Sistemele de control automate optime sunt sisteme în care controlul se realizează în așa fel încât criteriul de optimitate cerut să aibă o valoare extremă. Condiții limită care definesc stările inițiale și finale necesare ale sistemului; scopul tehnologic al sistemului. tн Se stabilește în cazurile în care abaterea medie pe un anumit interval de timp prezintă un interes deosebit și sarcina sistemului de control este de a asigura un minim din această integrală...

Distribuiți-vă munca pe rețelele sociale

Dacă această lucrare nu vă convine, în partea de jos a paginii există o listă cu lucrări similare. De asemenea, puteți utiliza butonul de căutare

Control optim

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Fundamentele teoriei reglării și controlului automat. M.: Şcoala superioară, 1977. 519 p. p. 477 491.

Pistoale autopropulsate optime acestea sunt sisteme în care controlul se realizează în aşa fel încât criteriul de optimitate cerut să aibă o valoare extremă.

Exemple de management optim al obiectelor:

1. Controlul mișcării unei rachete pentru a atinge o înălțime sau o rază de acțiune dată cu un consum minim de combustibil;
2. Controlul mișcării unui mecanism acționat de un motor, ceea ce ar minimiza costurile cu energie;
3. Controlul unui reactor nuclear pentru performanță maximă.

Problema de control optim este formulată după cum urmează:

„Găsiți o astfel de lege a schimbării în timpul de control u(t ), în care sistemul, sub anumite restricții, se va muta de la o stare dată la alta într-un mod optim în sensul că funcțional eu , exprimând calitatea procesului, va primi o valoare extremă”.

Pentru a rezolva problema de control optim, trebuie să știți:

1. Descrierea matematică a obiectului și a mediului, conectând valorile tuturor coordonatelor procesului studiat, controlul și influențele perturbatoare;

2. Restricții fizice asupra coordonatelor și legii de control, exprimate matematic;

3. Condiții la limită care definesc stările inițiale și finale necesare ale sistemului

(scopul tehnologic al sistemului);

4. Funcția obiectivă (funcțională de calitate

scop matematic).

Din punct de vedere matematic, criteriul de optimitate este cel mai adesea prezentat astfel:

t la

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + φ [ y (t la), t la ], (1)

t n

unde primul termen caracterizează calitatea controlului pe întreg intervalul ( tn, tn) și se numește

componentă integrală, al doilea termen

caracterizează precizia la momentul final (terminal) în timp t la .

Expresia (1) se numește funcțională, deoarece eu depinde de alegerea funcției u(t ) și rezultatul YT).

Problema Lagrange.Minimizează funcționalitatea

t la

I=∫f o dt.

t n

Este utilizat în cazurile în care abaterea medie în timp prezintă un interes deosebit.

un anumit interval de timp, iar sarcina sistemului de control este de a asigura un minim din această integrală (deteriorarea calității produsului, pierdere etc.).

Exemple de funcționalitate:

I =∫ (t) dt criteriu pentru eroarea minimă în regim stabil, unde x(t)

1. abaterea parametrului controlat de la valoarea specificată;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min criteriul pentru viteza maximă a tunurilor autopropulsate;

I =∫ dt => min criteriul eficienţei optime.

problema lui Mayer. În acest caz, funcționalitatea care este minimizată este cea definită numai de partea terminală, adică.

I = φ =>min.

De exemplu, pentru un sistem de control al aeronavei descris de ecuație

F o (x, u, t),

puteți seta următoarea sarcină: determinați controlul u (t), t n ≤ t ≤ t k astfel încât pentru

timpul de zbor dat pentru a atinge intervalul maxim, cu condiția ca în momentul final al timpului t la Aeronava va ateriza, adică x (t la ) =0.

Problema Boltz se reduce la problema minimizării criteriului (1).

Metodele de bază pentru rezolvarea problemelor de control optim sunt:

1.Calcul clasic al variațiilor Teorema și ecuația lui Euler;

2. Principiul L.S maxim. Pontryagin;

3.Programare dinamică de R. Bellman.

