Optimalni sustavi automatskog upravljanja su sustavi u kojima se upravljanje provodi na način da traženi kriterij optimalnosti ima ekstremnu vrijednost. Rubni uvjeti koji definiraju početna i tražena završna stanja sustava, tehnološki cilj sustava. tn Postavlja se u slučajevima kada je prosječno odstupanje u određenom vremenskom intervalu od posebnog interesa, a zadatak upravljačkog sustava je osigurati minimum tog integrala...

Podijelite svoj rad na društvenim mrežama

Ako vam ovaj rad ne odgovara, na dnu stranice nalazi se popis sličnih radova. Također možete koristiti gumb za pretraživanje

Optimalna kontrola

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Osnove teorije automatske regulacije i upravljanja. M.: Viša škola, 1977. 519 str. Str. 477 491.

Optimalni samohodni topovi to su sustavi u kojima se upravljanje provodi na način da traženi kriterij optimalnosti ima ekstremnu vrijednost.

Primjeri optimalnog upravljanja objektima:

1. Upravljanje kretanjem rakete radi postizanja zadane visine ili dometa uz minimalnu potrošnju goriva;
2. Upravljanje kretanjem mehanizma pokretanog motorom, čime bi se smanjili troškovi energije;
3. Upravljanje nuklearnim reaktorom za maksimalnu učinkovitost.

Problem optimalnog upravljanja formuliran je na sljedeći način:

“Pronađite takav zakon promjene u kontrolnom vremenu u(t ), u kojem će se sustav pod zadanim ograničenjima kretati iz jednog zadanog stanja u drugo na optimalan način u smislu da funkcionalni ja , izražavajući kvalitetu procesa, dobit će izuzetnu vrijednost “.

Da biste riješili problem optimalne kontrole, morate znati:

1. Matematički opis objekta i okoline, povezujući vrijednosti svih koordinata proučavanog procesa, kontrole i ometajućih utjecaja;

2. Fizička ograničenja koordinata i zakon upravljanja, izražen matematički;

3. Rubni uvjeti koji definiraju početno i traženo konačno stanje sustava

(tehnološki cilj sustava);

4. Objektivna funkcija (funkcionalna kvaliteta

matematički cilj).

Matematički se kriterij optimalnosti najčešće predstavlja kao:

t do

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + φ [ y (t do), t do ], (1)

t n

gdje prvi član karakterizira kvalitetu kontrole u cijelom intervalu ( tn, tn) i zove se

integralna komponenta, drugi član

karakterizira točnost u konačnoj (terminalnoj) točki u vremenu t do .

Izraz (1) nazivamo funkcionalom, jer ja ovisi o izboru funkcije u(t ) i rezultirajući y(t).

Lagrangeov problem.Minimizira funkcionalnost

t do

I=∫f o dt.

t n

Koristi se u slučajevima kada je prosječno odstupanje tijekom vremena od posebnog interesa.

određenom vremenskom intervalu, a zadatak sustava upravljanja je osigurati minimum tog integrala (pogoršanje kvalitete proizvoda, gubitak i sl.).

Primjeri funkcionalnosti:

I =∫ (t) dt kriterij za minimalnu pogrešku u stabilnom stanju, gdje x(t)

1. odstupanje kontroliranog parametra od navedene vrijednosti;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min kriterij maksimalne brzine samohodnih topova;

I =∫ dt = > min kriterij optimalne učinkovitosti.

Mayerov problem. U ovom slučaju minimizira se funkcionalnost definirana samo terminalnim dijelom, tj.

I = φ => min.

Na primjer, za sustav upravljanja zrakoplovom opisan jednadžbom

F o (x, u, t),

možete postaviti sljedeći zadatak: odrediti kontrolu u (t), t n ≤ t ≤ t k tako da je for

određeno vrijeme leta za postizanje maksimalnog dometa, pod uvjetom da u posljednjem trenutku vremena t do Zrakoplov će sletjeti, tj. x (t do ) =0.

Boltz problem svodi na problem minimiziranja kriterija (1).

Osnovne metode za rješavanje problema optimalnog upravljanja su:

1.Klasični varijacijski račun Eulerov teorem i jednadžba;

2. Načelo maksimalne L.S. Pontrjagin;

3.Dinamičko programiranje R. Bellmana.

EULEROVA JEDNADŽBA I TEOREM

Neka je dana funkcionalnost:

t do

I =∫ f o dt,

t n

Gdje neke dva puta diferencijabilne funkcije, među kojima je potrebno pronaći takve funkcije ( t ) ili ekstremi , koji zadovoljavaju specificirane rubne uvjete x i (t n), x i (t k ) i minimizirati funkcionalnost.

Među rješenjima Eulerove jednadžbe nalaze se ekstremi

ja = .

Da bi se utvrdila činjenica minimiziranja funkcionala, potrebno je osigurati da su Lagrangeovi uvjeti zadovoljeni duž ekstremala:

slično zahtjevima za pozitivnost druge derivacije u točki minimuma funkcije.

Eulerov teorem: “Ako je ekstrem funkcionalnog ja postoji i postiže se među glatkim krivuljama, onda se može postići samo na ekstremima.”

MAKSIMALNI PRINCIP L.S.PONTRYAGINA

Škola L. S. Pontryagina formulirala je teorem o nužnom uvjetu optimalnosti, čija je suština sljedeća.

Pretpostavimo da je diferencijalna jednadžba objekta, zajedno s nepromjenjivim dijelom regulacijskog uređaja, dana u općem obliku:

Za kontrolu u j ograničenja se mogu nametnuti, na primjer, u obliku nejednakosti:

, .

Svrha upravljanja je prebacivanje objekta iz početnog stanja ( t n ) u konačno stanje ( t do ). Kraj procesa t do može biti fiksna ili besplatna.

Neka je kriterij optimalnosti minimum funkcionala

I = dt.

Uvedimo pomoćne varijable i oblikujmo funkciju

Fo ()+ f () f ()+

Načelo maksimuma kaže da bi sustav bio optimalan, tj. da bi se dobio minimum funkcionala, potrebno je da postoje takve nenulte kontinuirane funkcije koje zadovoljavaju jednadžbu

To za bilo koji t , koji se nalazi u zadanom rasponu t n≤ t ≤ t k , vrijednost H, kao funkcija dopuštene kontrole, doseže maksimum.

Maksimum funkcije H određuje se iz uvjeta:

ako ne doseže granice regije, a kao supremum funkcije H, inače.

Dinamičko programiranje R. Bellmana

R. Bellmanovo načelo optimalnosti:

"Optimalno ponašanje ima svojstvo da, bez obzira na početno stanje i odluku u početnom trenutku, naknadne odluke moraju predstavljati optimalno ponašanje u odnosu na stanje koje proizlazi iz prve odluke."

Treba razumjeti "ponašanje" sustava pokret ovi sustavi i termin"odluka" se odnosi naizbor zakona promjene vremena upravljačkih sila.

U dinamičkom programiranju proces traženja ekstrema dijeli se na n koraka, dok se u klasičnom varijacijskom računu traži cijeli ekstremal.

