yandex.ru/dict/economic

Ili Optimizacija (od latinskog optimum - najbolji) - proces pronalaženja ekstrema (globalnog maksimuma ili minimuma) određene funkcije ili odabira najbolje (optimalne) opcije od mnogih mogućih. Najpouzdaniji način da se pronađe najbolja opcija je uporedna procjena svih mogućih opcija (alternativa).
Ako je broj alternativa velik, obično se koriste metode matematičkog programiranja kako bi se pronašla najbolja. Metode se mogu primijeniti ako postoji striktna formulacija problema: specificiran je skup varijabli, utvrđeno područje njihove moguće promjene (ograničenja su navedena) i tip funkcije cilja (funkcija čiji je ekstremum treba pronaći) iz ovih varijabli se određuje. Ovo drugo je kvantitativna mjera (kriterijum) za procjenu stepena ostvarenosti cilja. U dinamičkim problemima, kada ograničenja nametnuta varijablama zavise od vremena, koriste se metode za pronalaženje najboljeg pravca akcije optimalna kontrola i dinamičko programiranje.

Da bi se pronašla optimalna među velikim brojem racionalnih opcija, potrebne su informacije o preferenciji različitih kombinacija vrijednosti indikatora koji karakteriziraju opcije. U nedostatku ovih informacija najbolja opcija Menadžer odgovoran za donošenje odluke bira između racionalnih...

Uvođenje koncepta optimizacije u definiciju ekonomska teorija smanjuje šanse za opšte brbljanje u ovoj nauci.

Ekonomska teorija kao nauka o optimizaciji ekonomije zahtijeva

Optimizacija konceptualnog aparata ove teorije;
- optimizacija metoda ekonomskih istraživanja;
- optimizacija razmatranja i definisanja svakog koncepta;
- optimizacija ekonomskih odluka na svim nivoima privrednog života;
- korištenje kriterija optimalnosti pri procjeni bilo koje ekonomske pojave.

Ciljevi ekonomskog obrazovanja:
formiranje temelja razmišljanja o ekonomskoj optimizaciji;
razvoj funkcionalne ekonomske pismenosti i sposobnosti za optimizaciju samorazvoja;
razvijanje praktičnih vještina za donošenje optimalnih odluka u različitim ekonomskim situacijama;

Ciljevi ekonomskog obrazovanja:
razvijanje znanja, vještina i sposobnosti neophodnih za optimizaciju u ekonomskom životu;
razviti kulturu razmišljanja o ekonomskoj optimizaciji, naučiti kako koristiti alate ekonomske optimizacije.

Klasici političke ekonomije prepoznaju ličnu korist kao kriterijum optimalnosti.
Neoklasicizam i njemu bliski pokreti također nisu protiv ekonomskog egoizma.

Ekonomska teorija, sa svojim naglaskom na optimizaciji, prihvata lični interes kao poseban (iako uobičajen) slučaj ekonomskih odluka na svim nivoima.

Istovremeno, takav ET omogućava na svim nivoima optimalnost kolektivne koristi, primarne koristi većine (posebno svih) učesnika na bilo kom nivou ekonomskog života: porodičnom (gde ima 2 ili više članova porodice), lokalnom, regionalnom , državno, međudržavno, globalno...

Raznovrsne koristi (privatne i opšte) - kao kriterijum optimalnosti - takođe su karakteristične za živu prirodu (http://ddarwin.narod.ru/), uključuje i koristi od samog opstanka svakog sistema.

Trenutno dominantna ekonomska teorija (intenzivno konkurentna, „tržišna“) opravdava samo privatne koristi, često stidljivo zatvarajući oči pred nastojanjima država i naroda da ostvare zajedničke koristi (ponekad neizbježno na štetu privatnih) u ime postojanja. ekonomskih sistema različitim nivoima. Počevši od malog naselja i pojedinačne porodice (npr. farmeri).

ET kao nauka o optimizaciji ekonomije (menadžmenta) na svim nivoima do globalnog omogućava veće istraživanje usklađenosti ličnih i zajedničkih interesa za opstanak svih privrednih subjekata.

Različiti aspekti optimizacije poslovanja društvene grupe praktikovano od primitivnih vremena. Procesi optimizacije su se intenzivirali u posljednjim milenijumima formiranjem država, pojavom velikih polietničkih grupa u Kini i Indiji, Egiptu i Sumeru, na prostranstvima Skitije i drugih regija. Bez raznih vidova optimizacije (jedna ili onakva koordinacija interesa, često nasilna) ekonomski život je nemoguć.

Optimalnost je povezana sa efikasnošću, a efikasnost sa optimalnošću. Ova veza prolazi kroz sve osnovne koncepte čak i još uvijek dominantnog ET.

