Teoria optimizării. Ce metode de optimizare există? Metode de optimizare a deciziilor de management. Optimizarea fiscală: metode

Parametri pentru o anumită structură a obiectului, apoi este numită optimizare parametrică. Problema alegerii structurii optime este optimizare structurală.

O problemă standard de optimizare matematică este formulată după cum urmează. Dintre elementele χ care formează mulțimile Χ, găsiți un element χ * care furnizează valoarea minimă f(χ *) a funcției date f(χ). Pentru a formula corect problema de optimizare, este necesar să setați:

1. Set admisibil- o multime de $\backslash mathbb(X)=\backslash (\backslash vec(x)|\backslash ;g\_i(\backslash vec(x))\backslash leq\; 0,\backslash ;i=1,\backslash ldots,m\backslash )\; \backslash subset\; \backslash mathbb(R)^n$;
2. Funcția țintă- afișaj $f:\backslash ;\backslash mathbb(X)\backslash la\backslash mathbb(R)$;
3. Criteriu de cautare(max sau min).

Apoi rezolvă problema $f(x)\backslash la\; \backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathrm(X))$înseamnă unul dintre:

1. Arata ce $\backslash mathbb(X)=\backslash varnothing$.
2. Arătaţi că funcţia obiectiv $f(\backslash vec(x))$ nelimitat de jos.
3. Găsi $\backslash vec(x)^*\backslash in\backslash mathbb(X):\backslash ;f(\backslash vec(x)^*)=\backslash min\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x)\; ))$.
4. Dacă $\backslash nexistă\; \backslash vec(x)^*$, apoi găsiți $\backslash inf\_(\backslash vec(x)\backslash in\backslash mathbb(X))f(\backslash vec(x))$.

Dacă funcția minimizată nu este convexă, atunci se limitează adesea la căutarea minimelor și maximelor locale: puncte $x\_0$ astfel încât peste tot în unele din cartierele lor $f(x)\backslash ge\; f(x\_0)$ pentru minim şi $f(x)\backslash le\; f(x\_0)$ pentru maxim.

Dacă un set admisibil $\backslash mathbb(X)=\backslash mathbb(R)^n$, atunci se numește o astfel de problemă problemă de optimizare neconstrânsă, in caz contrar - problema de optimizare restrânsă.

Clasificarea metodelor de optimizare

Înregistrarea generală a problemelor de optimizare specifică mare varietate clasele lor. Alegerea metodei (eficacitatea soluției sale) depinde de clasa problemei. Clasificarea problemelor este determinată de: funcția țintă și regiunea fezabilă (stabilită printr-un sistem de inegalități și egalități sau un algoritm mai complex).

Metodele de optimizare sunt clasificate în funcție de problemele de optimizare:

• Metode locale: converg către un extremum local al funcției obiectiv. În cazul unei funcții obiectiv unimodale, acest extremum este unic și va fi maximul/minimul global.
• Metode globale: se ocupă de funcții obiective multi-extreme. În căutarea globală, sarcina principală este identificarea tendințelor în comportamentul global al funcției obiective.

Metodele de căutare existente în prezent pot fi împărțite în trei grupuri mari:

1. determinat;
2. aleatoriu (stochastic);
3. combinate.

După criteriul dimensiunii mulțimii admisibile, metodele de optimizare sunt împărțite în metode optimizare unidimensională si metode optimizare multidimensională.

Pe baza tipului de funcție obiectiv și a setului admisibil, problemele de optimizare și metodele de rezolvare a acestora pot fi împărțite în următoarele clase:

• Probleme de optimizare în care funcţionează obiectivul $f(\backslash vec(x))$ si restrictii $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;\; i=1,\backslash ldots,m$ sunt funcții liniare, rezolvate prin așa-numitele metode programare liniară.
• În caz contrar, ocupă-te de sarcină programare neliniarăși să aplice metode adecvate. La rândul lor, două sarcini particulare se disting de acestea:
  • Dacă $f(\backslash vec(x))$Și $g\_i(\backslash vec(x)),\backslash ;i=1,\backslash ldots,m$ sunt funcții convexe, atunci o astfel de problemă se numește problemă programare convexă;
  • Dacă $\backslash mathbb(X)\backslash subset\; \backslash mathbb(Z)$, apoi rezolvați problema programare cu numere întregi (discrete)..

În conformitate cu cerințele pentru netezime și prezența derivatelor parțiale în funcția obiectiv, acestea pot fi, de asemenea, împărțite în:

• metode directe care necesită doar calcule ale funcției obiectiv la puncte de aproximare;
• metode de ordinul întâi: necesită calculul primelor derivate parțiale ale unei funcții;
• Metode de ordinul doi: necesită calculul derivatelor parțiale secunde, adică Hessianul funcției obiectiv.

În plus, metodele de optimizare sunt împărțite în următoarele grupuri:

• metode analitice (de exemplu, metoda multiplicatorului Lagrange și condițiile Karush-Kuhn-Tucker);

În funcție de natura setului X Problemele de programare matematică sunt clasificate astfel:

• probleme de programare discretă (sau optimizare combinatorie) – dacă X finit sau numărabil;
• probleme de programare cu numere întregi - dacă X este o submulțime a mulțimii numerelor întregi;
• probleme de programare neliniară dacă constrângerile sau funcția obiectiv conțin funcții neliniare și X este o submulțime a unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite.
• Dacă toate constrângerile și funcția obiectiv conțin numai funcții liniare, atunci aceasta este o problemă de programare liniară.

În plus, ramurile programării matematice sunt programarea parametrică, programarea dinamică și programarea stocastică.

Programarea matematică este utilizată în rezolvarea problemelor de optimizare în cercetarea operațională.

Metoda de găsire a extremului este complet determinată de clasa problemei. Dar înainte de a obține un model matematic, trebuie să efectuați 4 etape de modelare:

• Determinarea limitelor sistemului de optimizare
  • Renunțăm la acele conexiuni între obiectul de optimizare și lumea exterioară care nu pot influența foarte mult rezultatul optimizării sau, mai exact, cele fără de care soluția este simplificată
• Selectarea variabilelor controlate
  • „Înghețăm” valorile unor variabile (variabile necontrolate). Îi lăsăm pe alții să accepte orice valori din gama de soluții fezabile (variabile controlate)
• Definirea restricțiilor asupra variabilelor controlate
  • … (egalități și/sau inegalități)
• Selectarea unui criteriu de optimizare numerică (de exemplu, un indicator de performanță)
  • Creați o funcție obiectivă

Poveste

În 1949, Kantorovich, împreună cu M.K. Gavurin, au dezvoltat metoda potențială, care este utilizată în rezolvarea problemelor de transport. În lucrările ulterioare ale lui Kantorovich, Nemchinov, V.V. Novozhilov, A.L. Lurie, A. Brudno, Aganbegyan, D.B. Yudin, E.G. Golshtein și alți matematicieni și economiști, aceștia au fost dezvoltati în continuare ca o teorie matematică a programării liniare și neliniare și aplicarea programării acesteia. metode pentru studiul diferitelor probleme economice.

Multe lucrări ale oamenilor de știință străini sunt dedicate metodelor de programare liniară. În 1941, F. L. Hitchcock a pus o problemă de transport. Principala metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară, metoda simplex, a fost publicată în 1949 de Danzig. Metodele de programare liniară și neliniară au fost dezvoltate în continuare în lucrările lui Kuhn ( Engleză), A. Tucker ( Engleză), Gass (Saul. I. Gass), Charnes (Charnes A.), Beale (E. M.), etc.

Concomitent cu dezvoltarea programării liniare, s-a acordat multă atenție problemelor de programare neliniară, în care fie funcția obiectiv, constrângerile, fie ambele sunt neliniare. În 1951, Kuhn și Tucker au publicat o lucrare care a furnizat condiții de optimitate necesare și suficiente pentru rezolvarea problemelor de programare neliniară. Această lucrare a servit drept bază pentru cercetările ulterioare în acest domeniu.

Din 1955, au fost publicate multe lucrări despre programarea pătratică (lucrări de Beal, Barankin și Dorfman R., Frank M. și Wolfe P., Markowitz etc.). Lucrările lui Dennis J. B., Rosen J. B. și Zontendijk G. au dezvoltat metode de gradient pentru rezolvarea problemelor de programare neliniară.

În prezent, pentru utilizarea eficientă a metodelor de programare matematică și rezolvarea problemelor pe computere, au fost dezvoltate limbaje de modelare algebrică, reprezentanți ai cărora sunt AMPL și LINGO.

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Optimizare (matematică)”

Note

Literatură

• Abakarov A. Sh., Sushkov Yu. A.. - Proceedings of FORA, 2004.
• Akulich I.L. Programare matematică în exemple și probleme: Proc. manual pentru studenți la economie. specialist. universități - M.: Liceu, 1986.
• Gill F., Murray W., Wright M. Optimizare practica. Pe. din engleza - M.: Mir, 1985.
• Girsanov I.V. Prelegeri despre teoria matematică a problemelor extreme. - M.; Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2003. - 118 p. - ISBN 5-93972-272-5.
• Zhiglyavsky A. A., Zhilinkas A. G. Metode de căutare a unui extremum global. - M.: Nauka, Fizmatlit, 1991.
• Karmanov V. G. Programare matematică. - Editura de Fizică și Matematică. literatură, 2004.
• Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. - M.: Știință, 1970. - P. 575-576.
• Korshunov Yu. M., Korshunov Yu. M. Bazele matematice ale ciberneticii. - M.: Energoatomizdat, 1972.
• Maksimov Yu. A., Fillipovskaya E. A. Algoritmi pentru rezolvarea problemelor de programare neliniară. - M.: MEPhI, 1982.
• Maksimov Yu. A. Algoritmi pentru programare liniară și discretă. - M.: MEPhI, 1980.
• Plotnikov A.D. Programare matematică = curs intensiv. - 2006. - P. 171. - ISBN 985-475-186-4.
• Rastrigin L. A. metode statistice căutare. - M., 1968.
• Hemdi A. Taha. Introduction to Operations Research = Operations Research: An Introduction. - Ed. a 8-a. - M.: Williams, 2007. - P. 912. - ISBN 0-13-032374-8.
• Keeney R.L., Raifa H. Luarea deciziilor pe criterii multiple: preferințe și substituții. - M.: Radio și Comunicații, 1981. - 560 p.
• S.I.Zukhovitsky, L.I.Avdeeva. Programare liniară și convexă. - Ed. a II-a, revizuită. și suplimentare.. - M.: Editura „Nauka”, 1967.
• A.A. Bolonkin. Noi metode de optimizare și aplicarea lor. Scurte note de prelegere la cursul „Teoria sistemelor optime”.. - M.: Şcoala tehnică superioară Bauman Moscova, 1972, 220 p. viXra.org/abs/1503.0081.

Legături

• B.P. Pol.// Lucrările celui de-al XIV-lea seminar-școală Baikal „Metode de optimizare și aplicațiile lor”. - 2008. - T. 1. - P. 2-20.
• .

Metode optimizare Unidimensional Metode directe Prima comanda A doua comanda Stochastic Metode liniare programare Metode neliniare programare

Un fragment care caracterizează Optimizarea (matematică)