Proces traženja ekstrema temelji se na sljedećim premisama principa optimalnosti R. Bellmana:

1. Svaki segment optimalne putanje je i sam optimalna putanja;
2. Optimalan proces na svakom mjestu ne ovisi o njegovoj povijesti;
3. Optimalna kontrola (optimalna putanja) se traži pomoću kretanja unatrag [iz y (T) do y (T -∆), gdje je ∆ = T/ N, N broj dionica putanje itd.].

Heuristički, Bellmanove jednadžbe za potrebne izjave problema izvode se za kontinuirane i diskretne sustave.

Adaptivno upravljanje

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Odabrana poglavlja teorije automatskog upravljanja s primjerima u jeziku MATLAB . St. Petersburg: Nauka, 1999. 467 str. Poglavlje 12.

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Osnove teorije automatske regulacije i upravljanja. M.: Viša škola, 1977. 519 str. Str. 491 499.

Ankhimyuk V.L., Opeiko O.F., Mikheev N.N. Teorija automatskog upravljanja. Mn.: Design PRO, 2000. 352 str. Str. 328 340.

Potreba za adaptivnim sustavima upravljanja javlja se zbog značajne kompliciranosti problema upravljanja koji se rješavaju, a specifičnost te komplikacije je nedostatak praktične mogućnosti za detaljno proučavanje i opis procesa koji se odvijaju u upravljanom objektu.

Na primjer, moderne letjelice velikih brzina, točne a priori podatke o karakteristikama kojih se u svim radnim uvjetima ne mogu dobiti zbog značajnih varijacija atmosferskih parametara, velikih raspona brzina leta, dometa i visina, kao i zbog prisutnosti širokog spektra parametarskih i vanjskih poremećaja.

Pojedini objekti upravljanja (zrakoplovi i projektili, tehnološki procesi i energetska postrojenja) razlikuju se po tome što se njihove statičke i dinamičke karakteristike mijenjaju u širokom rasponu na način koji nije bio unaprijed predviđen. Optimalno upravljanje takvim objektima moguće je uz pomoć sustava u kojima informacije koje nedostaju automatski nadopunjuje sam sustav tijekom rada.

Adaptivan (lat.) adaptio ” uređaj) su oni sustavi koji pri promjeni parametara objekata ili karakteristika vanjskih utjecaja tijekom rada, samostalno, bez intervencije čovjeka, mijenjaju parametre regulatora, njegovu strukturu, postavke ili regulacijske utjecaje radi održavanja optimalnog režima rada predmet.

Stvaranje adaptivnih sustava upravljanja provodi se u bitno različitim uvjetima, tj. adaptivne metode trebale bi pomoći u postizanju Visoka kvaliteta kontrola u nedostatku dovoljne potpunosti apriornih informacija o karakteristikama kontroliranog procesa ili u uvjetima nesigurnosti.

Klasifikacija adaptivnih sustava:

Samoprilagođavajući

(prilagodljivo)

Kontrolni sustavi

Samopodešavajući samoučeći sustavi s prilagodbom

Sustavi sustavi u posebnim fazama

Države

Search Searchless- Training- Training- Relay Adaptive

(ekstremno (analizirano s poticajima bez sustava samoosciliranja s

Nove) tičke poticajne varijable

Sustavi sustavi struktura sustava

Strukturni dijagram AS klasifikacije (prema prirodi procesa prilagodbe)

Sustavi koji se sami podešavaju (SNS)su sustavi u kojima se prilagodba promjenjivim radnim uvjetima provodi promjenom parametara i upravljačkih djelovanja.

SamoorganiziranjeTo su sustavi u kojima se prilagodba provodi promjenom ne samo parametara i upravljačkih radnji, već i strukture.

Samoučenjeovo je sustav automatskog upravljanja u kojem se optimalni način rada upravljanog objekta određuje pomoću upravljačkog uređaja, čiji se algoritam automatski ciljano poboljšava u procesu učenja putem automatskog pretraživanja. Pretraga se provodi pomoću drugog upravljačkog uređaja, koji je organski dio samoučećeg sustava.

U tražilicama sustava, mijenjanje parametara regulacijskog uređaja ili regulacijske radnje provodi se kao rezultat traženja uvjeta za ekstremne pokazatelje kvalitete. Potraga za ekstremnim uvjetima u sustavima ove vrste provodi se korištenjem testnih utjecaja i procjenedobivenih rezultata.

U ne-trazi sustava, određivanje parametara regulacijskog uređaja ili regulacijskih radnji provodi se na temelju analitičkog određivanja uvjeta koji osiguravaju zadanu kvalitetu regulacije bez uporabe posebnih traženih signala.

Sustavi sa adaptacija u posebnim faznim stanjimakoristiti posebne modove ili svojstva nelinearnih sustava (modovi samoosciliranja, klizni modovi) za organiziranje kontroliranih promjena dinamičkih svojstava upravljačkog sustava. Posebno organizirani posebni načini rada u takvim sustavima ili služe kao dodatni izvor operativnih informacija o promjenjivim radnim uvjetima sustava ili daju sustavima upravljanja nova svojstva, zahvaljujući kojima se dinamičke karakteristike kontroliranog procesa održavaju u željenim granicama. , bez obzira na prirodu promjena koje nastaju tijekom rada.

Pri korištenju adaptivnih sustava rješavaju se sljedeći glavni zadaci:

1 . Tijekom rada sustava upravljanja, pri promjeni parametara, strukture i vanjskih utjecaja, osigurava se upravljanje pri kojem se održavaju zadana dinamička i statička svojstva sustava;

2 . Tijekom procesa projektiranja i puštanja u rad, u početnom nedostatku potpunih informacija o parametrima, strukturi objekta upravljanja i vanjskim utjecajima, automatsko postavljanje sustava u skladu sa zadanim dinamičkim i statičkim svojstvima.

Primjer 1 . Adaptivni sustav stabilizacije kutnog položaja zrakoplova.

f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f (t) f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

u (t) W 1 (p) W 0 (p) y (t)

+ -

Riža. 1.

Prilagodljivi sustav stabilizacije zrakoplova

Kada se promijene uvjeti leta, mijenja se funkcija prijenosa W 0 (str ) zrakoplova, a time i dinamičke karakteristike cjelokupnog stabilizacijskog sustava:

. (1)

Ogorčenje izvana vanjsko okruženje f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), dovodeći do kontroliranih promjena parametara sustava, primjenjuju se na različite točke objekta.

Uznemirujući utjecaj f(t ) primijenjen izravno na ulaz kontrolnog objekta, za razliku od f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) ne mijenja svoje parametre. Stoga, samo tijekom rada sustava f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t).

U skladu s principom povratne sprege i izrazom (1), nekontrolirane promjene karakteristika W 0 (str ) zbog smetnji i smetnji uzrokuju relativno male promjene parametara F( p) .

Ako postavimo zadatak potpunije kompenzacije kontroliranih promjena, tako da prijenosna funkcija F(r) stabilizacijskog sustava zrakoplova ostane praktički nepromijenjena, tada karakteristiku regulatora treba odgovarajuće promijeniti. W 1 (str ). To se radi u prilagodljivom samohodnom topu, izrađenom prema shemi na sl. 1. Parametri okoline karakterizirani signalima f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), na primjer, tlak glave brzine P H(t) , sobna temperatura T0(t) i brzinu leta v(t) , kontinuirano mjere senzori D 1, D 2, D 3 , a trenutne vrijednosti parametara šalju se računalnim uređajima B 1, B 2, B 3 , proizvodeći signale uz pomoć kojih se podešava karakteristika W 1 (str ) za kompenzaciju promjena u karakteristikama W0(p).