Potrebe i ekonomske koristi, korisnost.
Ekonomski resursi, njihove vrste, ograničenja resursa (i njihova optimalna upotreba).
Ekonomski izbor. Oportunitetni trošak. Princip povećanja ekonomskih troškova. Kriva proizvodnih mogućnosti.
Koncept efikasnosti. Pareto kriterijum efikasnosti i optimalnosti. Efikasnost resursa i efikasnost alokacije.
Pozitivna i normativna teorija. Ekonomska politika. Ekonomski sistemi.
Tržišni sistem. Market. Konkurencija.
Potražnja i cijena. Funkcija i kriva potražnje. Faktori potražnje. Zakon potražnje. Potrošačka korist. Individualna i tržišna potražnja.
Ponuda i cijena. Funkcija i kriva ponude. Faktori ponude. Zakon ponude. Dobitak proizvođača.
Tržišna ravnoteža ponude i potražnje. Ravnotežna cijena. Deficiti i viškovi.
Uticaj poreza na proizvode i subvencija, raspodjela poreskog opterećenja.
Cjenovna elastičnost potražnje i njena svojstva. Elastičnost luka.
Unakrsna elastičnost. Prihodovna elastičnost tražnje. Cenovna elastičnost ponude.
Preduvjeti za analizu izbora potrošača. Utility. Marginalna korisnost.
Potrošačka ravnoteža u kardinalističkoj teoriji.
Preferencije potrošača. Krive indiferencije.
Budžetsko ograničenje. Potrošačka ravnotežna pozicija.
Promjene u prihodima potrošača i cijenama robe. Efekat zamene. Efekat prihoda.
Prednosti nižeg reda. Zamjenjivost i komplementarnost robe.
Proizvodnja. Faktori proizvodnje. Faktorski prihod.
Koncept proizvodne funkcije.
Ukupni, prosječni i granični proizvod.
Zakon o smanjenju granične produktivnosti
Izokvanta i njena svojstva. Isocosta. Producent Equilibrium
Firma: koncept, vrste.
Firma troškovi. Fiksni i varijabilni troškovi.
Opšti troškovi. Prosječni troškovi.
Marginalni troškovi.
Računovodstveni i ekonomski profit
Ukupni, prosječni i granični prihodi kompanije.
Različite vrste tržišnih struktura.
Savršena konkurencija
Ravnoteža konkurentske firme u kratkom roku
Dugoročna ravnoteža konkurentske firme
Čisti monopol. Određivanje cijene i obima proizvodnje pod monopolskim uslovima. Indikatori tržišne moći. Ekonomske posljedice monopola.
Monopolistička konkurencija. Određivanje cijena i obima proizvodnje pod uslovima monopolska konkurencija. Necjenovna konkurencija. Diverzifikacija proizvoda.
Oligopol. Određivanje cijene i obima proizvodnje u oligopolu.
Tržišta faktora proizvodnje: rada, kapitala, zemlje. Formiranje tražnje za faktorima proizvodnje, njena derivativna priroda.
Tržište rada. Ponuda i potražnja na tržištu rada.
Monopsonija i bilateralni monopol na tržištu rada. Uloga sindikata. Efikasno nadnica. Teorija ljudskog kapitala. Ulaganje u obrazovanje.
Tržište kapitala. Fizički i novčani kapital. Kapital i kamata na kredit. Ponuda i potražnja za pozajmljenim sredstvima.
Kamatna stopa pod savršenom konkurencijom. Realne i nominalne kamatne stope. Ravnotežna kamatna stopa.
Investicione odluke firmi. Princip diskontiranja. Procjena efektivnosti investicija.
Parcijalna i opšta ravnoteža. Opća ravnoteža i alokativna efikasnost.
Kriterijumi efikasnosti u tržišnoj ekonomiji.
Kriterijum efikasnosti i Pareto optimum (i ovde).
Efikasnost i socijalna pravda, društveni i ekonomski optimum. Princip kompenzacije (Kaldor-Hicks princip).
"Tržišni neuspjesi" Sistem socijalnog osiguranja.
Nejednakost, siromaštvo i diskriminacija. Raspodjela prihoda. Lorenzova kriva. Gini koeficijent.
Javna dobra. Potražnja i ponuda javnih dobara. Komparativna analiza javnih i privatnih dobara.
Privatni i društveni troškovi. Privatne (interne) i socijalne (eksterne) beneficije. Problem tržišta javnih dobara i regulatorna uloga države.
Pružanje javnih dobara kroz političke institucije. Javni izbor u direktnoj i predstavničkoj demokratiji. Odluke donesene po odobrenju. Pravila većine. Lobiranje. Tragači političke rente.
Eksternalije: pozitivne i negativne eksternalije.
Problem internalizacije spoljašnjih efekata. Državna politika: korektivni porezi i subvencije.
Teorija imovinskih prava. Coase teorem. Troškovi transakcije. Tržište imovinskih prava.

Čini se da modernim ekonomistima nema potrebe dokazivati ​​izglede za optimalnost kao glavni problem moderne ekonomske teorije. Gotovo svaki specijalista razmišlja o optimizaciji ekonomije na svim nivoima.

Moderni ET bi jednostavno trebao opravdati ove napore stručnjaka.