Prințul Andrei l-a condus pe Pierre la jumătatea lui, care îl aștepta mereu în ordine perfectă în casa tatălui său, iar el însuși a mers la creșă.
„Să mergem la sora mea”, a spus prințul Andrei, întorcându-se la Pierre; - Nu am văzut-o încă, acum se ascunde și stă cu poporul lui Dumnezeu. Îi servește dreptatea, ea va fi stânjenită și vei vedea poporul lui Dumnezeu. C "est curieux, ma parole. [Acest lucru este interesant, sincer.]
– Qu"est ce que c"est que [Ce sunt] poporul lui Dumnezeu? - a întrebat Pierre
- Dar vei vedea.
Prințesa Marya era cu adevărat jenată și s-a înroșit pe alocuri când au venit la ea. În camera ei confortabilă, cu lămpi în fața casetelor de icoane, pe canapea, la samovar, stătea lângă ea un băiețel cu nasul lung și părul lung și în halat monahal.
Pe un scaun din apropiere stătea o bătrână șifonată și subțire, cu o expresie blândă pe chipul ei copilăresc.
„Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrei, de ce nu m-ai avertizat?]", a spus ea cu reproș blând, stând în fața rătăcitorilor ei, ca o găină în fața găinilor.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Foarte bucuros să te văd. „Sunt atât de încântată că te văd”, îi spuse ea lui Pierre, în timp ce el îi săruta mâna. L-a cunoscut de mic, iar acum prietenia lui cu Andrei, ghinionul lui cu soția lui și, cel mai important, chipul lui amabil și simplu i-au făcut drag. Ea s-a uitat la el cu ochii ei frumoși și strălucitori și a părut să spună: „Te iubesc foarte mult, dar te rog să nu râzi de ai mei”. După ce au schimbat primele fraze de salut, s-au așezat.
„Oh, și Ivanushka este aici”, a spus prințul Andrei, arătând cu un zâmbet către tânărul rătăcitor.
— Andre! - spuse prințesa Marya rugător.
„Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Să știi că aceasta este o femeie”, i-a spus Andrei lui Pierre.
– Andre, au nom de Dieu! [Andrey, pentru numele lui Dumnezeu!] – a repetat Prințesa Marya.
Era clar că atitudinea batjocoritoare a Prințului Andrei față de rătăcitori și mijlocirea inutilă a Prințesei Maria în numele lor erau relații familiare, stabilite între ei.
„Mais, ma bonne amie”, a spus prințul Andrei, „vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intime avec ce jeune homme... [Dar, prietene, ar trebui să-mi fii recunoscător. că îi explic lui Pierre apropierea ta față de acest tânăr.]
- Vraiment? [Chiar?] - a spus Pierre curios și serios (pentru care Prințesa Marya i-a fost deosebit de recunoscătoare) privind prin ochelari în fața lui Ivanushka, care, dându-și seama că vorbesc despre el, privea pe toți cu ochi vicleni.
Prințesa Marya a fost complet în zadar să fie jenată pentru propriul ei popor. Nu erau deloc timizi. Bătrâna, cu ochii în jos, dar privind pieziș la cei care intrau, întoarsese ceașca cu susul în jos pe o farfurie și pusese lângă ea o bucată de zahăr mușcată, stătea calmă și nemișcată pe scaun, așteptând să i se ofere mai mult ceai. . Ivanushka, bând dintr-o farfurie, privea tinerii de sub sprâncene cu ochi vicleni și feminini.
– Unde ai fost, la Kiev? – a întrebat prințul Andrei pe bătrână.
„A fost, părinte”, a răspuns bătrâna cu vorbă, „de Crăciun însuși, am fost onorat cu sfinții să comunic secretele sfinte, cerești.” Și acum de la Kolyazin, părinte, s-a deschis un mare har...
- Ei bine, Ivanushka este cu tine?
— Mă duc singur, susținătorul de familie, spuse Ivanushka, încercând să vorbească cu o voce profundă. - Numai în Yukhnov ne-am înțeles Pelageyushka și cu mine...
Pelagia îl întrerupse pe tovarăşul ei; Evident, a vrut să spună ce a văzut.
- În Kolyazin, părinte, s-a dezvăluit un mare har.
- Ei bine, relicvele sunt noi? – a întrebat prințul Andrei.
— E suficient, Andrey, spuse prințesa Marya. - Nu-mi spune, Pelageyushka.
„Nu... ce spui, mamă, de ce să nu-mi spui?” Îl iubesc. Este bun, favorizat de Dumnezeu, el, binefăcător, mi-a dat ruble, îmi amintesc. Cum am fost la Kiev și mi-a spus sfântul prost Kiryusha - un adevărat om al lui Dumnezeu, el merge desculț iarna și vara. De ce te plimbi, spune el, nu în locul tău, mergi la Kolyazin, există o icoană făcătoare de minuni, s-a descoperit Maica Preasfintei Maicii Domnului. Din acele cuvinte mi-am luat rămas bun de la sfinți și am plecat...
Toți tăceau, un pribeag vorbea cu o voce măsurată, trăgând în aer.
„Tatăl meu, oamenii au venit și mi-au spus: mare har s-a descoperit, Maica Preasfintei Maicii Domnului îi picură mir din obraz...
— Bine, bine, îmi vei spune mai târziu, spuse prințesa Marya roșind.
— Lasă-mă să o întreb, spuse Pierre. - Ai văzut tu însuți? - el a intrebat.
- De ce, părinte, tu însuți ai fost onorat. Există o astfel de strălucire pe față, ca o lumină cerească, și din obrazul mamei mele tot picură și picură...
— Dar aceasta este o înșelăciune, spuse naiv Pierre, care l-a ascultat cu atenție pe rătăcitor.
- O, părinte, ce spui! - spuse Pelageyushka cu groază, întorcându-se către Prințesa Marya pentru protecție.
„Ei înșală oamenii”, a repetat el.
- Doamne Iisuse Hristoase! – spuse rătăcitorul făcându-și cruce. - O, nu-mi spune, tată. Așa că un anaral nu a crezut, a spus: „călugării înșală” și, după cum a spus, a orb. Și a visat că mama lui Pechersk a venit la el și i-a spus: „Aveți încredere în mine, vă voi vindeca”. Așa că a început să întrebe: ia-mă și du-mă la ea. Vă spun adevărul adevărat, l-am văzut și eu. L-au adus orb direct la ea, el s-a sus, a căzut și a zis: „Vindecă-te! „Îți voi da”, spune el, „ceea ce ți-a dat regele”. Eu însumi l-am văzut, tată, steaua era încorporată în ea. Ei bine, mi-am primit vederea! Este un păcat să spui asta. „Dumnezeu va pedepsi”, i se adresa ea instructiv lui Pierre.
- Cum a ajuns vedeta în imagine? întrebă Pierre.
- Ai făcut-o pe mama ta general? – spuse prințul Andrei zâmbind.
Pelagia păli brusc și își strânse mâinile.
- Tată, tată, este un păcat pentru tine, ai un fiu! – a vorbit ea, trecând brusc de la paloarea la culoarea strălucitoare.
- Părinte, ce ai spus? Dumnezeu să te ierte. - Și-a făcut cruce. - Doamne, iartă-l. Mamă, ce este asta?... se întoarse ea către Prințesa Marya. S-a ridicat și, aproape plângând, a început să-și împacheteze poșeta. Era evident atât speriată, cât și rușine că s-a bucurat de beneficii într-o casă în care se putea spune asta și era păcat că acum trebuia să fie lipsită de beneficiile acestei case.
- Păi, ce fel de vânătoare vrei? – spuse prințesa Marya. -De ce ai venit la mine?...
„Nu, glumesc, Pelageyushka”, a spus Pierre. - Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Princesa, am dreptate, nu am vrut sa o jignesc,] tocmai am facut asta. Să nu crezi că am glumit, spuse el, zâmbind timid și dorind să-și repare. - La urma urmei, eu sunt și el doar glumea.
Pelageyushka s-a oprit neîncrezător, dar chipul lui Pierre a arătat atâta sinceritate a pocăinței, iar prințul Andrei s-a uitat atât de blând mai întâi la Pelageyushka, apoi la Pierre, încât s-a calmat treptat.

Rătăcitorul s-a liniștit și, readus la conversație, a vorbit îndelung despre părintele Amfilohie, care era atât de sfânt al vieții, încât mâna lui mirosea a palmă și despre felul în care monahii pe care i-a cunoscut în ultima ei călătorie la Kiev i-au dat cheile peșterilor și cum ea, luând biscuiți cu ea, a petrecut două zile în peșteri cu sfinții. „Mă voi ruga unuia, voi citi, mă voi duce la altul. Voi lua un pin, voi merge și voi lua iar un sărut; și atâta tăcere, mamă, atâta har încât nici nu vrei să ieși în lumina lui Dumnezeu.”
Pierre a ascultat-o ​​cu atenție și seriozitate. Prințul Andrei a părăsit camera. Și după el, lăsând pe poporul lui Dumnezeu să-și termine ceaiul, prințesa Marya l-a condus pe Pierre în sufragerie.
„Ești foarte amabil”, i-a spus ea.
- Oh, chiar nu m-am gândit să o jignesc, înțeleg și prețuiesc foarte mult aceste sentimente!
Prințesa Marya s-a uitat în tăcere la el și a zâmbit tandru. „La urma urmei, te cunosc de mult timp și te iubesc ca pe un frate”, a spus ea. – Cum l-ai găsit pe Andrey? - întrebă ea grăbită, fără a-i lăsa timp să spună nimic ca răspuns la cuvintele ei amabile. - Mă îngrijorează foarte mult. Sănătatea lui este mai bună iarna, dar primăvara trecută rana s-a deschis, iar medicul a spus că ar trebui să meargă la tratament. Și moral îmi este foarte frică pentru el. El nu este tipul de caracter pe care noi, femeile, trebuie să suferim și să ne strigăm durerea. O poartă în sine. Astăzi este vesel și plin de viață; dar sosirea ta a avut un asemenea efect asupra lui: rareori este așa. Dacă ai putea să-l convingi să plece în străinătate! Are nevoie de activitate, iar această viață lină și liniștită îl ruinează. Alții nu observă, dar eu văd.
La ora 10 ospătarii s-au repezit spre pridvor, auzind apropiindu-se clopotele trăsurii bătrânului prinț. Prințul Andrei și Pierre au ieșit și ei pe verandă.
- Cine este aceasta? - a întrebat bătrânul prinț, coborând din trăsură și ghicindu-l pe Pierre.
– AI este foarte fericit! „Sărut”, a spus el, după ce a aflat cine era tânărul necunoscut.
Bătrânul prinț era bine dispus și l-a tratat pe Pierre cu amabilitate.
Înainte de cină, prințul Andrei, întorcându-se înapoi în biroul tatălui său, l-a găsit pe bătrânul prinț într-o ceartă aprinsă cu Pierre.
Pierre a susținut că va veni vremea când nu va mai fi război. Bătrânul prinț, tachinand, dar nu supărat, l-a provocat.
- Lasă sângele să iasă din vene, toarnă apă, atunci nu va fi război. „Prostii ale unei femei, prostii ale unei femei”, a spus el, dar totuși l-a bătut afectuos pe Pierre pe umăr și s-a dus la masa unde prințul Andrei, aparent că nu voia să se angajeze în conversație, sorta hârtiile pe care prințul le adusese de la oraș. Bătrânul prinț s-a apropiat de el și a început să vorbească despre afaceri.
- Liderul, contele Rostov, nu a eliberat jumătate din oameni. Am venit în oraș, am hotărât să-l invit la cină, - I-am dat o astfel de cină... Dar uite la asta... Ei, frate, - Prințul Nikolai Andreich se întoarse către fiul său, bătându-l pe Pierre pe umăr, - Bravo, prietene, l-am iubit! Mă concediază. Celălalt vorbește lucruri inteligente, dar eu nu vreau să ascult, dar mă minte și mă înflăcărează pe mine, un bătrân. Ei bine, du-te, du-te”, a spus el, „poate vin să stau la cina ta”. Mă voi certa din nou. Iubește-mă pe proasta, prințesa Marya, îi strigă el lui Pierre de la uşă.
Pierre abia acum, în vizita sa în Munții Cheli, a apreciat toată puterea și farmecul prieteniei sale cu Prințul Andrei. Acest farmec a fost exprimat nu atât în ​​relațiile cu el însuși, cât în ​​relațiile cu toate rudele și prietenii săi. Pierre, cu bătrânul și sever prinț și cu blânda și timida prințesă Marya, în ciuda faptului că abia îi cunoștea, s-a simțit imediat ca un vechi prieten. Toți îl iubeau deja. Nu numai prințesa Marya, mituită de atitudinea lui blândă față de străini, îl privea cu cea mai strălucitoare privire; dar micul prinț Nikolai, în vârstă de un an, așa cum îi spunea bunicul său, i-a zâmbit lui Pierre și a intrat în brațele lui. Mihail Ivanovici, Mlle Bourienne îl privea cu zâmbete vesele în timp ce vorbea cu bătrânul prinț.
Bătrânul prinț a ieșit la cină: asta îi era evident pentru Pierre. A fost extrem de amabil cu el în ambele zile ale șederii sale în Munții Cheli și i-a spus să vină la el.
Când Pierre a plecat și toți membrii familiei s-au reunit, au început să-l judece, așa cum se întâmplă întotdeauna după plecarea unei persoane noi și, așa cum se întâmplă rar, toată lumea a spus un lucru bun despre el.