Međutim, u ASAU ove vrste(s otvorenom petljom prilagodbe) ne postoji samoanaliza učinkovitosti kontroliranih promjena koje čini.

Primjer 2. Ekstremni sustav kontrole brzine leta zrakoplova.

Z Smetnja

Udarac

X 3 = X 0 - X 2

Automatski uređaj X 0 Pojačanje X 4 Izvršno X 5 Podesivo X 1

Objekt uređaja matematičkog pretvarača

Extremum iska + - uređaj

Mjerenje

Uređaj

Slika 2. Funkcionalni dijagram ekstremnog sustava kontrole brzine leta zrakoplova

Ekstremni sustav određuje najprofitabilniji program, tj. zatim vrijednost X 1 (potrebna brzina zrakoplova), koja je potrebna u ovaj trenutak održavati minimalnu potrošnju goriva po jedinici duljine puta.

Z - karakteristike objekta; X 0 - upravljački utjecaj na sustav.

(vrijednost potrošnje goriva)

y(0)

y(T)

Samoorganizirajući sustavi

Ovi standardi zasebno normaliziraju svaku komponentu mikroklime u radno područje proizvodni prostor: temperatura, relativna vlažnost, brzina kretanja zraka, ovisno o sposobnosti ljudskog tijela da se aklimatizira u različito doba godine, priroda odjeće, intenzitet posla koji se obavlja i priroda stvaranja topline u radnoj prostoriji . Promjene temperature zraka po visini i horizontali, kao i promjene temperature zraka tijekom smjene uz osiguranje optimalnih vrijednosti mikroklime na radnom mjestu ne bi smjele... Menadžment: pojam, značajke, sustav i principi Tijela državne uprave: pojam, vrste i funkcije. Po sadržaju Administrativno pravo je državno-upravno pravo kojim se ostvaruje pravni interes većine građana, za što subjekti upravljanja imaju pravno vlastodršne ovlasti i predstavničke funkcije države. Dakle, predmet djelovanja pravnih normi su specifični upravni društveni odnosi koji nastaju između subjekta upravljanja od strane upravitelja i objekata... Vladina uredba društveni ekonomski razvoj regije. Lokalni proračuni kao financijska osnova za društveno-ekonomski razvoj regije. Različiti teritoriji Ukrajine imaju svoje karakteristike i razlike kako u pogledu ekonomskog razvoja tako iu društvenim, povijesnim, jezičnim i mentalnim aspektima. Od ovih problema, prvo moramo spomenuti nesavršenost sektorska struktura većine regionalnih gospodarskih kompleksa njihova niska ekonomska učinkovitost; značajne razlike između regija u razinama...

Materijal o optimalnom upravljanju koji je ovdje predstavljen kombinira teoriju i praksu optimalnog upravljanja. Prije nego što je napisan i prezentiran, stvoreni su pravi optimalni sustavi čiji su rezultati poslužili kao osnova za kreiranje upravljanih sustava u EFFLY dizajneru. Kao što su istraživanja pokazala, rad optimalnih sustava stvorenih u softverskom dizajneru ne razlikuje se bitno od rada sustava u stvarnim uvjetima.

Ovo je dobra vijest jer sada možete vježbati, promatrati optimalne sustave na djelu i istraživati ​​principe optimalne kontrole dok sjedite ispred zaslona računala. U tu svrhu, ovdje su linkovi na datoteke postojećih optimalnih sustava. Sve što Vam je potrebno za pristup ordinaciji je Excel okruženje.

Bio bih vam jako zahvalan ako napišete nekoliko riječi o tome što je po vašem mišljenju potrebno dodati kako bi materijal bio dostupniji i korisniji, tj. optimalniji:-). Linkovi za komunikaciju nalaze se dalje u tekstu.

1. Uvod

Kako bismo postigli svoje ciljeve, provodimo široku paletu operacija. Međutim, u svakodnevnom životu rijetko razmišljamo o tome što je stvoreno za provođenje operacije i koliko se učinkovito provodi. Druga je stvar kada se slični poslovi provode redovito u obliku tehnološkog procesa, a tempo razvoja i konkurentnost poslovanja ovisi o učinkovitosti takvih operacija. U tom slučaju nastojimo osigurati da izvedeni zahvati budu što učinkovitiji, najbolji ili, što je također, optimalan.

Optimizacija i optimalna kontrola vrlo su moderni i popularni pojmovi. No, vjerojatno ću vas jako iznenaditi ako kažem da o optimalnoj kontroli, usprkos nebrojenom broju publikacija u najrazličitijim izvorima, postoji vrlo malo stvarno kvalitetnih informacija. Obično se prepričavaju neke figurativne fraze o „kormilima“, osnovni pojmovi o ograničenjima procesa kontrole i neograničenosti kontrola u okviru nametnutih ograničenja. Također se obično puno govori o kriterijima optimalne kontrole (kao da ih može biti mnogo). I čak pružaju specifične izraze kriterija optimizacije za koje nitko nije provjerio njihovu primjerenost.

Ukratko, optimalno upravljanje je tehnološki proces koji se sastoji od mnogih operacija s takvim parametrima koji će u određenom vremenskom trenutku osigurati dobivanje maksimalnog ciljanog proizvoda.

Kako biste razumjeli o kojem ciljanom proizvodu govorimo, morate steći predodžbu procesna fizika i njega kibernetika, a zatim razumjeti proces optimizacije.

2. Fizika općih procesa proizvodnih sustava

Kako bi se pozabavili principi optimalne kontrole, ne može se bez razumijevanja fizike procesa koji su u osnovi svake tehnološke operacije. Ovi principi su opći, stoga, nakon što ih shvatite na primjeru jednog specifičnog procesa, možete sigurno koristiti stečeno znanje, oslanjajući se na generalizirani kibernetički model pokretača operacije.

Kao primjer, detaljno ćemo razmotriti rad zagrijavanja tekućine. Istodobno, možete istovremeno provoditi vlastita istraživanja ako imate potrebnu jednostavnu opremu i malo iskustva. Također možete koristiti promatranje procesa kontroliranog sustava grijanja montiranog u EFFLY okruženju. Ili možete jednostavno svladati gradivo analizirajući gotove podatke prikazane u grafikonima.

Dakle, moramo izvoditi operacije zagrijavanja tekućine u ciklusu, postižući optimalni način grijanja. Za izvođenje operacije grijanja koristit ćemo električni grijač – grijač, s regulatorom snage. Grijaći element se spušta u posudu s tekućinom, a brzina zagrijavanja ovisi o snazi ​​koja se prenosi na električni uređaj.

Što je u ovom slučaju bit menadžmenta? Sve je vrlo jednostavno. Postavljamo određenu količinu električne energije i provodimo operaciju grijanja. Postavljanje regulatora snage u jedan od mogućih položaja je kontrola. Stoga će se ovisno o upravljanju mijenjati brzina zagrijavanja, količina potrošnje električne energije i istrošenost grijaćeg mehanizma grijača (Sl. 1-3).

Iz grafikona (slika 1.) proizlazi da povećanje opskrbe električnom energijom dovodi do smanjenja potrošnje energije za rad. Kako se to može objasniti?

Slika 1 Promjena potrošnje energije rada grijanja od upravljanja

Stvar je u tome što pri niskoj brzini zagrijavanja zagrijana tekućina ima vremena za oslobađanje veliki broj topline u okolinu. Što je veća stopa zagrijavanja, to je manje toplinski gubici. Za procese s visokom učinkovitošću tehnološkog mehanizma ovo je tipična slika. Zašto grijaći element ima visoku učinkovitost? Zato što je uronjen u tekućinu i gotovo joj potpuno predaje svoju energiju (mali dio energije se gubi u žicama).

Također, iz grafikona promjene istrošenosti od kontrole (slika 2) proizlazi da što je veća produktivnost procesa, to je veće istrošenost tehnološkog mehanizma.

Slika 2. Promjena istrošenosti mehanizma rada grijanja od kontrole

Štoviše, s povećanjem produktivnosti, trošenje se neproporcionalno povećava, ali po stepenu. Eksperimentalno je određen koeficijent funkcije snage trošenja mehanizma na produktivnost. Općenito, potrebno je govoriti o istrošenosti svakog mehanizma sustava.

I, naravno, što je veća količina dovedene energije, to je veća brzina procesa, a time i kraće vrijeme rada (slika 3). To je jasno. Ali stvarna ovisnost je također nelinearna, kao što se može vidjeti iz grafikona.

Slika 3 Promjena vremena rada grijanja iz upravljanja

Dakle, svaka kontrola odgovara vlastitoj potrošnji energenta, vlastitoj istrošenosti pogonskih mehanizama i vlastitom radnom vremenu. Sada nam je dostupna priroda promjena.

To je zapravo sve što trebate znati o fizici procesa zagrijavanja tekućine s grijaćim elementom uronjenim u nju, kako biste razumjeli bit prirodnih mehanizama koji leže u pozadini optimalne tehnologije upravljanja.

Pišite autoru.

3. Kibernetika procesa proizvodnih sustava

Živimo u svijetu koji poštuje vrlo specifične zakone. Ti se zakoni dijele u dvije klase. Poznavanje prvorazrednih zakona omogućuje nam da odgovorimo na pitanje: "Zašto se to događa?" U razred takvih znanosti spadaju: fizika, kemija, astronomija.

U drugu klasu spadaju znanosti koje odgovaraju na pitanje: “Zašto, ili za koju svrhu?” Istaknuti predstavnik ove klase znanosti je kibernetika.

3.1 Misija i svrha upravljanja proizvodnim sustavima

U procesu optimalnog upravljanja rješavaju se dva prilično neovisna problema za čije rješavanje su odgovorne dvije neovisne strukture proizvodnog sustava.

Prvi zadatak je stvoriti proizvod koji ima određene potrošačke kvalitete. U našem slučaju potrošački proizvod operacije je zagrijana tekućina. Općenito, možemo reći da je misija sustava stvoriti koristan proizvod zadanih potrošačkih kvaliteta. Korisni proizvod stvara tehnički podsustav pod kontrolom tehnološkog podsustava. Ovaj tehnološki podsustav često se naziva sustav upravljanja.

Ali nitko neće pod svaku cijenu stvoriti koristan proizvod. Dakle, parametri ulaznih proizvoda operacije, a time i parametri procesa, moraju biti odabrani tako da stručna procjena ulaznih proizvoda operacije bude manja od stručne ocjene izlaznih proizvoda operacije. . U ekonomski sustavi Ne operiraju stručnim procjenama, nego troškovnim.

Na primjer, trebamo prevesti teret od točke A do točke B. Za to nam je potrebno vozilo i energent. Operaciju ćemo provesti svjesno samo ako cijenu istrošenijeg vozila, ostatka goriva i proizvoda u točki B cijenimo više od manje istrošenog vozila, neiskorištenog goriva i tereta u točki A. Odnosno, borimo se za povećanje razlike u troškovnim ulaznim i izlaznim ocjenama.

Maksimiziranje razlike između stručnih procjena izlaznih i ulaznih proizvoda ciklusa kontroliranih operacija je cilj menadžmenta (ovo je drugi problem upravljanja), a sama razlika je ciljni proizvod. Odgovoran za maksimiziranje vrijednosti ciljanog proizvoda proizvodnog sustava optimizacijski podsustav.

Imajte na umu da govorimo o O ciklus operacija(proces), ne o odvojeni rad. Vratit ćemo se na ovu točku malo kasnije, ali za sada ćemo govoriti o tome kako prijeći s prirodnih pokazatelja ulaznih i izlaznih proizvoda na usporedive pokazatelje.

3.2 Svođenje kvantitativnih parametara transakcijskih proizvoda na usporedive vrijednosti

Izvođenje bilo koje operacije zahtijeva od nas određena ulaganja. Za operaciju zagrijavanja tekućine potreban nam je dio same hladne tekućine, određena količinom energije i dio resursa mehanizma koji će se istrošiti tijekom rada. Različito procjenjujemo doprinos svakog od ovih proizvoda poslovanju. Ova procjena povezana je s konceptom stručne procjene proizvoda operacije, koja se izražava stručnom ocjenom jedinice proizvoda i njezinom kvantitativnom ocjenom. Budući da se sustav grijanja može smatrati tehničkim i ekonomskim sustavom, koristit ćemo se poznatijim ekonomski koncept“procjena vrijednosti”, umjesto kibernetičkog pojma - “stručna procjena”.

U općem slučaju, vrednovanje bilo kojeg ulaznog proizvoda operacije određuje se iz izraza RE i =RS i ·RQ i, gdje je RQ i količina i-tog proizvoda operacije; RS i jedinični trošak i-tog proizvoda operacije; RE i je vrednovanje i-tog proizvoda proizvoda operacije.

Dakle, za operaciju koristimo 1 kubni metar tekućine. Pretpostavimo da je procjena troška za kubni metar tekućine 0,8 deniera. jedinice Tada će procjena troškova kubnog metra tekućine biti jednaka RE cw =RQ cw ·RS cw =1·0,8=0,8 novčanih jedinica, gdje je RQ cw volumen tekućine potreban za rad; RS cw - troškovnik kubika tekućine; RE cw – troškovnik volumena tekućine operacije.

Budući da se volumen hladne tekućine potrebne za sljedeću operaciju ne mijenja u odnosu na kontrolu, graf procjene troškova tekućine ovisno o kontroli RE cw (U) izgledat će kao vodoravna ravna linija (slika 4).

Potrošnja energenta varira od operacije do operacije, tako da će se i procjena troškova potrošnje energije mijenjati od operacije do operacije. Pod pretpostavkom da jedan kWh. struja košta 0,3 den. jedinica, moguće je dobiti ovisnost promjene troškova energije RE e o regulaciji U, gdje je RE e (U) procjena troška energije potrošene operacijom regulacije (slika 4).

Ostaje utvrditi promjenu gubitaka resursa mehanizma rada od upravljanja u usporedivim vrijednostima troškova (RE w (U)), uzimajući u obzir da se jedinica gubitka resursa procjenjuje na 3 novčane jedinice. (slika 4).