Revenind de data aceasta din vacanță, Rostov a simțit și a aflat pentru prima dată cât de puternică era legătura lui cu Denisov și cu întregul regiment.
Când Rostov a ajuns cu mașina la regiment, a experimentat un sentiment asemănător cu cel pe care l-a experimentat când s-a apropiat de Casa Bucătarului. Când l-a văzut pe primul husar în uniforma descheiată a regimentului său, când l-a recunoscut pe Dementyev cu părul roșu, a văzut stâlpii de prindere ale cailor roșii, când Lavrushka a strigat cu bucurie stăpânului său: „Contele a sosit!” iar Denisov, care dormea ​​pe pat, a fugit din pirog, l-a îmbrățișat, iar ofițerii au venit la noul venit - Rostov a experimentat același sentiment ca atunci când mama, tatăl și surorile lui l-au îmbrățișat și lacrimile de bucurie care a venit la gât l-a împiedicat să vorbească . Regimentul era și un cămin, iar casa era invariabil dulce și dragă, la fel ca casa părintească.
După ce a apărut în fața comandantului regimentului, fiind repartizat în escadrila anterioară, după ce a plecat la datorie și a căutat hrană, a intrat în toate micile interese ale regimentului și simțindu-se lipsit de libertate și încătușat într-un cadru îngust și neschimbat, Rostov a experimentat același calm, același sprijin și aceeași conștiință faptul că era acasă aici, în locul lui, pe care l-a simțit sub acoperișul părinților. Nu a fost tot acest haos al lumii libere, în care el nu și-a găsit un loc și a făcut greșeli la alegeri; nu exista Sonya cu care să fie sau să nu fie necesar să explice lucrurile. Nu exista nicio opțiune de a merge acolo sau de a nu merge acolo; nu existau aceste 24 de ore din zi atât de multe căi diferite ar putea fi consumat; nu era această mulțime nenumărată de oameni, dintre care nimeni nu era mai aproape, nimeni nu era mai departe; nu au fost acestea neclare și nesigure relaţiile monetare cu tatăl său, nu a existat nicio amintire a pierderii groaznice pentru Dolokhov! Aici, în regiment, totul era clar și simplu. Întreaga lume a fost împărțită în două secțiuni inegale. Unul este regimentul nostru Pavlograd, iar celălalt este orice altceva. Și nu era nimic altceva de care să-ți faci griji. În regiment se știa totul: cine era locotenentul, cine era căpitanul, cine era un om bun, cine era un om rău și, cel mai important, un tovarăș. Negustorul crede în datorii, salariul este o treime; nu există nimic de inventat sau de ales, doar nu face nimic care este considerat rău în regimentul Pavlograd; dar dacă te trimit, fă ceea ce este clar și distinct, definit și ordonat: și totul va fi bine.
După ce a intrat din nou în aceste anumite condiții de viață regimentară, Rostov a experimentat bucurie și liniște, asemănătoare cu cele pe care le simte o persoană obosită când se întinde să se odihnească. Această viață regimentară a fost cu atât mai îmbucurătoare pentru Rostov în această campanie, cu cât, după ce a pierdut în fața lui Dolokhov (act pentru care el, în ciuda tuturor mângâierii familiei sale, nu s-a putut ierta), a decis să servească nu ca înainte, ci în pentru a se repara, a sluji bine și a fi un tovarăș și ofițer cu totul excelent, adică un om minunat, care părea atât de greu în lume, dar atât de posibil în regiment.
Rostov, din momentul pierderii sale, a decis că va plăti această datorie părinților săi în cinci ani. A fost trimis 10 mii pe an, dar acum a decis să ia doar două, iar restul să le dea părinților săi pentru a plăti datoria.

Armata noastră, după repetate retrageri, ofensive și bătălii la Pultusk, la Preussisch Eylau, s-a concentrat lângă Bartenstein. Ei așteptau sosirea suveranului în armată și începerea unei noi campanii.
Regimentul Pavlograd, care se afla în acea parte a armatei care era în campanie în 1805, a fost recrutat în Rusia și a întârziat la primele acțiuni ale campaniei. Nu se afla nici lângă Pultusk, nici lângă Preussisch Eylau, iar în a doua jumătate a campaniei, după ce s-a alăturat armatei active, a fost repartizat la detașamentul lui Platov.
Detașamentul lui Platov a acționat independent de armată. De mai multe ori, locuitorii Pavlogradului au fost în unități în lupte cu inamicul, au capturat prizonieri și chiar au recapturat odată echipajele mareșalului Oudinot. În aprilie, locuitorii Pavlogradului au stat câteva săptămâni lângă un sat german gol, care fusese distrus până la pământ, fără să se miște.
Era ger, noroi, frig, râurile s-au spart, drumurile au devenit impracticabile; Timp de câteva zile nu au oferit hrană nici cailor, nici oamenilor. De când livrarea a devenit imposibilă, oamenii s-au împrăștiat prin satele abandonate din deșert pentru a căuta cartofi, dar au găsit puțin din asta. Totul a fost mâncat și toți locuitorii au fugit; cei care rămăseseră erau mai răi decât cerșetorii și nu era nimic de luat de la ei și chiar puțini – soldații milostivi de multe ori, în loc să profite de ei, le dădeau ultimul.

Opțiunea de decizie cea mai acceptabilă, care se face la nivel managerial cu privire la orice problemă, este considerată a fi optimă, iar procesul de căutare a acesteia este considerat optimizare.

Interdependența și complexitatea aspectelor organizaționale, socio-economice, tehnice și de altă natură ale managementului producției se rezumă în prezent la luarea unei decizii de management care afectează un numar mare de diverse tipuri de factori care sunt strâns legați între ei, din cauza cărora devine imposibil să se analizeze fiecare separat folosind metode analitice tradiționale.

Majoritatea factorilor sunt decisivi în procesul de luare a deciziilor și aceștia (în mod inerent) nu pot fi cuantificați. Există și cele care sunt practic neschimbate. În acest sens, a apărut necesitatea dezvoltării unor metode speciale capabile să asigure selecția unor decizii importante de management în cadrul unor probleme organizatorice, economice, tehnice complexe (evaluări ale experților, metode de cercetare operațională și optimizare etc.).

Metodele care vizează cercetarea operațională sunt utilizate pentru a găsi soluții optime în domenii precum organizarea proceselor de producție și transport, planificarea producției pe scară largă, aprovizionării cu materiale și tehnică.

Metodele de optimizare a soluțiilor presupun cercetări prin compararea estimărilor numerice ale unui număr de factori, a căror analiză nu poate fi efectuată folosind metode tradiționale. Soluția optimă este cea mai bună dintre opțiunile posibile în ceea ce privește sistemul economic, iar cea mai acceptabilă în raport cu elementele individuale ale sistemului este suboptimă.

Esența metodelor de cercetare operațională

După cum am menționat mai devreme, ele formează metode de optimizare a deciziilor de management. Baza lor este modele matematice (deterministe), probabilistice reprezentând procesul, tipul de activitate sau sistemul studiat. Acest tip de model reprezintă o caracteristică cantitativă a problemei corespunzătoare. Ele servesc drept bază pentru luarea unor decizii importante de management în procesul de căutare a opțiunii optime.

O listă de probleme care joacă un rol semnificativ pentru managerii direcți de producție și care sunt rezolvate în timpul utilizării metodelor luate în considerare:

• gradul de valabilitate al opțiunilor de decizie alese;
• cu cât sunt mai bune decât alternativele;
• gradul de luare în considerare a factorilor determinanți;
• care este criteriul de optimizare a soluţiilor selectate.

Aceste metode de optimizare a deciziilor (managerial) au ca scop gasirea de solutii optime pentru cat mai multe firme, companii sau divizii ale acestora. Ele se bazează pe realizările existente în disciplinele statistice, matematice și economice (teoria jocurilor, coadă, grafică, programare optimă, statistică matematică).

Metode de evaluare a experților

Aceste metode de optimizare a deciziilor de management sunt utilizate atunci când problema nu este parțial sau complet supusă formalizării, iar soluția ei nu poate fi găsită prin metode matematice.

Expertiza este studiul unor probleme speciale complexe în etapa de elaborare a unei decizii specifice de management de către persoane relevante care au o bază de cunoștințe speciale și o experiență impresionantă pentru a obține concluzii, recomandări, opinii și evaluări. În procesul cercetării expertului, cele mai recente realizări atât ale științei, cât și ale tehnologiei sunt utilizate în cadrul specializării expertului.

Metodele luate în considerare pentru optimizarea unui număr de decizii de management (evaluări ale experților) sunt eficiente în rezolvarea următoarelor sarcini de management în domeniul producției:

1. Studiul proceselor, fenomenelor, situațiilor, sistemelor complexe care se caracterizează prin caracteristici informale, calitative.
2. Clasificarea și determinarea, după un criteriu dat, a factorilor semnificativi care sunt determinanți în ceea ce privește funcționarea și dezvoltarea sistemului de producție.
3. Metodele de optimizare luate în considerare sunt deosebit de eficiente în prezicerea tendințelor de dezvoltare a unui sistem de producție, precum și a interacțiunii acestuia cu mediul extern.
4. Fiabilitate crescută evaluarea de specialitate vizează predominant funcții de natură cantitativă și calitativă, prin medierea opiniilor specialiștilor calificați.

Și acestea sunt doar câteva metode de optimizare a unui număr de decizii de management (evaluarea expertului).

Clasificarea metodelor luate în considerare

Metodele de rezolvare a problemelor de optimizare, bazate pe numărul de parametri, pot fi împărțite în:

• Metode de optimizare unidimensională.
• Metode de optimizare multidimensională.

Ele sunt numite și „metode de optimizare numerică”. Mai exact, aceștia sunt algoritmi de căutare.

Ca parte a utilizării derivatelor, metodele sunt:

• metode directe de optimizare (ordine zero);
• metode gradient (ordinul I);
• metode de ordinul 2 etc.

Majoritatea metodelor de optimizare multidimensională sunt apropiate de problema celui de-al doilea grup de metode (optimizarea unidimensională).

Metode de optimizare unidimensională

Orice metode de optimizare numerică se bazează pe calcularea aproximativă sau exactă a unor caracteristici precum valorile funcției obiectiv și funcțiile care definesc mulțimea admisibilă și derivatele acestora. Astfel, pentru fiecare sarcină individuală, întrebarea privind alegerea caracteristicilor pentru calcul poate fi rezolvată în funcție de proprietățile existente ale funcției luate în considerare, capacitățile disponibile și limitările în stocarea și procesarea informațiilor.

Există următoarele metode pentru rezolvarea problemelor de optimizare (unidimensionale):

• metoda Fibonacci;
• dihotomii;
• ratia de aur;
• dublarea pasului.

Metoda Fibonacci

În primul rând, trebuie să setați coordonatele punctului x pe interval ca un număr egal cu raportul dintre diferența (x - a) și diferența (b - a). Prin urmare, a are o coordonată de 0 în raport cu intervalul, iar b are o coordonată de 1, iar punctul de mijloc este ½.

Dacă presupunem că F0 și F1 sunt egale între ele și luăm valoarea 1, F2 va fi egal cu 2, F3 - 3, ..., atunci Fn = Fn-1 + Fn-2. Deci, Fn sunt numere Fibonacci, iar căutarea Fibonacci este strategia optimă pentru așa-numita căutare secvențială a maximului datorită faptului că este destul de strâns legată de acestea.

Ca parte a strategiei optime, se obișnuiește să se aleagă xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Pentru oricare dintre cele două intervale (sau), fiecare dintre ele poate acționa ca un interval restrâns de incertitudine, punctul (moștenit) relativ la noul interval va avea fie coordonatele , fie . Apoi, un punct este luat ca xn - 2 care are una dintre coordonatele prezentate relativ la noul interval. Dacă utilizați F(xn - 2), o valoare a funcției care este moștenită din intervalul anterior, devine posibil să reduceți intervalul de incertitudine și să moșteniți o valoare a funcției.

La pasul final, va fi posibil să treceți la un interval de incertitudine precum , în timp ce punctul de mijloc este moștenit de la pasul anterior. Ca x1, se stabilește un punct care are o coordonată relativă de ½+ε, iar intervalul final de incertitudine va fi sau [½, 1] în raport cu .

La primul pas, lungimea acestui interval a fost redusă la Fn-1: Fn (de la unu). La etapele de finisare, reducerea lungimilor intervalelor corespunzătoare este reprezentată de numerele Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε). ). Deci, lungimea unui astfel de interval ca versiunea finală va lua valoarea (1 + 2ε) : Fn.

Dacă neglijăm ε, atunci asimptotic 1: Fn va fi egal cu rn, cu n→∞, și r = (√5 - 1) : 2, care este aproximativ egal cu 0,6180.

Este de remarcat faptul că asimptotic pentru n semnificativ, fiecare pas ulterior al căutării Fibonacci restrânge semnificativ intervalul considerat cu coeficientul de mai sus. Acest rezultat trebuie comparat cu 0,5 (coeficientul de îngustare a intervalului de incertitudine în cadrul metodei bisecției pentru găsirea zeroului funcției).

Metoda dihotomiei

Dacă vă imaginați o anumită funcție obiectivă, atunci mai întâi trebuie să găsiți extremul acesteia pe intervalul (a; b). Pentru a face acest lucru, axa absciselor este împărțită în patru părți echivalente, apoi este necesar să se determine valoarea funcției în cauză în 5 puncte. În continuare, se selectează minimul dintre ele. Extremul funcției trebuie să se afle în intervalul (a"; b"), care este adiacent punctului minim. Limitele de căutare sunt restrânse de 2 ori. Și dacă minimul este situat în punctul a sau b, atunci se îngustează de toate patru ori. Noul interval este, de asemenea, împărțit în patru segmente egale. Datorită faptului că valorile acestei funcții în trei puncte au fost determinate în etapa anterioară, atunci este necesar să se calculeze funcția obiectiv în două puncte.

Metoda raportului de aur

Pentru valori semnificative ale lui n, coordonatele unor puncte precum xn și xn-1 sunt apropiate de 1 - r, egale cu 0,3820 și r ≈ 0,6180. Impingerea de la aceste valori este foarte aproape de strategia optimă dorită.

Dacă presupunem că F(0,3820) > F(0,6180), atunci intervalul este conturat. Cu toate acestea, datorită faptului că 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, atunci F este deja cunoscut în acest moment. În consecință, la fiecare etapă, începând din a 2-a, este necesar un singur calcul al funcției obiectiv, iar fiecare pas reduce lungimea intervalului considerat cu un factor de 0,6180.

Spre deosebire de căutarea Fibonacci, în aceasta metoda nu este nevoie să fixați numărul n înainte de a începe căutarea.