Slika 4 Promjena u procjenama troškova potrebne količine električne energije, tekućine i stupnja istrošenosti grijaćeg elementa rada grijanja od kontrole

Sada, budući da su svi ulazni proizvodi operacije izraženi u usporedivim vrijednostima troškova, za svaku kontrolu može se odrediti jedna vrijednost ukupnih troškova troškova RE=RE cw +RE e +RE w (slika 5).

Na istom dijagramu zgodno je prikazati ovisnost troškovnika zagrijane tekućine o regulaciji PE(U) i vremenu rada na regulaciji T op (U) na dodatnoj osi.

Slika 5. Promjene u troškovniku ulaznih i izlaznih proizvoda pogona grijanja i vremena rada iz kontrole

Energetski proizvod, sama hladna tekućina i mehanizam za grijanje za nas imaju sasvim jasnu vrijednost. Stoga ćemo operacije zagrijavanja tekućine provoditi samo ako je stručna procjena ulaznih proizvoda operacije manja od stručne ocjene rezultirajućeg proizvoda operacije. U ovom slučaju pretpostavit ćemo da je trošak kocke zagrijane tekućine procijenjen na PS = 55 novčanih jedinica.

Napominjemo da su osnovni pokazatelji RE, PE i T op kibernetski jer se mogu dobiti za bilo koju operaciju, neovisno o prirodi procesa i vrsti upravljanog sustava. Konstruiranjem funkcija RE(U), PE(U) i Top(U) učinili smo još jedan korak ka otkrivanju suštine optimalna kontrola.

Na koje ste poteškoće naišli u razumijevanju gradiva? Pišite autoru.

3.3 Kriterij optimalnog upravljanja proizvodnim sustavima

Sada kada razumijemo da je tehnički podsustav odgovoran za proces transformacije ulaznih proizvoda, tehnološki podsustav odgovoran je za kvalitetu rezultirajućeg proizvoda, a optimizacijski podsustav odgovoran je za maksimiziranje ciljanog proizvoda, možemo pristupiti pitanju izbora optimalna opcija.

Pretpostavimo da imamo dvije opcije za odabir kontrolnih parametara. Pretpostavimo da postavljanjem prvog skupa kontrolnih parametara dobivamo operacije koje se ciklički ponavljaju sa sljedećim osnovnim pokazateljima: RE=4 dana. jedinica, PE=7 novčanih jedinica, T op =7 sati (slika 6).

Slika 6. Proces oblikovanja ciljanog proizvoda za prvu kontrolu

Kako se odvija proces postizanja cilja? Gornji lijevi pravokutnik je procjena troškova resursa operacije. Imamo 10 novčanih jedinica takvih sredstava. Budući da operacija zahtijeva resurse od 4 novčane jedinice, ovaj iznos resursa se prenosi za provedbu prve operacije, što je označeno strelicom broj 1.

Operacija traje 7 sati, a mi smo pretpostavili da je vrijednost proizvoda operacije 7 jedinica. Budući da druga operacija opet zahtijeva četiri jedinice resursa, preostale tri se prebacuju u skladište ciljanog proizvoda.

U ciklusu izvodimo tri operacije, nakon kojih možemo odrediti apsolutnu vrijednost ciljanog proizvoda operacije. Ovo je jedinica od 16 den. nakon 21 sata rada.

Sada mijenjamo kontrolu i dobivamo ciklus operacija s novim osnovnim pokazateljima: RE=5 den. jedinice, PE=7 novčanih jedinica, vrh=3 sata (slika 7).

Slika 7. Proces oblikovanja ciljnog proizvoda za drugu kontrolu

Povećanje ciljanog proizvoda tijekom jedne operacije ovdje je manje - 2 novčane jedinice. Međutim, vrijeme operacije također je kraće. Kao što vidite, do kraja posljednje operacije, nakon 21 sata, dobit ćemo 19 novčanih jedinica. ciljni proizvod.

Odnosno, ako imamo samo dvije mogućnosti za provođenje operacija, onda je druga opcija poželjnija. Stoga je upravljanje prema drugoj opciji optimalno upravljanje.

Postavlja se pitanje: "Kako, bez izvođenja operacija u ciklusu, možete odmah odrediti koja je operacija isplativija i, sukladno tome, odrediti parametre optimalne kontrole?"

To zahtijeva pokazatelj učinka koji se može koristiti kao kriterij optimizacije.

U ovom slučaju možete koristiti jednostavnu formulu učinkovitosti, koja je analitički izraz za izračun jednostavnih operacija. Ona je ta koja međusobno povezuje tri osnovna pokazatelja: vrednovanje ulaznih proizvoda operacije (RE), vrednovanje izlaznih proizvoda operacije (PE) i vrijeme operacije (T op). Ako učinkovitost označimo simbolom "E", tada će formula za izračun pokazatelja učinkovitosti izgledati ovako

gdje je T p jedinični vremenski interval čija se potreba za korištenjem razmatra u teoriji učinkovitosti.

Zamjenom vrijednosti osnovnih pokazatelja operacija u formulu učinkovitosti, dobivamo vrijednost E = 0,00656 za prvu operaciju i E = 0,0127 za drugu operaciju.

Kao što vidimo, pokazatelj učinkovitosti odmah je pokazao da je druga vrsta operacija poželjnija od operacija prve vrste. Stoga je navedeni pokazatelj kriterij optimizacije.

Slika 8 pokazuje kako se učinkovitost mijenja s promjenama u kontroli. Parametri koji odgovaraju maksimalnoj učinkovitosti označeni su crvenom bojom.

Slika 8. Proces oblikovanja ciljanog proizvoda za drugu kontrolu

Sada, zapravo, možemo odgovoriti na pitanje što je optimalna kontrola.
Optimalno upravljanje je proces koji osigurava maksimiziranje ciljanog proizvoda tijekom cikličkog izvođenja operacija sustava.
Izbor takve kontrole osigurava kriterij optimizacije.

Kao što vidite, u proizvodnim sustavima moguće je postići optimalni način rada na temelju apsolutni pokazatelj– maksimalno povećanje financijskog potencijala, ali ovaj proces traje dosta vremena.

Može se činiti da se pitanje postizanja optimuma može riješiti bez optimizacijskog kriterija – matematičkim modeliranjem, korištenjem rezultata jedne operacije. Međutim, utjecaj pogrešaka senzora dovodi do vrlo velikih odstupanja od optimalne točke.

Na koje ste poteškoće naišli u razumijevanju gradiva? Pišite autoru.

Da bi se sagledao rad optimalnog sustava potrebno je učitati sam optimalni sustav sastavljen u EFFLY konstruktoru. Možete saznati kako poboljšati rad sustava.

Nakon klika na gumb "Start" otvara se list na kojem će se prikazati grafikoni za traženje optimuma sustava. Prva točka se pojavljuje za nekoliko minuta, jer je potrebno nekoliko operacija da bi se došlo do nje. Moramo malo pričekati.

ANOTACIJA

Ovaj priručnik predstavlja osnovne uvjete optimalnosti i metode rješavanja problema u varijacijskom računu i optimalnom upravljanju. Bit će koristan za pripremu i izvođenje praktične nastave na dijelu “Optimalno upravljanje”, kao i za studente koji rade domaću zadaću na ovu temu.