„Secțiunea de aur” a unei secțiuni (a; b) este o secțiune la care raportul dintre lungimea sa r și partea mai mare (a; c) este identică cu raportul dintre partea mai mare r și cea mai mică, adică , (a; c) la (c; b). Nu este greu de ghicit că r este determinat de formula de mai sus. În consecință, pentru n semnificativ, metoda Fibonacci intră în aceasta.

Metoda de dublare a pașilor

Esența este căutarea direcției de scădere a funcției obiectiv, mișcare în această direcție în cazul unei căutări reușite cu pas treptat în creștere.

Mai întâi, determinăm coordonata inițială M0 a funcției F(M), valoarea minimă a pasului h0 și direcția de căutare. Apoi definim funcția în punctul M0. Apoi, facem un pas și găsim valoarea acestei funcție în acest moment.

Dacă funcția este mai mică decât valoarea care a fost în pasul anterior, următorul pas trebuie făcut în aceeași direcție, mărind-o mai întâi de 2 ori. Dacă valoarea sa este mai mare decât cea anterioară, va trebui să schimbați direcția de căutare și apoi să începeți să vă deplasați în direcția selectată cu pașii h0. Algoritmul prezentat poate fi modificat.

Metode de optimizare multidimensională

Metoda de ordin zero menționată mai sus nu ține cont de derivatele funcției minimizate, motiv pentru care utilizarea lor poate fi eficientă dacă apar dificultăți în calcularea derivatelor.

Grupul de metode de ordinul 1 se mai numește și metode de gradient, deoarece pentru a stabili direcția de căutare se folosește gradientul unei anumite funcții - un vector, ale cărui componente sunt derivatele parțiale ale funcției minimizate în raport cu parametrii optimizați corespunzători. .

În grupul metodelor de ordinul 2 se folosesc 2 derivate (utilizarea lor este destul de limitată din cauza dificultăților de calcul).

Lista metodelor de optimizare fără restricții

Când utilizați căutarea multidimensională fără a utiliza derivate, metodele de optimizare neconstrânse sunt după cum urmează:

• Hook and Jeeves (efectuarea a 2 tipuri de căutare - bazată pe modele și exploratorie);
• minimizarea prin simplexul corect (căutarea punctului minim al funcției corespunzătoare prin compararea valorilor sale la vârfurile simplexului la fiecare iterație individuală);
• coborâre ciclică de coordonate (folosind vectori de coordonate ca puncte de referință);
• Rosenbrock (bazat pe utilizarea minimizării unidimensionale);
• minimizarea folosind un simplex deformat (modificarea metodei de minimizare folosind un simplex obișnuit: adăugarea unei proceduri de compresie și întindere).

În situația utilizării derivatelor în procesul de căutare multidimensională se distinge metoda coborârii celei mai abrupte (procedeul cel mai fundamental de minimizare a unei funcții diferențiabile cu mai multe variabile).

Există și alte metode care folosesc direcții conjugate (metoda Davidon-Fletcher-Powell). Esența sa este reprezentarea direcțiilor de căutare ca Dj*grad(f(y)).

Clasificarea metodelor de optimizare matematică

În mod convențional, pe baza dimensiunii funcțiilor (țintă), acestea sunt:

• cu 1 variabilă;
• multidimensionale.

În funcție de funcție (liniară sau neliniară), există un număr mare de metode matematice care vizează găsirea unui extremum pentru a rezolva problema.

După criteriul de utilizare a derivatelor metode matematice optimizările sunt împărțite în:

• metode de calcul a 1 derivată a funcției obiectiv;
• multidimensional (prima derivată-vector mărime-gradient).

Pe baza eficienței calculului, există:

• metode pentru calcularea rapidă a extremului;
• calcul simplificat.

Aceasta este o clasificare condiționată a metodelor luate în considerare.

Optimizarea proceselor de afaceri

Aici pot fi folosite diverse metode, în funcție de problemele rezolvate. Se obișnuiește să se distingă următoarele metode de optimizare a proceselor de afaceri:

• excepții (reducerea nivelurilor procesului existent, eliminarea cauzelor interferenței și controlului de intrare, reducerea rutelor de transport);
• simplificare (procesarea comenzilor facilitată, complexitatea redusă a structurii produsului, distribuția muncii);
• standardizare (utilizarea de programe, metode, tehnologii speciale etc.);
• accelerare (inginerie paralelă, stimulare, proiectare operațională de prototipuri, automatizare);
• schimbare (modificări de materii prime, tehnologie, metode de lucru, personal, sisteme de lucru, volumul comenzilor, proceduri de procesare);
• asigurarea interactiunii (in raport cu unitatile organizatorice, personalul, sistemul de lucru);
• selecție și includere (relativ la procesele necesare, componente).

Optimizarea fiscală: metode

Legislația rusă oferă contribuabilului oportunități foarte bogate de reducere a impozitelor, motiv pentru care se obișnuiește să se distingă astfel de metode menite să le minimizeze ca generale (clasice) și speciale.

Metodele generale de optimizare fiscală sunt următoarele:

• elaborarea politicii contabile a companiei cu utilizarea maximă posibilă a oportunităților oferite de legislația rusă (procedura de anulare a întreprinderilor mici, alegerea unei metode de calcul a veniturilor din vânzarea de bunuri etc.);
• optimizare printr-un contract (încheierea de tranzacții preferențiale, utilizarea clară și competentă a formulării etc.);
• aplicarea diferitelor tipuri de beneficii și scutiri de impozite.

Al doilea grup de metode poate fi folosit și de toate companiile, dar au încă un domeniu de aplicare destul de restrâns. Metodele speciale de optimizare fiscală sunt următoarele:

• înlocuirea relațiilor (o operațiune care presupune o impozitare împovărătoare este înlocuită cu alta, care permite atingerea unui obiectiv similar, dar în același timp folosirea unui tratament fiscal preferențial).
• divizarea relațiilor (înlocuirea doar a unei părți a unei tranzacții comerciale);
• amânarea plății impozitului (amânarea momentului apariției obiectului impozabil la o altă perioadă calendaristică);
• reducerea directă a obiectului impozitării (scăparea multor tranzacții sau proprietăți impozabile fără a avea un impact negativ asupra principalelor activitate economică companii).