Tutorial je elektronička verzija knjige:
Optimalno upravljanje u primjerima i problemima. Sotskov A.I., Kolesnik G.V. - M.: Ruska ekonomska škola, 2002. - 58 str.

Predgovor

1. Najjednostavniji problem u varijacijskom računu.
Eulerova jednadžba
Primjeri
Vježbe

2. Problem optimalnog upravljanja. Načelo maksimuma
Primjeri
Vježbe

3. Fazna ograničenja u problemu optimalnog upravljanja
Primjeri
Vježbe

4. Dinamičko programiranje i Bellmanova jednadžba
Primjeri
Vježbe

Književnost

Predgovor

Teorija optimalnog upravljanja jedan je od odjeljaka kolegija “Matematika za ekonomiste” koji se predaje na Ruskoj školi ekonomije.
Iskustvo podučavanja pokazuje da je ovaj dio jedan od najtežih za svladavanje. To je prije svega zbog konceptualnih razlika između problema optimalnog upravljanja koji se u njemu proučavaju i konačnodimenzionalnih optimizacijskih problema, te, kao posljedica toga, značajnog kompliciranja uvjeta optimalnosti koji se u njima koriste.
U tom smislu, čini se korisnim dati jasnu ilustraciju primjene ovih uvjeta optimalnosti na rješavanje problema različitih vrsta. Ovaj priručnik je pokušaj pružanja takve ilustracije. Sadrži primjere i probleme na četiri teme:
. varijacijski račun;
. princip maksimuma u problemima bez ograničenja;
. načelo maksimuma u prisutnosti faznih ograničenja;
. dinamičko programiranje.
Svaki dio sastoji se od teorijskog dijela koji opisuje osnovne pojmove i rezultate koji se koriste pri rješavanju odgovarajućih problema, primjere s rješenjima, kao i zadatke za samostalan rad studenata.
Treba naglasiti da ovaj priručnik ni u kom slučaju nije teorijski tečaj, već je usmjeren prvenstveno na praktičnu primjenu metoda optimalnog upravljanja. Kao teoretski vodič za ovaj odjeljak možemo preporučiti, na primjer, knjigu.
Prema mišljenju autora, ovaj će priručnik biti koristan nastavnicima prilikom pripreme i izvođenja praktične nastave iz odjeljka „Optimalno upravljanje“, kao i studentima prilikom izrade domaćih zadaća na ovu temu.

Elektronska verzija knjige: [Preuzimanje, PDF, 633,8 KB].

Za pregled knjige u PDF formatu potreban vam je Adobe Acrobat Reader čiju novu verziju možete besplatno preuzeti s Adobe web stranice.

Optimalna kontrola

Andrej Aleksandrovič Agračev

U ljudskoj je prirodi težiti savršenstvu. U matematici se očituje u traženju najboljih (optimalnih) rješenja, uključujući sve maksimalne i minimalne probleme. Teorija optimalne kontrole uključuje one gdje rješenje ima neki opseg u vremenu ili prostoru. Prikladna slika prikazuje najbolju stazu kada se krećete kroz vrlo neravan teren.

Općenito, matematičari, kao i svi ljudi, jako vole vizualne slike, ali u stvarnosti govorimo o bilo kojem sustavu koji se može kontinuirano mijenjati unutar određenih granica, kao što mijenjamo smjer kretanja kada postavljamo stazu. ostalo prikladni primjeri: upravljanje automobilom, zrakoplovom, tehnološkim procesom, svojim tijelom, na kraju.

Potrebno je najbolje prevesti sustav iz zadanog stanja u željeno: što je moguće brže, ili najekonomičniji način, ili uz najveću korist, ili prema nekom složenijem kriteriju; sami odlučujemo što je važnije. Ako je neposredna reakcija sustava na naše akcije dobro poznata, onda je teorija optimalne kontrole dizajnirana da nam pomogne pronaći najbolju dugoročnu strategiju. Evo jednostavnog primjera: morate zaustaviti oscilacije što je brže moguće (recimo, zaustaviti "ljuljanje"), primjenjujući svoju malu silu prvo na jednu, zatim na drugu stranu. Morat ćete se pomaknuti s jedne strane na drugu mnogo puta. Koje je pravilo za to? Jasno je da “ljuljačka” može biti financijska, ekonomska i fizičko-tehnička...

Vrijedno je napomenuti da su tako očito primijenjeni predmet kao što je teorija optimalne kontrole stvorili na Steklovljevom matematičkom institutu čisti matematičari, Lev Semjonovič Pontrjagin i njegovi učenici, profesionalni topolozi. Prve impresivne primjene ove teorije koje su joj donijele slavu bile su u sovjetskom svemirskom programu i američkom programu Apollo. U tim programima sve je rađeno do krajnjih granica mogućnosti, a bez pametne optimizacije nije se moglo nositi. Među zadacima koji su bili popularni u to vrijeme, može se primijetiti najekonomičniji prijenos svemirske letjelice iz jedne eliptične orbite u drugu i meko slijetanje na Mjesec. Glavno postignuće tog razdoblja bilo je Pontryaginovo načelo maksimuma - moćan univerzalni alat koji vam omogućuje odabir prilično uske klase strategija upravljanja, među kojima može biti samo optimalna.

Pontrjaginov princip maksimuma posebno je dobar kada se primijeni na jednostavne "linearne" modele, ali gubi svoju učinkovitost i mora se nadopuniti drugim sredstvima kada se proučavaju sustavi sa složenijom nelinearnom strukturom. Vratimo se primjeru ljuljačke. Ako je amplituda titranja mala, tada je sustav gotovo linearan i period osciliranja gotovo ne ovisi o amplitudi. Načelo maksimuma daje jednostavan i nedvosmislen zakon optimalnog ponašanja za linearnu aproksimaciju: trebate se pomaknuti s jedne strane na drugu točno nakon pola perioda i svaki put upotrijebiti najveću moguću silu. Istodobno, pri velikoj amplitudi, kada je sustav značajno nelinearan, preporuke principa maksimuma postaju jako komplicirane i prestaju biti jednoznačne.

Nova pravila optimalnog ponašanja, koja nadopunjuju načelo maksimuma, donosi geometrijska teorija upravljanja koja se trenutno aktivno razvija. Činjenica je da vam moderna geometrija omogućuje znatno proširenje mogućnosti upravljanja, igrajući se s redoslijedom i trajanjem primjene nekoliko jednostavnih manevara, odabirom optimalnih "skladnih" kombinacija manevara, od kojih je rezultat svakog dobro poznat i prilično banalan. To je slično kao što je simfonija sastavljena od nekoliko nota, samo što je u matematici sve preciznije, strože i simetričnije, iako ne toliko emotivno.

Geometrijska teorija upravljanja koristi se u svemirskoj navigaciji, robotici i mnogim drugim područjima, no možda su najpopularnije moderne primjene u kvantnim sustavima (od medicinskih uređaja za nuklearnu magnetsku rezonanciju do kemijske manipulacije pojedinačnim molekulama). Čar geometrijske teorije upravljanja leži, između ostalog, u rijetkoj prilici da se materijaliziraju, vide i “dotaknu” lijepi i duboki apstraktni matematički koncepti, i naravno, stvore novi!