Agenția Federală pentru Educație Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „Universitatea Tehnică de Stat Ural - UPI” OPTIMIZAREA PARAMETRICĂ A CIRCUITURILOR RADIO-ELECTRONICE Ghid pentru munca de laborator la cursul „Analiza computerizată a circuitelor electronice” pentru studenții de toate formele de studiu la specialitatea 200700 - Inginerie Radio Ekaterinburg 2005 UDC 681,3,06:621.396.6 Alcătuit de V.V. Kiykov, V.F. Kochkina, K.A. Editor științific Vdovkin Profesor asociat, candidat la științe tehnologie. Științe V.I. Gadzikovsky OPTIMIZAREA PARAMETRICĂ A CIRCUITURILOR RADIO-ELECTRONICE: linii directoare pentru lucrul de laborator la cursul „Analiza computerizată a circuitelor electronice” /comp. V.V. Kiiko, V.F. Kochkina, K.A. Vdovkin. Ekaterinbug: Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior USTU-UPI, 2005. 21 p. Orientările conțin informații despre formularea problemelor de optimizare, criteriile de optimitate și teoria găsirii minimului funcției obiectiv. Este prezentată o trecere în revistă a metodelor de optimizare parametrică, este descrisă în detaliu metoda Hook-Jeeves și sunt date întrebări pentru autocontrol. Bibliografie: 7 titluri. Orez. 6. Întocmit de Departamentul de Radioelectronică a Sistemelor Informaţionale.  Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „Universitatea Tehnică de Stat Ural-UPI”, 2005 2 CUPRINS SCOPUL LUCRĂRII........................... ................................................... ......................... ................................ 4 1. INSTRUCȚIUNI METODICE GENERALE ................................ ........................ ............ 4 2. TEORIA OPTIMIZĂRII....... .......................... .............................................. ....... 4 2.1. Formularea formală (matematică) a problemei de optimizare.................. 4 2.2. Enunțarea problemei optimizării parametrice a SRE.................................................. 5 2.3. Criterii de optimizare.................................................................. ........................................................ 7 2.4. Strategia de rezolvare a problemelor de proiectare optimă a SRE........................................................ ....... 9 2.5. Algoritmi de căutare globale ................................................ ................ ................... 9 2.5.1. Algoritm de căutare aleatorie.................................................. ............................. ................. 10 2.5.2. Algoritm de căutare globală monoton.............................................. ...... 10 2.5.3. Algoritm de scanare pe o grilă de cod gri.................................................. ......... 10 2.6. Metode și algoritmi de căutare locală............................................. ....................... .......... 11 2.6.1. Metode directe.................................................................. ................................................... 11 2.6.2. Metode de optimizare a gradientului de ordinul întâi.................................. 13 2.6.3. Metode gradient de optimizare de ordinul doi ................................................ 13 3. DESCRIEREA PROGRAM DE ANALIZĂ A CALCULATORULUI......... ......... 15 3.1. Porniți programul. .................................................. ...................................................... ... 15 3.2. Elaborarea unei sarcini de optimizare............................................. ............................. ............ 15 3.3. Rezultatele optimizării............................................................. ... .................................. 17 4. CONȚINUTUL LUCRĂRILOR DE LABORATOR...... ..... .................................... 19 4.1. Ordin de executare............................................................. ... ........................................ 19 4.2. Sarcina pentru lucrul de laborator.................................................. ......................................... 19 5. INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU PREGĂTIREA DATELOR INIȚIALE ................................................... ......................... ......................... ............................ 20 6. CONȚINUTUL RAPORTULUI............ ........................................ .......... ......................... 20 7. ÎNTREBĂRI PENTRU AUTOCONTROL......... ........ ................................................ 20 REFERINȚE .................................................. .................................................. ............. 21 3 OBIECTIVUL LUCRĂRII Obținerea abilităților de prezentare și practică de optimizare parametrică a dispozitivelor electronice în proiectarea circuitelor automate de echipamente radio-electronice (REA). 1. INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE GENERALE Această lucrare este a treia dintr-un set de lucrări de laborator privind metodele de calcul, analiză și optimizare a circuitelor radio-electronice. Complexul cuprinde următoarele lucrări: 1. Calculul circuitelor radio-electronice prin metoda potenţialelor de nod. 2. Analiza circuitelor electronice folosind metoda modificată a potenţialelor nodale. 3. Optimizarea parametrică a circuitelor radio-electronice. 4. Analiza circuitelor electronice folosind funcţiile circuitelor. În primele și a doua lucrări de laborator s-au efectuat analize de frecvență, s-a determinat sensibilitatea câștigului de tensiune din variațiile parametrilor interni, iar caracteristicile tranzitorii și de impuls au fost calculate la valorile nominale ale parametrilor elementelor RES, care au fost inițial selectate (setate sau calculate) nu în cel mai bun mod. În această lucrare, se realizează optimizarea parametrică a RES proiectată pentru a se asigura că parametrii de ieșire respectă cerințele specificațiilor tehnice. 2. TEORIA OPTIMIZĂRII 2.1. Formularea formală (matematică) a problemei de optimizare Optimizarea parametrilor (optimizarea parametrică) este de obicei numită problema calculării valorilor nominale optime ale parametrilor interni ai obiectului de proiectare. Problemele de optimizare a parametrilor în echipamentele electronice CAD se reduc la problema programării matematice extr F(X), XXД, (1) unde XД = (XX0| k (X) ≥ 0, r (X). ) = 0, k  , r  ). Vectorul X=(x1, x2,... xn) se numește vectorul parametrilor controlați (variabili); F(X) - întreaga funcție (funcția de calitate); XD - zona admisa; X0 este spatiul in care este definita functia obiectiv; Funcțiile k(X) și r(X) sunt restricții. 4 Formularea verbală a problemei (1): găsiți extremul funcției țintă F(X) în regiunea XD, limitată în spațiu X0 N de inegalitățile k(X) ≥ 0 și M de egalitățile r (X) = 0. Funcția țintă trebuie formulată pe baza ideilor existente despre calitatea obiectului proiectat: valoarea sa ar trebui să scadă odată cu îmbunătățirea calității, apoi în (1) este necesară minimizarea (extr este min), sau crește, apoi în ( 1) este necesară maximizarea (extr este max). Constrângerile sunt inegalități de forma xi > xi min sau xi< xi max , называют прямыми ограничениями, где xi min и xi max - заданные константы, остальные ограничения называют функциональными. Задача поиска максимума, как правило, сводится к задаче поиска минимума путем замены F(Х) на -F(Х). Функция F(Х) имеет локальный минимум в точке Х0, если в малой окрестности этой точки F(Х) ≥ F(Х0). И функция F(Х) имеет глобальный минимум в точке Х*, если для всех Х справедливо неравенство F(Х) ≥ F(Х*). Классическая теория оптимизации подробно изложена в соответствующей литературе, например . Ниже основное внимание уделено применению теории оптимизации для поиска оптимальных решений при проектировании радиоэлектронной аппаратуры. 2.2. Постановка задачи параметрической оптимизации РЭС Решение задачи проектирования обычно связана с выбором оптимального, наилучшим образом удовлетворяющего требованиям технического задания варианта устройства из некоторого допустимого множества решений. Эффективное решение задач базируется на формальных поисковых методах оптимизации и неформальных способах принятия оптимальных проектных решений. Поэтому решение задач оптимального проектирования необходимо рассматривать не только в вычислительном аспекте, но скорее в творческом, учитывая опыт и знания инженера-схемотехника на всех этапах автоматизированного проектирования. Одной из наиболее cложных операций при решении задач оптимального проектирования является этап математической формулировки задачи, которая включает в себя выбор критерия оптимальности, определение варьируемых параметров и задание ограничений, накладываемых на варьируемые параметры . Среди задач схемотехнического проектирования, которые целесообразно решать с привлечением методов оптимизации, выделяют следующие задачи параметрического синтеза и оптимизации: - определение параметров компонентов схемы, обеспечивающих экстремальные характеристики при заданных ограничениях; - определение параметров функциональных узлов схем исходя из требований технического задания на характеристики устройства в целом; - адаптация существующих схемных решений с целью подбора параметров, удовлетворяющих новым требованиям к схеме; 5 - уточнение значений параметров компонентов схемы, полученных в результате ручного инженерного расчета. Для схем приемно-усилительной техники оптимизация ведется по отношению к таким выходным параметрам, как: - коэффициент усиления и полоса пропускания: - форма частотной характеристики; - устойчивость усилителя или активного фильтра; - время запаздывания, длительность фронта импульса. Примечание. Класс задач, связанный с определением значений параметров компонентов, при которых проектируемая схема удовлетворяет совокупности условий технического задания на разработку, принято называть параметрическим синтезом (по отношению к определяемым параметрам) или параметрической оптимизацией (по отношению к реализуемым характеристикам). В любой из перечисленных задач реализуемые характеристики проектируемого устройства являются функциями вектора варьируемых (настраиваемых) параметров, составляющих некоторое подмножество полного набора параметров компонентов схемы. Целью параметрического синтеза или оптимизации является определение вектора параметров X, обеспечивающего наилучшее соответствие характеристик устройства Y = Y(X) требованиям технического задания. Для решения этой задачи необходимо, прежде всего, выбрать формальный критерий оценки качества каждого из вариантов проектируемого устройства, который позволил бы различать их между собой и устанавливать между ними отношения предпочтения. Такая оценка может быть представлена функциональной зависимостью вида F(X) =F(Y(X)), называемой обычно критерием оптимальности, функцией качества или целевой функцией. Задача поиска параметров компонентов схемы сводится к классической задаче оптимизации - нахождения экстремума некоторой функции качества F(X) при наличии ограничений (равенств, неравенств или двухсторонних границ), накладываемых на варьируемые параметры и характеристики проектируемой схемы . Разнообразные задачи оптимизации аналоговых радиоэлектронных схем имеют общие черты, основные из которых: - многокритериальность оптимизационных задач; - отсутствие явных аналитических зависимостей выходных параметров от внутренних параметров, связь между внутренними и внешними параметрами выражается системами уравнений и оценивается количественно только через численное решение этих систем. Эти особенности обуславливают трудности постановки и решения задач оптимизации аналоговых радиоэлектронных схем. 6 2.3. Критерии оптимальности В процессе поиска оптимального решения для каждой конкретной задачи может оказаться предпочтительным определенный вид критерия оптимальности. Базовый набор критериев оптимальности, позволяющий удовлетворить разнообразные требования инженера-схемотехника к оптимизируемым характеристикам проектируемых устройств, изложен в . Так, для отыскания экстремума (минимума или максимума) показателя качества, например, как потребляемая схемой мощность, частота среза, используется само значение критерия оптимальности без преобразования: F1(X) = Y(X), (2) В задачах, требующих максимального соответствия оптимизируемой характеристики и некоторой желаемой, например, при оптимизации частотных характеристик, наиболее целесообразно использовать критерий среднего квадратического отклонения F2 ()  (Y() - Y )2 , (3) где Y* - желаемое или требуемое по specificatii tehnice valoare caracteristică, () - semnul mediei. Pentru o caracteristică specificată de o mulțime discretă de puncte, funcția obiectiv este 1 F2 (X)  N N  (Y(X , p i 1 i)  Yi)2 , * i (4) unde N este numărul de puncte de eșantionare ale variabilei independente p; Y(X, pi) - valoarea caracteristicii optimizate în punctul i al intervalului de eșantionare; i este coeficientul de ponderare al valorii i a caracteristicii optimizate, reflectând importanța punctului i în comparație cu altele (de obicei 0< i > 1). Minimizarea funcțiilor (3) și (4) asigură că caracteristicile sunt apropiate în deviația standard. Funcția (4) este utilizată în metodele numerice pentru calcularea Y(X). În unele probleme de optimizare, este necesar să se asigure că caracteristica optimizată depășește sau nu depășește un anumit nivel specificat. Aceste criterii de optimitate sunt implementate de următoarele funcții: - să se asigure că nivelul specificat este depășit F3 (X)  0 la Y (X)  YH* ; (Y  Y (X)) 2 la Y (X)  YH* ; 7 (5) - pentru a se asigura că nivelul specificat nu este depășit F4 (X)  0 la Y (X)  YB* (Y (X)  YB*) 2 la Y (X)  YB*, (6) unde YH*, YB* - limitele inferioare și superioare ale zonei admisibile pentru caracteristica Y(X). Dacă este necesar ca caracteristica optimizată să treacă într-o anumită zonă acceptabilă (culoar), se utilizează o combinație a celor două criterii de optimitate anterioare: 0atYH*  Y (X)  YB* ; F(X)  (Y (X)  YB*) 2 pentru Y (X)  YB* , (YH*  Y (X)) 2 pentru Y (X)  YH* . (7) În cazurile în care este necesară realizarea numai a formei curbei, ignorând deplasarea verticală constantă, criteriul deplasării N F6 (X)    i (Yi *  Y (X , pi)  Yav) 2 , ( 8) i 1 unde Yср  1 N *  (Yi  Y (X , pi)). N i 1 Caracteristicile importante ale procesului de calcul și, în primul rând, convergența procesului de optimizare depind de tipul funcției obiectiv. Semnele derivatelor funcției obiectiv în raport cu parametrii controlați nu rămân constante în toată regiunea admisibilă. Pentru funcțiile obiective de forma (4) și (8), această din urmă împrejurare conduce la caracterul lor de rigolă. Astfel, o caracteristică a funcțiilor obiective atunci când se rezolvă problemele de proiectare a circuitelor este natura lor de guliu, ceea ce duce la costuri de calcul ridicate și necesită o atenție deosebită la alegerea metodei de optimizare. O altă caracteristică a funcțiilor obiectiv este că acestea sunt de obicei multi-extremale și, împreună cu minimul global, există minime locale. O caracteristică specială a problemelor de optimizare pentru circuitele electronice este că parametrii interni nu pot lua valori arbitrare. Astfel, valorile rezistențelor și condensatoarelor sunt limitate la anumite valori maxime și minime. În plus, din mai mulți parametri externi, este de obicei posibil să selectați unul principal, în funcție de care se efectuează optimizarea, iar pentru alții, să indicați limite acceptabile de modificare. 8 O problemă de optimizare cu restricții este redusă la o problemă de optimizare fără restricții prin introducerea de funcții de penalizare. Funcția obiectiv ia apoi forma M N r 1 k 1  (X)  Fi (X)   r ( T (X)) 2    k ( k (X)) 2 , (9 ) unde r, k sunt coeficienți numerici care iau în considerare importanța unei anumite constrângeri în raport cu altele. Ele sunt egale cu zero dacă inegalitatea corespunzătoare din (1) este satisfăcută și iau anumite valori în caz contrar; Fi(X) este una dintre funcțiile de calitate descrise de relația (2) - (8). Astfel, depășirea regiunii CD permise duce la o creștere a funcției circuitului minimizat și soluțiile intermediare X j sunt ținute de o „barieră” la limita regiunii CD. Înălțimea „barierei” este determinată de valorile lui  și , care în practică sunt în limite largi (1-1010). Cu cât  și  sunt mai mari, cu atât este mai puțin probabil să depășească regiunea permisă. În același timp, crește și abruptul pantei râpei la limita, ceea ce încetinește sau perturbă complet convergența procesului de minimizare. Din cauza imposibilității de precizare a valorilor optime ale lui  și , este recomandabil să începeți optimizarea cu valori mici, apoi să le creșteți la obținerea unei soluții în afara regiunii permise. 2.4. Strategia de rezolvare a problemelor de proiectare optimă a SRE Problemele de proiectare optimă a SRE au caracteristici specifice, care includ multi-extremalitate și ravenitatea funcției de calitate, prezența restricțiilor asupra parametrilor interni și de ieșire ai dispozitivului proiectat și dimensiunea vectorului parametrilor variați. Strategia de rezolvare a problemelor de proiectare optimă presupune utilizarea procedurilor de optimizare globală în fazele inițiale ale căutării și rafinării soluției globale rezultate prin algoritmi locali care converg rapid în vecinătatea punctului optim. Această strategie permite, în primul rând, să se determine valoarea extremului global cu suficientă fiabilitate și acuratețe și, în al doilea rând, să se reducă semnificativ costurile de calcul ale căutării. În acest caz, etapele căutării globale pot fi efectuate cu o precizie scăzută, iar etapele de rafinare locală sunt efectuate în regiunea de atracție a extremului global, ceea ce necesită un număr semnificativ mai mic de calcule. 2.5. Algoritmi de căutare globale Algoritmii de căutare globale, de regulă, oferă o estimare destul de aproximativă a extremului global la un cost scăzut al resurselor de calcul și necesită o creștere semnificativă a numărului de calcule pentru a obține o estimare mai precisă a poziției extremului. 2.5.1. Algoritmul de căutare aleatorie Cel mai simplu, din punctul de vedere al implementării procesului de calcul, este algoritmul de căutare a unui extremum global, bazat pe sondarea zonei admisibile a depozitului de date cu o secvență de puncte distribuite uniform în acesta și selectarea cea mai buna varianta dintre cele obtinute. Calitatea lucrului algoritmului este determinată în mare măsură de proprietățile senzorului de numere aleatoare distribuite uniform utilizate pentru a genera vectori X  HD 2. 