Književnost

Tihomirov V. M. Priče o usponima i padovima. - M.: Nauka, 1986. - (Biblioteka “Quantum”; broj 56). — [Reprinti: M.: MTsNMO, 2006, 2017].

Protasov V.Yu. Maksimumi i minimumi u geometriji. - M.: MTsNMO, 2012. - (Biblioteka “Matematičko obrazovanje”; broj 31).

Optimalna kontrola tehnološki procesi(Predavanje)

PLAN PREDAVANJA

1. Osnovni pojmovi nalaženja ekstremuma funkcije

2. Klasifikacija metoda optimalnog upravljanja

1. Osnovni pojmovi nalaženja ekstremuma funkcije

Bilo koja matematička formulacija optimalnog problema često je ravna ili ekvivalentna problemu pronalaženja ekstrema funkcije jedne ili više nezavisnih varijabli. Stoga se za rješavanje takvih optimalnih problema može koristiti razne metode traženje ekstrema.

Općenito, problem optimizacije je formuliran na sljedeći način:

Pronađite ekstrat funkcije R (x), gdje je XX

R (x) – naziva se funkcija cilja ili funkcija ili kriterij optimizacije ili optimizirana funkcija

X je nezavisna varijabla.

Kao što je poznato, potrebni uvjeti za postojanje ekstrema kontinuirane funkcije R (x) mogu se dobiti iz analize prve derivacije. U ovom slučaju, funkcija R (x) može imati ekstremne vrijednosti za takve vrijednosti nezavisne varijable X, gdje je prvi izvod jednak 0. tj. =0. Grafički, ako je izvod nula, to znači da je tangenta na krivulju R(x) u ovoj točki paralelna s apscisom.

Derivacija =0 je jednaka nužan uvjet ekstremno.

Međutim, jednakost derivacije nuli ne znači da u ovoj točki postoji ekstrem. Kako bismo se konačno uvjerili da u ovoj točki doista postoji ekstrem, potrebno je provesti dodatna istraživanja koja se sastoje od sljedećih metoda:

1. Metoda usporedbe vrijednosti funkcije

Vrijednost funkcije R (x) u "sumnjivoj" točki ekstrema X K uspoređuje se s dvije susjedne vrijednosti funkcije R (x) u točkama X K-ε i X K+ε, gdje je ε mali pozitivna vrijednost. (slika 2)

Ako se obje izračunate vrijednosti R (X K+ε) i R (X K-ε) pokažu manjim ili većim od R (X K), tada u točki X K postoji maksimum ili minimum funkcije R (x).

Ako R (X K) ima srednju vrijednost između R (X K-ε) i R (X K+ε), tada funkcija R (x) nema ni maksimum ni minimum.

2. Metoda usporedbe predznaka derivacija

Promotrimo ponovno funkciju R (X K) u blizini točke X K, tj. X K+ε i X K-ε. Ovom metodom razmatra se predznak derivacije u blizini točke X K. Ako su predznaci derivacije u točkama X K-ε i X K + ε različiti, tada postoji ekstrem u točki X K. U ovom slučaju, vrsta ekstrema (min ili max) može se pronaći promjenom predznaka derivacije pri pomicanju od točke X K-ε do točke X K+ε.

Ako se znak promijeni iz "+" u "-", tada je u točki X K maksimum (slika 3b), ako je suprotno od "-" u "+", tada postoji minimum. (Sl. 3a)

3. Metoda proučavanja predznaka viših derivacija.

Ova metoda se koristi u slučajevima kada u "sumnjivoj" točki ekstremuma postoje derivacije viših redova, tj. funkcija R (X K) ne samo da je sama kontinuirana, već ima i kontinuirane izvodnice i .

Metoda se svodi na sljedeće:

U točki X K“osumnjičen” do krajnosti, za što je istina

izračunava se vrijednost druge derivacije.

Ako u isto vrijeme , tada je u točki X K maksimum,

Ako , tada je u točki X K minimum.

Pri rješavanju praktičnih problema optimizacije potrebno je pronaći ne neku minimalnu ili maksimalnu vrijednost funkcije R (X K), već najveću ili najmanju vrijednost te funkcije, što se naziva globalni ekstrem. (Sl. 4)

U općem slučaju, problem optimizacije sastoji se od pronalaženja ekstremuma funkcije R (X), uz prisutnost određenih ograničenja na jednadžbe matematičkog modela.

Ako je R (X) linearan, a područje mogućih rješenja određeno linearnim jednakostima i nejednadžbama, tada problem pronalaženja ekstrema funkcije pripada klasi problema linearnog programiranja.

Često se skup X definira kao sustav funkcija

Tada matematička izjava problema linearnog programiranja izgleda ovako:

Ako ciljna funkcija R (X) ili bilo koje od ograničenja nije linearna funkcija, tada zadatak pronalaženja ekstrema funkcije R (X) pripada klasi problema nelinearnog programiranja.

Ako nema ograničenja na varijable X, tada se takav problem naziva problem bezuvjetnog ekstremuma.

Primjer tipičnog problema optimizacije

Problem oko kutije maksimalnog volumena.

Iz ovog obrasca treba izrezati četiri jednaka kvadrata na kutovima, a dobivenu figuru (Sl. 5 b) treba saviti tako da oblikuje kutiju bez gornjeg poklopca (Sl. 6.5 c). u ovom slučaju, potrebno je odabrati veličinu izrezanih kvadrata tako da dobijete kutiju maksimalnog volumena.

Koristeći ovaj problem kao primjer, možemo ilustrirati sve elemente postavljanja optimizacijskih problema.

Riža. 5. Shema za izradu kutije od pravokutnog obrasca fiksne veličine

Funkcija evaluacije u ovom problemu je volumen proizvedene kutije. Problem je odabrati veličinu kvadrata za izrezivanje. Doista, ako je veličina izrezanih kvadrata premala, tada će se dobiti široka kutija male visine, što znači da će volumen biti mali. S druge strane, ako je veličina izrezanih kvadrata prevelika, tada će se dobiti uska kutija velike visine, što znači da će i njen volumen biti mali.

Istodobno, na izbor veličine izrezanih kvadrata utječe ograničenje veličine izvornog obratka. Doista, ako izrežete kvadrate sa stranicom koja je jednaka polovici stranice izvornog obratka, zadatak postaje besmislen. Stranica izrezanih kvadrata također ne smije prelaziti polovicu stranica originalnog izratka, budući da je to nemoguće iz praktičnih razloga. Iz ovoga slijedi da formulacija ovog problema mora sadržavati neka ograničenja.

Matematička formulacija problema kutije maksimalnog volumena. Da bi se ovaj problem matematički formulirao, potrebno je uvesti u razmatranje neke parametre koji karakteriziraju geometrijske dimenzije kutije. U tu svrhu dopunit ćemo sadržajnu formulaciju problema odgovarajućim parametrima. U tu svrhu razmotrit ćemo kvadratnu izrezku izrađenu od nekog fleksibilnog materijala, koja ima stranicu duljine L (slika 6). Iz ove praznine trebali biste izrezati četiri jednaka kvadrata sa stranom u uglovima i saviti dobivenu figuru tako da dobijete kutiju bez gornjeg poklopca. Zadatak je odabrati veličinu izrezanih kvadrata tako da rezultat bude kutija maksimalnog volumena.