5.2. Algoritm de căutare globală monoton Optimizarea multidimensională prin acest algoritm se bazează pe construcția unei scanări (curba Peano) care mapează un segment al axei reale într-un hipercub al domeniului admisibil al HD. Folosind o măturare, se realizează o mapare neechivocă și continuă a lui X(), care pentru orice punct 0.1 permite obținerea punctului X  HD. Atunci problema minimizării F(X) în domeniul CD este echivalentă cu găsirea minimului * al funcției unidimensionale F(X) = F(X()). Pentru a realiza minimizarea globală unidimensională a funcției F() pe intervalul 0.1 în subsistemul de optimizare al sistemului de proiectare a circuitelor al DISP, se utilizează o modificare monotonă a algoritmului de căutare globală, care implementează transformarea monotonă F() sub forma  ()  pentru a accelera convergența ( 1  [ 1  F ()] 2 )0 .5 , (10) care păstrează locația punctului extremum global, dar face ca funcționarea mai lină. Algoritmul oferă o estimare destul de bună a extremului global în primele 50-100 de iterații. Cele mai bune rezultate se obțin dacă numărul de variabile nu depășește 5-7. Pentru algoritmul considerat, în unele cazuri, se pot obține rezultate mai bune atunci când se utilizează o transformare a spațiului de căutare conform legii logaritmice. Această transformare este eficientă mai ales dacă granițele de căutare diferă cu mai multe ordine de mărime, ceea ce este important în problemele de optimizare REA și dacă extremul este situat în apropierea granițelor regiunii. 2.5.3. Algoritm de scanare pe o grilă de cod Gray Ideea principală a metodei este schimbarea secvenţială a unei sfere de căutare specifice cu raze caracteristice care conţin puncte de testare în timp ce se acumulează şi se procesează informaţiile primite. Direcția de scanare este efectuată pe o grilă specială specificată de un cod binar de 10 gri. Sfera de căutare pe grila de cod Gray din algoritmul luat în considerare diferă de cea tradițională (un cerc cu numărul de variabile egal cu 2) și are, pe lângă cerc, și raze caracteristice. Razele sunt direcționate din centrul sferei către limitele regiunii HD și, așa cum ar fi, „transparentă” întreaga regiune până la limitele sale. Algoritmul luat în considerare are un singur parametru reglabil -sensibilitatea funcției de calitate la variațiile parametrilor, care este utilizat pentru a determina pasul de discretitate pentru fiecare dintre variabile. 2.6. Metode și algoritmi de căutare locale Metodele și algoritmii de căutare locală caută cel mai adesea cel mai apropiat extremum local, iar traiectoria mișcării lor depinde puternic de alegerea punctului de plecare și de natura funcției obiectiv. 2.6.1. Metode directe Metodele de ordin zero (metode directe) practic nu au o justificare matematică strictă și sunt construite pe baza unor propuneri rezonabile și a datelor empirice. Cea mai simplă metodă de ordinul zero este metoda coborării coordonatelor (Gauss-Seidel). La fiecare pas, toate variabilele sunt fixe, cu excepția uneia, care este folosită pentru a determina minimul funcției obiectiv. Optimizarea se realizează prin enumerarea secvenţială a variabilelor. Acest algoritm este ineficient dacă funcția obiectiv conține expresii precum x1x2. Problemele de proiectare a circuitului în care nu este posibil să se obțină o expresie analitică a funcției obiectiv sunt caracterizate prin dependența sa complexă de componentele circuitului și, prin urmare, această metodă este de obicei inaplicabilă. Dintre metodele de ordinul zero în cazul funcțiilor obiectivului gully, rezultate bune se obțin prin metoda Rosenbrock, care combină ideile de coborare a coordonatelor și ideile de transformare a coordonatelor. Cea mai bună direcție pentru a căuta un extremum este deplasarea de-a lungul râpei. Prin urmare, după primul ciclu de coborare a coordonatelor, axele de coordonate sunt rotite astfel încât una dintre ele să coincidă cu direcția râpei Xk - Xk - n, k = n, 2n, 3n…. Metoda lui Rosenbrock nu oferă informații despre atingerea punctului minim. Prin urmare, numărarea se oprește fie după ce scăderea lui F(X) devine mai mică decât un anumit număr mic , fie după un anumit număr de cicluri. Metoda Hook-Jeeves a fost dezvoltată în 1961, dar este încă foarte eficientă și originală. Găsirea minimului unei funcții obiectiv constă într-o succesiune de pași de căutare exploratorie în jurul unui punct de bază, urmate, dacă reușește, de o căutare a modelului. Această procedură constă din următorii pași: 1. Selectați un punct de referință inițial b1 și un pas de lungime hj pentru fiecare variabilă xj, j=1,2,…,n a funcției obiective scalare F(X). 11 2. Calculați F(X) la punctul de bază b1 pentru a obține informații despre comportamentul local al funcției F(X). Aceste informații vor fi folosite pentru a găsi o direcție de căutare a modelului care, sperăm, poate fi folosită pentru a obține o scădere mai mare a valorii funcției F(X). Valoarea funcţiei F(X) la punctul de bază b1 se află astfel: a) se calculează valoarea funcţiei F(b1) la punctul de bază b1; b) fiecare variabilă se modifică pe rând prin schimbarea pasului. Astfel, se calculează valoarea lui F(b1 + he1), unde e1 este vectorul unitar pe direcția axei x1. Dacă acest lucru duce la o scădere a valorilor funcției, atunci b1 este înlocuit cu b1 + he1. În caz contrar, se calculează valoarea funcției F(b1 - he1), iar dacă valoarea acesteia a scăzut, atunci b1 este înlocuit cu b1 - he1. Dacă niciunul dintre pașii făcuți nu duce la o scădere a valorilor funcției, atunci punctul b1 rămâne neschimbat și se iau în considerare modificări în direcția axei x2, adică. adică se găsește valoarea funcției F(b1 + h2e2) etc. Când se iau în considerare toate n variabile, se determină un nou punct de bază b2; c) dacă b2 = b1, adică reducerea funcției F(X) nu a fost realizată, atunci studiul continuă în jurul aceluiași punct de bază b1, dar cu o lungime a pasului redusă. De regulă, în practică, pasul este redus de 10 ori lungimea inițială; d) dacă b2  b1, atunci modelul este căutat. 3. La căutare se folosesc informațiile obținute în timpul procesului de cercetare, iar minimizarea funcției obiectiv se încheie cu o căutare în direcția specificată de eșantion. Această procedură se realizează astfel: a) deplasarea se efectuează din punctul de bază b2 în direcția b2 - b1, deoarece căutarea în această direcție a dus deja la o scădere a valorii funcției F(X). Prin urmare, se calculează valoarea funcției la punctul de eșantion P1 = b2 + (b2 - b1). În general, Pi = 2bi+1 - bi; b) cercetarea se realizează în jurul punctului P1(Pi); c) dacă cea mai mică valoare la pasul 3,b este mai mică decât valoarea la punctul de bază b2 (în cazul general bi+1), atunci se obține un nou punct de bază b3(bi+2), după care pasul 3, a se repetă. În caz contrar, căutarea modelului din punctul b2 (bi+1) nu este efectuată. 4. Procesul de căutare minimă se încheie când lungimea pasului (lungimile pasului) este redusă la valoarea mică specificată. 12 2.6.2. Metode de optimizare a gradientului de ordinul întâi Metodele pentru găsirea unui extremum folosind derivate au o justificare matematică strictă. Se știe că atunci când găsiți un extremum, nu există o direcție mai bună decât deplasarea de-a lungul gradientului. Dintre metodele de gradient, una dintre cele mai eficiente este metoda Fletcher-Powell (gradienți conjugați), care este un tip de metodă de coborâre cu cea mai abruptă. Metoda cea mai abruptă de coborâre constă în următoarele etape: 1) se precizează punctul de plecare (vector Xk k=0); 2) Se calculează F(Xk) și F(Xk); 3) X se schimbă în direcția Sk = -F(Xk) până când F(X) încetează să scadă; 4) Se presupune k = k+1, se calculează o nouă valoare F(Xk) și se repetă procesul din etapa a 3-a. Dezavantajul metodei este că, în cazul funcțiilor gully, abordarea la minimum are un caracter în zig-zag și necesită un număr mare de iterații. Esența metodei Fletcher-Powell este că pentru toate iterațiile, începând de la a doua (la prima iterație, această metodă coincide cu cea mai abruptă metodă de coborâre), valorile anterioare ale F(X) și F(X) sunt folosite pentru determinarea noului vector de direcție   S k  F X k  d k S k 1 , unde (11) [F (X k)]T  F (X k) d . [F (X k 1)]T  F (X k 1) Aceasta elimină natura în zig-zag a coborârii și accelerează convergența. Acest algoritm este ușor de programat și necesită o cantitate moderată de memorie a mașinii (trebuie completate doar direcția anterioară de căutare și gradientul anterior). 2.6.3. Metode de optimizare a gradientului de ordinul doi O metodă iterativă bazată pe cunoașterea derivatelor secunde este cunoscută în general ca metoda lui Newton. Fie ca funcția F(X) să fie extinsă într-o serie Taylor și să conțină trei termeni. Scriem rezultatul sub forma următoare: 1 F (X k  X)  F (X k)  (X)T F k  (X)T G k X 2 (12) Se cere să maximizați diferența pe părțile din stânga. Acest lucru se poate face prin diferențierea (12) față de X și echivalarea rezultatului cu zero: 13  [ F (X k  X)  F (X k)]  F k  G k X  0, X G k X  F k . Această ecuație poate fi rezolvată, de exemplu, folosind metoda expansiunii LU în raport cu Х. Formal, putem scrie X  (G k) 1 F k   H k F k unde Н=G-1. Presupunem acum că direcția de căutare coincide cu vectorul S k  X k   H k F k . (13) Când se ajunge la minim, matricea Hessiană 1 va fi definită pozitiv și poate fi utilizată dimensiunea pasului complet dk=1 (adică, nu este necesară nicio căutare în direcția Sk). Cu toate acestea, departe de minim, matricea Hessian poate să nu fie definită pozitiv. În plus, calcularea acestei matrice este costisitoare. Prin urmare, au fost dezvoltate o întreagă clasă de alte metode, numite metode metrice variabile sau cvasi-Newton, care nu prezintă aceste dezavantaje. Aceste metode au fost dezvoltate cu destul de mult timp în urmă, dar au fost generalizate doar recent. Ele se bazează pe estimarea gradienților și pe aproximarea matricei Hessian sau inversul acesteia. Aproximarea se realizează prin schimbarea matricei definite pozitive inițiale într-un mod special, astfel încât să se păstreze definiția pozitivă. Numai când este atins minimul, matricea rezultată aproximează matricea hessiană (sau inversul acesteia). În toate metodele acestei clase, direcția de căutare este determinată, ca în metoda lui Newton (13). La fiecare iterație, folosind matricea Hk, după o formulă specială, se obține matricea Hk+1. Ca exemplu, dăm formula obţinută de Davidon, Fletcher şi Powell, iar uneori se numeşte formula DFT:  2F 2F 2F  . . .   x1x n   x1x1 x1x 2  2F 2F 2F  . . .   1 Matrice Hessiană - matrice de derivate secunde G (x)   x 2 x1 x 2 x 2 x 2 x n   . . .    2F 2F 2F   x x x x . . . (14) Această formulă este potrivită numai dacă (X)T   0,  THk  0. Aici k=Fk+1-Fk. 3. DESCRIEREA PROGRAMULUI DE ANALIZĂ A CALCULATORULUI Programul are o interfață grafică convenabilă pentru lucrul în mediu sistem de operare Windows. Descrierea inițială a circuitului electronic în curs de optimizare este informația din fișierul creat în timpul celei de-a doua lucrări de laborator. Încărcând acest fișier și selectând elemente pentru optimizare, acest program calculează noi valori ale elementelor. Criteriul de corectitudine a calculelor este valoarea minimă a funcției obiectiv, care se calculează ca abatere standard ponderată a caracteristicilor necesare și reale ale RES: caracteristici amplitudine-frecvență, tranzitorie sau impuls. Programul are un set standard de controale - meniu, bară de instrumente.... Un raport asupra lucrărilor de laborator efectuate este creat automat în format html. Notă. După ce toate casetele de dialog au fost completate cu valori, butonul este apăsat<Далее>. Dacă rezultatul afișat în fereastra ulterioară nu este satisfăcător, atunci apăsând butonul<Назад> puteți reveni la pașii anteriori și puteți modifica termenii de căutare. 3.1. Pornirea programului Când porniți programul, se deschide o fereastră în care, în bara de meniu Fișier, trebuie să deschideți fișierul salvat după finalizarea celei de-a doua lucrări de laborator (Fig. 1). 3.2. Întocmirea unei sarcini de optimizare Fișierul care descrie circuitul conține parametrii elementelor, inclusiv circuitul echivalent al tranzistorului. În fereastra din stânga trebuie să selectați parametri variabili pentru optimizarea parametrică. Caracteristica necesară, de exemplu, răspunsul în frecvență, este specificată de valorile frecvenței (în Hz) și de valorile corespunzătoare a câștigului (în dB). În următoarea etapă, se setează pasul inițial de măsurare a parametrilor în timpul optimizării (Fig. 2). 15 Fig. 1. Fereastra pentru deschiderea fișierului de intrare Fig. 2. Fereastra de selectare a valorilor de optimizare 16 3.3. Rezultate optimizare În etapa următoare, programul prezintă rezultatele calculului:  minim al funcţiei obiectiv;  parametrii elementelor variabile înainte și după optimizare;  numărul de calcule ale funcţiei ţintă;  scăderea numărului de lungime a pasului și căutări de modele. Criteriul de corectitudine a rezultatelor obţinute este valoarea minimă a funcţiei obiectiv. Pentru un tranzistor bipolar ar trebui să fie aproximativ 10-7 I10-8, iar pentru un tranzistor cu efect de câmp - 10-4 I 10-5 (Fig. 3). Dacă rezultatele optimizării sunt satisfăcătoare, atunci trecem la următoarea etapă - construcția caracteristicilor amplitudine-frecvență sau timp (Fig. 4, 6,). Pentru a determina (găsi) cu precizie lățimea de bandă RES, de ex. frecvențele limită superioară și inferioară, precum și pentru determinarea timpului proceselor tranzitorii, există tabele de calcul (Fig. 5). Orez. 3. Fereastra de calcul după optimizare 17 Fig. 4. Fereastra pentru trasarea răspunsului în frecvență Fig. 5. Valorile răspunsului în frecvență din tabelul 18 Fig. 6. Caracteristicile fereastra de timp 4. CONȚINUTUL LUCRĂRILOR DE LABORATOR 4.1. Procedura 1. Etapa pregătită include familiarizarea cu liniile directoare pentru lucrul de laborator, studierea teoriei optimizării folosind note de curs, surse literare și secțiunea 2 din prezentul ghid. 2. A doua etapă include implementarea lucrărilor teoretice: - formarea cerinţelor pentru caracteristicile optimizate ale SRE; - selectarea unui element sau elemente ale circuitului, în funcție de parametrii cărora se presupune că se va realiza optimizarea. 3. Încărcarea programului de optimizare cu o descriere a circuitului optimizat și o sarcină de optimizare parametrică. 4. Efectuați optimizarea. 5. Calculul caracteristicilor circuitului cu parametri optimizați. 6. Etapa finală. În această etapă, sunt comparate caracteristicile SRE înainte și după optimizare. Pe baza materialelor primite se întocmește un proces-verbal pe coli A4 (297x210) cu atașarea obligatorie a tipăririlor rezultatelor. 4.2. Sarcina de lucru de laborator 1. Pe baza rezultatelor analizei răspunsului în frecvență al amplificatorului obținute în cea de-a doua lucrare de laborator, formulați cerințele pentru un răspuns în frecvență ideal. Selectați metoda pentru specificarea răspunsului în frecvență ideal și coordonatele punctelor de pe graficul răspunsului în frecvență. 19 2. Determinați grupul de elemente ai căror parametri se presupune a fi optimizați. 5. INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU PREGĂTIREA DATELOR INIȚIALE 5.1. Folosind graficul răspunsului în frecvență calculat în timpul celei de-a doua lucrări de laborator, se determină frecvențele limită superioare și inferioare și se clarifică influența corecției inductive de înaltă frecvență. 5.2. Folosind cunoștințele despre circuitele dispozitivelor de amplificare, se determină componente ai căror parametri determină frecvențele limită superioară și inferioară. 5.3. Caracteristica ideală (cerită de specificațiile tehnice) este reprezentată pe graficul răspunsului în frecvență. Sunt selectate puncte de optimizare. Pentru a păstra tipul de răspuns în frecvență în banda de trecere, este, de asemenea, necesar să se selecteze puncte în această parte a caracteristicii. 6. CONȚINUTUL RAPORTULUI 1. Scopul lucrării. 2. Date inițiale sub forma unei scheme de circuit a etajului amplificatorului și parametrii elementelor acesteia înainte de optimizare. 3. Listarea rezultatelor analizei mașinii. 4. Analiza rezultatelor. Concluzii. 7. ÎNTREBĂRI DE AUTOVERIFICARE 1. Numiți o condiție necesară și suficientă pentru existența unui minim de funcție. 2. Ce matrice se numește definit pozitiv? 3. De ce funcția obiectiv este numită funcție de calitate? 4. Numiți proprietatea principală a funcției obiectiv. 5. Care probleme se numesc sinteză parametrică și care se numesc optimizare parametrică? 6. În ce cazuri este legată de problemele de programare neliniară problema căutării numerice a minimului funcției obiectiv? 7. Care este diferența dintre metodele cu gradient pentru căutarea extremului unei funcții și metodele directe? 8. Explicați conceptul de minim global și local. 9. Care sunt limitările în optimizarea parametrică a dispozitivelor radio-electronice? 10. Explicați metoda coborârii coordonate. 11. Cum diferă metoda gradientului conjugat de metoda coborârii celei mai abrupte? 12. Ce înseamnă „căutare model” în metoda Hook-Jeeves? 13. Care sunt criteriile pentru încheierea procesului de optimizare iterativă? 20 REFERINȚE 1. Sisteme de proiectare asistată de calculator în electronică radio: Director / E.V. Avdeev, A.T. Eremin, I.P. Norenkov, M.I. Peskov; Ed. I.P. Norenkova. M.: Radio și comunicare, 1986. 368 p. 2. Bundy B. Metoda de optimizare. Curs introductiv: Per. din engleza M.: Radio și comunicare, 1988. 128 p. 3. Vlah I., Singhal K. Metode de mașină pentru analiza și proiectarea circuitelor electronice. M.: Radio și comunicații. 1988. 560 p. 4. Culegere de probleme privind tehnologia microcircuitelor: Proiectare asistată de calculator: Tutorial pentru universități / V.I. Anisimov, P.P. Azbelev, A.B. Isakov și alții; Ed. IN SI. Anisimova. L.: Energoatomizdat, departamentul Leningrad, 1991. 224 p. 5. Sisteme de dialog pentru proiectarea circuitelor / V.N. Anisimov, G.D. Dmitrievici, K.B. Skobeltsyn şi colab.; Ed. V.N. Anisimova. M.: Radio și comunicare, 1988. 288 p. 6. Razevici V.D., Rakov V.K., Kapustyan V.I. Analiza mașinilor și optimizarea circuitelor electronice: un manual pentru cursurile „Dispozitive de amplificare” și „Dispozitive de recepție radio”. M.: MPEI, 1981. 88 p. 7. Manual de analiză matematică / Tabueva V.A. Matematică, analiză matematică: Manual. Ekaterinburg: USTU-UPI, 2001. 494 p. 8. Kiiko V.V. Kochkina V.F. Vdovkin K.A. Analiza circuitelor electronice folosind metoda modificată a potențialelor nodale. Ekaterinburg: UGTUUPI, 2004. 31 p. 21