Riža. 6. Dijagram izrade pravokutnog obrasca s naznačenim dimenzijama

Da bi se ovaj problem matematički formulirao, potrebno je odrediti varijable odgovarajućeg optimizacijskog problema, postaviti funkciju cilja i specificirati ograničenja. Kao varijablu treba uzeti duljinu stranice izrezanog kvadrata r, koja u općem slučaju, na temelju smislene formulacije problema, poprima kontinuirane realne vrijednosti. Funkcija cilja je volumen rezultirajuće kutije. Budući da je duljina stranice baze kutije jednaka: L - 2r, a visina kutije jednaka r, tada se njen volumen nalazi po formuli: V (r) = (L -2r) 2 r. Na temelju fizičkih razmatranja, vrijednosti varijable r ne mogu biti negativne i prelaziti polovicu veličine izvornog obratka L, tj. 0,5L.

Za vrijednosti r = 0 i r = 0,5 L izražena su odgovarajuća rješenja problema kutije. Doista, u prvom slučaju obradak ostaje nepromijenjen, ali u drugom slučaju izrezan je na 4 identična dijela. Budući da ova rješenja imaju fizičku interpretaciju, problem kutije, radi praktičnosti njegove formulacije i analize, može se smatrati optimizacijom s ograničenjima kao što su nestriktne nejednakosti.

U svrhu unifikacije varijablu označavamo s x = r, što ne utječe na prirodu optimizacijskog problema koji se rješava. Tada se matematička formulacija problema kutije maksimalnog volumena može napisati u sljedećem obliku:

gdje (1)

Ciljna funkcija ovog problema je nelinearna, pa problem okvira maksimalne veličine pripada klasi nelinearnog programiranja ili problema nelinearne optimizacije.

2. Klasifikacija metoda optimalnog upravljanja

Optimizacija procesa sastoji se od pronalaženja optimuma funkcije koja se razmatra ili optimalnih uvjeta za izvođenje tog procesa.

Za procjenu optimuma, prije svega, potrebno je odabrati kriterij optimizacije. Obično se kriterij optimizacije odabire iz specifičnih uvjeta. To može biti tehnološki kriterij (na primjer, sadržaj Cu u odlagališnoj troski) ili ekonomski kriterij (minimalni trošak proizvoda pri određenoj produktivnosti rada), itd. Na temelju odabranog kriterija optimizacije sastavlja se funkcija cilja koja predstavlja ovisnost kriterija optimizacije o parametrima koji utječu na njegovu vrijednost. Problem optimizacije svodi se na pronalaženje ekstrema funkcije cilja. Ovisno o prirodi pitanja koja se razmatraju matematički modeli Usvojene su različite matematičke metode optimizacije.

Opća formulacija problema optimizacije je sljedeća:

1. Odaberite kriterij

2. Sastavlja se jednadžba modela

3. Nametnut je sustav ograničenja

4. Rješenje

model - linearni ili nelinearni

Ograničenja

Ovisno o strukturi modela, koriste se različite metode optimizacije. To uključuje:

1. Analitičke optimizacijske metode (analitičko traženje ekstrema, Lagrangeova metoda multiplikatora, Varijacijske metode)

2. Matematičko programiranje (linearno programiranje, dinamičko programiranje)

3. Metode gradijenta.

4. Statističke metode (Regresijska analiza)

Linearno programiranje. U problemima linearnog programiranja, kriterij optimalnosti je predstavljen kao:

gdje su dani konstantni koeficijenti; Varijable zadatka.

Jednadžbe modela su linearne jednadžbe (polinomi) oblika koji podliježu ograničenjima u vidu jednakosti ili nejednakosti, tj. (2)

U problemima linearnog programiranja obično se pretpostavlja da su sve nezavisne varijable X j nenegativne, tj.

Optimalno rješenje problema linearnog programiranja je takav skup nenegativnih vrijednosti nezavisnih varijabli

Koji zadovoljava uvjete (2) i daje, ovisno o formulaciji problema, maksimalnu ili minimalnu vrijednost kriterija.

Geometrijska interpretacija je: - kriterij u prisutnosti ograničenja na varijable X 1 i X 2 tipa jednakosti i nejednakosti

R ima konstantnu vrijednost duž linije l. Optimalno rješenje bit će u točki S, jer u ovom trenutku kriterij će biti max.Jedna od metoda za rješavanje optimizacijskog problema linearnog programiranja je simpleks metoda.

Nelinearno programiranje. Matematička formulacija problema nelinearnog programiranja je sljedeća: Nađite ekstrem funkcije cilja , koji ima oblik nelinearnosti.

Nezavisnim varijablama nameću se različita ograničenja poput jednakosti ili nejednakosti

Trenutno se koristi prilično velik broj metoda za rješavanje problema nelinearnog programiranja.

To uključuje: 1) Metode gradijenta (metoda gradijenta, metoda najvećeg spuštanja, metoda slike, Rosenbrockova metoda itd.)

2) Metode bez gradijenta (Gauss-Seidel metoda, metoda skeniranja).

Gradijentne metode optimizacije

Ove metode spadaju u numeričke metode tipa pretraživanja. Bit ovih metoda je određivanje vrijednosti neovisnih varijabli koje daju najveću (najmanju) promjenu funkcije cilja. To se obično postiže pomicanjem duž gradijenta okomitog na površinu konture u danoj točki.

Razmotrimo metodu gradijenta. Ova metoda koristi gradijent funkcije cilja. U gradijentnoj metodi poduzimaju se koraci u smjeru najbržeg pada funkcije cilja.

Riža. 8. Pronalaženje minimuma metodom gradijenta

Potraga za optimumom provodi se u dvije faze:

Faza 1: - pronaći vrijednosti parcijalnih derivacija za sve nezavisne varijable koje određuju smjer gradijenta u dotičnoj točki.

Faza 2: - korak se pravi u smjeru suprotnom od smjera gradijenta, tj. u smjeru najbržeg pada funkcije cilja.

Algoritam metode gradijenta može se napisati na sljedeći način:

(3)

Priroda kretanja do optimuma metodom najstrmijeg spuštanja je sljedeća (sl. 6.9), nakon što se gradijent optimizirane funkcije pronađe u početnoj točki i time odredi smjer njegovog najbržeg pada u navedenoj točki, u tom se smjeru izvodi silazni korak. Ako se vrijednost funkcije smanji kao rezultat ovog koraka, tada se poduzima još jedan korak u istom smjeru, i tako dalje dok se ne pronađe minimum u tom smjeru, nakon čega se ponovno izračunava gradijent i novi smjer najbržeg utvrđuje se pad funkcije cilja.

Bezgradijentne metode za traženje ekstrema. Ove metode, za razliku od gradijentnih metoda, koriste u procesu pretraživanja informacije dobivene ne analizom izvedenica, već komparativnom procjenom vrijednosti kriterija optimalnosti kao rezultatom izvođenja sljedećeg koraka.

Metode bez gradijenta za traženje ekstrema uključuju:

1. metoda zlatnog reza

2. metoda pomoću Fibonium brojeva

3. Gaus-Seidel metoda (metoda dobivanja promjene varijable)

4. metoda skeniranja itd.