În practică, în mod constant apar situații când un anumit rezultat poate fi obținut nu într-unul, ci în multe moduri diferite. O persoană individuală se poate găsi într-o situație similară, de exemplu, atunci când decide repartizarea cheltuielilor sale și o întreagă întreprindere sau chiar o industrie, dacă este necesar să se determine cum să folosească resursele de care dispune pentru a realizarea maximă a producției și, în sfârșit, o economie națională în ansamblu. Desigur, cu un număr mare de soluții, trebuie aleasă cea mai bună.

Succesul rezolvării marii majorități a problemelor economice depinde de cel mai bun și mai profitabil mod de a folosi resursele. Iar rezultatul final al activității va depinde de modul în care acestea, de regulă, sunt distribuite resurse limitate.

Esența metodelor de optimizare (programare optimă) este de a alege, pe baza disponibilității anumitor resurse, o metodă de utilizare (distribuție) a acestora care să asigure maximul sau minim al indicatorului de interes.

O condiție necesară pentru utilizarea unei abordări optime a planificării (principiul optimității) este flexibilitatea și situațiile alternative de producție și economice în care trebuie luate deciziile de planificare și management. Tocmai astfel de situații constituie, de regulă, practica zilnică a unei entități economice (selectarea unui program de producție, atașarea la furnizori, rutarea, tăierea materialelor, pregătirea amestecurilor).

Programarea optimă oferă astfel o soluție de succes la o serie de probleme extreme de planificare a producției. În domeniul analizei macroeconomice, previziunii și planificării, programarea optimă vă permite să alegeți o variantă a planului economic național (programul de dezvoltare), caracterizată prin raportul optim dintre consum și economii (acumulări), ponderea optimă a investițiilor industriale în venitul naţional, raportul optim dintre coeficientul de creştere şi coeficientul de rentabilitate al economiei naţionale etc. d.

Programarea optimă asigură obținerea unor rezultate practic valoroase, întrucât prin natura sa este pe deplin în concordanță cu natura proceselor și fenomenelor tehnice și economice studiate. Din punct de vedere matematic și statistic, această metodă este aplicabilă numai acelor fenomene care sunt exprimate prin mărimi pozitive și formează în totalitatea lor o uniune de mărimi interdependente, dar diferite calitativ. Aceste condiții, de regulă, corespund cantităților care caracterizează fenomenele economice. Un cercetător în economie are întotdeauna în fața lui un anumit set de diferite tipuri de cantități pozitive. Când rezolvă probleme de optimizare, un economist se ocupă întotdeauna nu de una, ci de mai multe cantități sau factori interdependenți.

Programarea optimă nu poate fi aplicată decât acelor probleme în care rezultatul optim este atins doar sub forma unor obiective precis formulate și sub restricții bine definite, rezultate de obicei din resursele disponibile (capacitate de producție, materii prime, resurse de muncă etc.). Condițiile problemei includ de obicei un sistem formulat matematic de factori interdependenți, resurse și condiții care limitează natura utilizării lor.

Problema devine rezolvabilă atunci când sunt introduse în ea anumite estimări atât pentru factori interdependenți, cât și pentru rezultatele așteptate. În consecință, optimitatea rezultatului unei probleme de programare este relativă. Acest rezultat este optim numai din punctul de vedere al criteriilor după care este evaluat și al restricțiilor introduse în problemă.

Pe baza celor de mai sus, orice problemă de programare optimă se caracterizează prin următoarele trei puncte:

1) prezența unui sistem de factori interdependenți;

2) un criteriu strict definit de apreciere a optimității;

3) formularea precisă a condiţiilor care limitează utilizarea resurselor sau factorilor disponibili.

Din multe opțiuni posibile, este selectată o combinație alternativă care îndeplinește toate condițiile introduse în problemă și oferă valoarea minimă sau maximă a criteriului de optimitate selectat. Rezolvarea problemei se realizează prin utilizarea unui anumit procedeu matematic, care constă în aproximări succesive opțiuni raționale, corespunzătoare combinației de factori selectate, unui singur plan optim.

Din punct de vedere matematic, acest lucru poate fi redus la găsirea valorii extreme a unei anumite funcții, adică la o problemă ca:

Găsiți max (min) f(x) cu condiția ca variabila x (punctul x) să treacă printr-o mulțime dată X:

f(x) ® max (min), x I Х (4.1)

Problema definită în acest fel se numește problemă de optimizare. Mulțimea X se numește mulțimea admisibilă a unei probleme date, iar funcția f(x) se numește funcție obiectiv.

Deci, o sarcină de optimizare este aceea care constă în alegerea dintr-un anumit set de soluții admisibile (adică, permise de circumstanțele cazului) (X) acelor soluții (x) care într-un sens sau altul pot fi calificate drept optime. Mai mult, admisibilitatea fiecărei soluții este înțeleasă în sensul posibilității existenței sale efective, iar optimitatea - în sensul oportunității sale.

Multe depind de forma în care este specificată mulțimea admisibilă X. În multe cazuri, acest lucru se face folosind un sistem de inegalități (egalități):

q1 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

q2 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0, (4.2)

……………………………..

qm (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

unde q1, q2, … , qm sunt unele funcții, (x1, x2, … , xn) = x – punctul de trecere x este specificat de o mulțime de mai multe numere (coordonate), fiind un punct în spațiul aritmetic n-dimensional Rn. În consecință, mulțimea X este o submulțime în Rn și constituie o mulțime de puncte (x1, x2, ..., xn) I Rn și care satisfac sistemul de inegalități (2.2.2).

Funcția f(x) devine o funcție a n variabile f(x1, x2, ..., xn), optimul (max sau min) care trebuie găsit.

Este clar că este necesar să se găsească nu numai valoarea lui max (min) în sine (x1, x2, ..., xn), ci și punctul sau punctele, dacă există mai multe, la care această valoare este realizat. Astfel de puncte se numesc soluții optime. Mulțimea tuturor soluțiilor optime se numește mulțime optimă.

Problema descrisă mai sus este o problemă generală de programare optimă (matematică), a cărei construcție se bazează pe principiile optimității și consistenței. Funcția f se numește funcție obiectiv, inegalitățile (egalitățile) qi (x1, x2, ... , xn) (? , = , ?) 0, i = 1, 2, ... , m sunt restricții. În cele mai multe cazuri, restricțiile includ condițiile pentru non-negativitatea variabilelor:

x1 ? 0, x2 ? 0, … , xn ? 0,

sau părți ale variabilelor. Cu toate acestea, acest lucru poate să nu fie necesar.

În funcție de natura funcțiilor de constrângere și a funcției obiectiv, se disting diferite tipuri de programare matematică:

1. programare liniară – funcțiile sunt liniare;

2. programare neliniară – cel puțin una dintre aceste funcții este neliniară;

3. programare pătratică – f(x) este o funcție pătratică, constrângerile sunt liniare;

4. programare separabilă – f(x) este suma funcțiilor care sunt diferite pentru fiecare variabilă, condiții – restricțiile pot fi atât liniare, cât și neliniare;

5. programare cu numere întregi (liniară sau neliniară) – coordonatele punctului x dorit sunt doar numere întregi;

6. programare convexă – funcția obiectiv este convexă, funcțiile – constrângeri – sunt convexe, adică se consideră funcții convexe pe mulțimi convexe etc.

Cel mai simplu și cel mai frecvent caz este atunci când aceste funcții sunt liniare și fiecare dintre ele are forma:

а1х1 + а2х2 + … аnхn + b,

adică există o problemă de programare liniară. Se estimează că în prezent aproximativ 80-85% din toate problemele de optimizare rezolvate în practică sunt probleme de programare liniară.

Combinând simplitatea și ipotezele realiste, această metodă are în același timp un potențial enorm în determinarea celor mai bune planuri din punctul de vedere al criteriului ales.

Primele cercetări în domeniul programării liniare, care vizează alegerea planului optim de lucru în cadrul complexului de producție, datează de la sfârșitul anilor 30 ai secolului nostru și este asociată cu numele de L.V. Kantorovich. În tradiția științifică internă, el este considerat a fi primul dezvoltator al acestei metode.

În anii 1930, în perioada de dezvoltare economică și industrială intensivă a Uniunii Sovietice, Kantorovich a fost în fruntea cercetării matematice și a căutat să aplice dezvoltările sale teoretice la practica economiei sovietice în creștere. O astfel de oportunitate s-a prezentat în 1938, când a fost numit consultant la laboratorul unei fabrici de placaj. El a fost însărcinat cu dezvoltarea unei metode de alocare a resurselor care; putea maximiza performanța echipamentului, iar Kantorovich, formulând problema în termeni matematici, a produs o maximizare a unei funcții liniare supusă unui număr mare de limitatori. Fără o educație economică pură, el știa totuși că maximizarea sub numeroase constrângeri este una dintre problemele fundamentale ale economiei și că metoda care facilitează planificarea în fabricile de placaj poate fi folosită în multe alte industrii, fie că se determină utilizarea optimă a terenurilor de cultură, fie cel mai mult. distribuirea eficientă a fluxurilor de trafic.

Vorbind despre dezvoltarea acestei metode în Occident, ar trebui spus despre Tjalling Koopmans, un economist matematician american de origine olandeză.

În misiunea flotei comerciale, Koopmans a încercat să dezvolte rutele flotelor aliate în așa fel încât să reducă la minimum costul livrării mărfurilor. Sarcina era extrem de complexă: mii de nave comerciale transportau milioane de tone de marfă de-a lungul rutelor maritime între sute de porturi împrăștiate în întreaga lume. Această lucrare a oferit lui Koopmans ocazia de a-și aplica cunoștințele matematice la o problemă economică fundamentală - alocarea optimă a resurselor limitate între consumatorii concurenți.

Koopmans a dezvoltat o tehnică analitică numită analiza activității care a schimbat dramatic modul în care economiștii și managerii au abordat alocarea rutelor. El a descris pentru prima dată această tehnică în 1942, numind-o „Raporturi de schimb între mărfuri pe diverse rute”, unde a arătat posibilitatea de a aborda problema distribuției ca o problemă matematică de maximizare în limite. Valoarea supusă creșterii maxime este costul mărfii livrate, egal cu suma costurilor mărfii livrate în fiecare dintre porturi. Constrângerile au fost reprezentate de ecuații care exprimă raportul dintre numărul de factori de producție consumați (de exemplu, nave, timp, forță de muncă) și cantitatea de marfă livrată către diferite destinații, unde valoarea oricărui cost nu trebuie să depășească cantitatea disponibilă. .

În timp ce lucra la problema de maximizare, Koopmans a dezvoltat ecuații matematice care și-au găsit o aplicare largă atât în ​​teoria economică, cât și în practica de management. Aceste ecuații au determinat pentru fiecare producție un coeficient egal cu prețul acestui cost în condițiile unor piețe competitive ideale. S-a stabilit astfel o legătură fundamentală între teoriile eficienței producției și teoriile distribuției prin piețe competitive. În plus, ecuațiile lui Koopmans au fost de mare valoare pentru planificatorii centrali, care puteau folosi aceste ecuații pentru a determina prețurile adecvate pentru diverse intrări, lăsând în același timp selecția rutelor optime la discreția directorilor locali, a căror responsabilitate era maximizarea profiturilor. Metoda de analiză a activității ar putea fi utilizată pe scară largă de către orice manager în planificarea proceselor de producție.

În 1975 L.V. Kantorovich și Tjalling C. Koopmans au primit Premiul Nobel „pentru contribuțiile lor la teoria alocării optime a resurselor”.

Vorbind despre primele cercetări în domeniul programării liniare, nu se poate să nu menționăm un alt om de știință american - George D. Danzig. Formularea specifică a metodei de programare liniară datează din munca sa efectuată pentru forțele aeriene americane în timpul celui de-al Doilea Război Mondial, când a apărut problema coordonării acțiunilor unei mari organizații în chestiuni precum stocarea, producția și întreținerea echipamentelor și logisticii, și existau alternative și limitări. În plus, la un moment dat J. Danzing a lucrat împreună cu V.V. Leontiev și metoda simplex pentru rezolvarea problemelor de optimizare liniară (folosită cel mai adesea pentru rezolvarea acestora) a apărut în legătură cu una dintre primele aplicații practice ale metodei echilibrului intrare-ieșire.

Respingerea definiției dominante în prezent

Teoria economică este știința căreia dintre resursele productive rare oamenii și societatea, de-a lungul timpului, cu sau fără ajutorul banilor, selectează pentru producerea diferitelor bunuri și distribuirea lor pentru consum în prezent și viitor între diferite persoane și grupuri de persoane. societate.

În favoarea scurtei

ET este știința optimizării economiei (managementului) la toate nivelurile până la nivel global.

Legat de capacitățile conceptului de optimizare

OPTIMIZAREA (una dintre formulări) - determinarea valorilor indicatorilor economici la care se atinge optimul, adică cea mai bună stare a sistemului. Cel mai adesea, optimul corespunde obținerii celui mai mare rezultat cu o anumită cheltuială de resurse sau atingerea unui anumit rezultat cu o cheltuială minimă de resurse. http://slovari.yandex.ru/dict/economic

Sau Optimizare (din latinescul optim - cel mai bun) - procesul de găsire a extremului (maximum sau minim global) al unei anumite funcții sau alegerea celei mai bune (optimale) opțiuni dintre multe posibile. Cea mai fiabilă modalitate de a găsi cea mai bună opțiune este o evaluare comparativă a tuturor opțiunilor posibile (alternative).
Dacă numărul de alternative este mare, metodele de programare matematică sunt de obicei folosite pentru a găsi cea mai bună. Metodele pot fi aplicate dacă există o formulare strictă a problemei: se specifică un set de variabile, se stabilește aria posibilei modificări a acestora (se precizează constrângeri) și tipul funcției obiectiv (funcția al cărei extrem trebuie găsit) din aceste variabile se determină. Acesta din urmă este o măsură cantitativă (criteriu) de evaluare a gradului de realizare a scopului. În problemele dinamice, când constrângerile impuse variabilelor depind de timp, se folosesc metode pentru a găsi cea mai bună cale de acțiune control optimși programare dinamică.

Pentru a găsi cea optimă dintr-un număr mare de opțiuni raționale, sunt necesare informații despre preferința diferitelor combinații de valori ale indicatorilor care caracterizează opțiunile. În lipsa acestor informații cea mai buna varianta Managerul responsabil cu luarea deciziei selectează dintre cei raționali...

Introducerea conceptului de optimizare în definiție teorie economică reduce șansele de discuții generale în această știință.

Teoria economică așa cum o cere știința optimizării economiei

Optimizarea aparatului conceptual al acestei teorii;
- optimizarea metodelor de cercetare economică;
- optimizarea luării în considerare și definirii fiecărui concept;
- optimizarea deciziilor economice la toate nivelurile vieții economice;
- utilizarea criteriilor de optimitate la evaluarea oricăror fenomene economice.

Obiectivele educației economice:
formarea bazelor gândirii de optimizare economică;
dezvoltarea alfabetizării economice funcționale și a abilităților de optimizare a autodezvoltării;
dezvoltarea abilităților practice de luare a deciziilor optime în diverse situații economice;

Obiectivele educației economice:
să dezvolte cunoștințele, abilitățile și abilitățile necesare pentru optimizarea vieții economice;
dezvolta o cultură a gândirii de optimizare economică, învață cum să folosești instrumentele de optimizare economică.

Clasicii economiei politice recunosc castigul personal drept criteriu al optimitatii.
Neoclasicismul și mișcările apropiate acestuia nu sunt nici împotriva egoismului economic.

Teoria economică, cu accent pe optimizare, acceptă interesul personal ca un caz special (deși comun) de decizii economice la toate nivelurile.

În același timp, un astfel de ET permite la toate nivelurile optimitatea beneficiului colectiv, beneficiul principal al majorității (în special tuturor) participanților la orice nivel al vieții economice: familial (unde sunt 2 sau mai mulți membri ai familiei), local, regional. , de stat, interstatal, global...

Beneficiile diverse (private și generale) - ca criteriu de optimitate - sunt și ele caracteristice naturii vii (http://ddarwin.narod.ru/), include și beneficii din însăși supraviețuirea oricărui sistem.

Teoria economică dominantă în prezent (intens competitivă, „piață”) justifică doar beneficiile private, deseori închizând cu timiditate ochii la eforturile țărilor și popoarelor de a obține beneficii comune (uneori inevitabil în detrimentul celor private) în numele existenței. sisteme economice diferite niveluri. Începând cu mic aşezăriși familii individuale (de exemplu fermieri).

ET ca știință a optimizării economiei (managementului) la toate nivelurile până la global permite o mai mare explorare a armonizării intereselor personale și comune pentru supraviețuirea tuturor entităților de afaceri.

Diverse aspecte ale optimizării afacerii grupuri sociale practicat încă din timpurile primitive. Procesele de optimizare s-au intensificat în ultimele milenii odată cu formarea statelor, apariția unor mari grupuri polietnice în China și India, Egipt și Sumer, în vastitatea Sciției și a altor regiuni. Fără diverse forme de optimizare (una sau alta coordonare a intereselor, adesea violentă), viața economică este imposibilă.

Optimitatea este legată de eficiență și eficiență de optimitate. Această conexiune trece prin toate conceptele de bază chiar și ale ET încă dominant.

Nevoi și beneficii economice, utilitate.
Resursele economice, tipurile lor, limitările resurselor (și utilizarea lor optimă).
Alegerea economică. Cost de oportunitate. Principiul creșterii costurilor economice. Curba posibilităților de producție.
Conceptul de eficienta. Criteriul de eficiență și optimitate Pareto. Eficiența resurselor și eficiența alocativă.
Teoria pozitivă și normativă. Politică economică. Sisteme economice.
Sistemul pieței. Piaţă. Competiție.
Cerere și preț. Funcția și curba cererii. Factorii cererii. Legea cererii. Beneficiul consumatorului. Cererea individuală și a pieței.
Oferta si pretul. Funcția și curba ofertei. Factori de ofertă. Legea ofertei. Câștigul producătorului.
Echilibrul pieței dintre cerere și ofertă. Pretul echilibrului. Deficite și excedente.
Influența taxelor și subvențiilor pe produse, distribuția sarcinii fiscale.
Elasticitatea prețului cererii și proprietățile acesteia. Elasticitatea arcului.
Elasticitate încrucișată. Elasticitatea cererii la venit. Elasticitatea prețului a ofertei.
Condiții preliminare pentru analiza alegerii consumatorului. Utilitate. Utilității marginale.
Echilibrul consumatorului în teoria cardinalistă.
Preferințele consumatorilor. Curbe de indiferență.
Constrângere bugetară. Poziția de echilibru a consumatorului.
Modificări ale veniturilor consumatorilor și ale prețurilor bunurilor. Efect de substitutie. Efectul venitului.
Beneficii ordin inferior. Interschimbabilitatea și complementaritatea mărfurilor.
Productie. Factori de productie. Factori de venit.
Conceptul de funcție de producție.
Produs total, mediu și marginal.
Legea scăderii productivității marginale
Isoquant și proprietățile sale. Isocosta. Echilibrul producătorului
Firma: concept, tipuri.
Costuri ferme. Costuri fixe și variabile.
Costuri generale. Costuri medii.
Costuri marginale.
Contabilitate si profit economic
Venitul total, mediu și marginal al companiei.
Diferite tipuri de structuri de piață.
Competitie perfecta
Echilibrul unei firme competitive pe termen scurt
Echilibrul unei firme competitive pe termen lung
Monopol pur. Determinarea prețului și volumului producției în condiții de monopol. Indicatori ai puterii de piata. Consecințele economice ale monopolului.
Competiție monopolistică. Stabilirea prețurilor și a volumelor de producție în condiții Competiție monopolistică. Concurență non-preț. Diversificarea produselor.
Oligopol. Determinarea prețului și a volumului producției într-un oligopol.
Piețe pentru factorii de producție: muncă, capital, pământ. Formarea cererii de factori de producție, natura sa derivată.
Piața forței de muncă. Cererea si oferta pe piata muncii.
Monopsoniul și monopolul bilateral pe piața muncii. Rolul sindicatelor. Eficient salariu. Teoria capitalului uman. Investind în educație.
Piata de capital. Fizice și capital monetar. Capital și dobândă la împrumut. Cererea și oferta de fonduri împrumutate.
Rata dobânzii în condiții de concurență perfectă. Ratele dobânzii reale și nominale. Rata dobânzii de echilibru.
Deciziile de investiții ale firmelor. Principiul reducerii. Evaluarea eficacității investițiilor.
Echilibru parțial și general. Echilibrul general și eficiența alocativă.
Criterii de eficiență într-o economie de piață.
Criteriul de eficiență și optimul Pareto (și aici).
Eficiență și Justiție socială, optimul social și economic. Principiul de compensare (principiul Kaldor-Hicks).
„Eșecuri ale pieței” Sistemul de securitate socială.
Inegalitate, sărăcie și discriminare. Distribuirea veniturilor. curba Lorenz. coeficientul Gini.
Bunuri publice. Cererea și oferta de bunuri publice. Analiza comparativă a bunurilor publice și private.
Costuri private și sociale. Beneficii private (interne) și sociale (externe). Problema pieței bunurilor publice și rolul de reglementare al statului.
Furnizarea de bunuri publice prin instituții politice. Alegerea publică în democrația directă și reprezentativă. Deciziile luate la aprobare. Regulile majorității. Lobby. Căutători politici de chirie.
Externalități: externalități pozitive și negative.
Problema internalizării efectelor externe. Politica de stat: taxe corective și subvenții.
Teoria dreptului de proprietate. Teorema Coase. Costurile tranzactiei. Piața drepturilor de proprietate.

Se pare că nu este nevoie să le demonstrăm economiștilor moderni perspectivele optimității ca principală problemă a teoriei economice moderne. Aproape fiecare specialist se gândește la optimizarea economiei la toate nivelurile.

ET modern ar trebui să justifice pur și simplu aceste eforturi ale specialiștilor.