ECUAȚIA ȘI TEOREMA LUI EULER

Să fie dată funcționalitatea:

t la

I =∫ f o dt ,

t n

Unde unele funcții de două ori diferențiabile, printre care este necesar să se găsească astfel de funcții ( t ) sau extremale , care îndeplinesc condițiile la limită specificate x i (t n), x i (t k ) și minimizați funcționalitatea.

Extremele se găsesc printre soluțiile ecuației lui Euler

eu = .

Pentru a stabili faptul de a minimiza funcționalitatea, este necesar să ne asigurăm că condițiile Lagrange sunt îndeplinite de-a lungul extremelor:

similar cu cerințele pentru pozitivitatea derivatei a doua în punctul minim al funcției.

Teorema lui Euler: „Dacă extremul funcționalului eu există și se realizează printre curbele netede, atunci poate fi realizat doar pe extreme.”

PRINCIPIUL MAXIM AL L.S.PONTRYAGIN

Școala lui L.S. Pontryagin a formulat o teoremă despre condiția necesară a optimității, a cărei esență este următoarea.

Să presupunem că ecuația diferențială a obiectului, împreună cu partea neschimbabilă a dispozitivului de control, este dată în forma generală:

Pentru a vă controla j restricțiile pot fi impuse, de exemplu, sub formă de inegalități:

, .

Scopul controlului este de a transfera obiectul din starea inițială ( t n ) la starea finală ( t la ). Sfârșitul procesului t la poate fi fix sau gratuit.

Fie criteriul de optimitate minimul funcționalului

I = dt.

Să introducem variabile auxiliare și să formăm o funcție

Fo ()+ f () f ()+

Principiul maximului prevede ca pentru ca sistemul sa fie optim, i.e. pentru a obține minimul funcționalului, este necesar să existe astfel de funcții continue non-nule care să satisfacă ecuația

Asta pentru orice t , situat într-un interval dat t n≤ t ≤ t k , valoarea lui H, în funcție de controlul admisibil, atinge un maxim.

Maximul funcției H este determinat din condițiile:

dacă nu ajunge la limitele regiunii, iar ca suprem al funcției H, în caz contrar.

Programare dinamică de R. Bellman

Principiul optimității lui R. Bellman:

„Comportamentul optim are proprietatea că, indiferent de starea și decizia inițială la momentul inițial, deciziile ulterioare trebuie să constituie un comportament optim în raport cu starea rezultată din prima decizie.”

„Comportamentul” sistemului trebuie înțeles circulaţie aceste sisteme și termenul„decizie” se referă laalegerea legii schimbării în timp a forţelor de control.

În programarea dinamică, procesul de căutare a extremelor este împărțit în n pași, în timp ce în calculul clasic al variațiilor se efectuează căutarea întregului extremal.

Procesul de căutare a unui extremal se bazează pe următoarele premise ale principiului optimității lui R. Bellman:

1. Fiecare segment al traiectoriei optime este el însuși o traiectorie optimă;
2. Procesul optim la fiecare sit nu depinde de istoricul acestuia;
3. Controlul optim (traiectoria optimă) este căutat folosind mișcarea înapoi [de la y (T) la y (T -∆), unde ∆ = T/ N, N numărul de secțiuni ale traiectoriei etc.].

Din punct de vedere euristic, ecuațiile Bellman pentru enunțurile problemei necesare sunt derivate pentru sisteme continue și discrete.

Control adaptiv

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Capitole selectate de teoria controlului automat cu exemple în limbaj MATLAB . Sankt Petersburg: Nauka, 1999. 467 p. Capitolul 12.

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Fundamentele teoriei reglării și controlului automat. M.: Şcoala superioară, 1977. 519 p. p. 491 499.

Ankhimyuk V.L., Opeiko O.F., Mikheev N.N. Teoria controlului automat. Mn.: Design PRO, 2000. 352 p. p. 328 340.

Necesitatea sistemelor de control adaptive apare din cauza complicației semnificative a problemelor de control care se rezolvă, iar o caracteristică specifică a acestei complicații este lipsa oportunității practice pentru un studiu și descriere detaliată a proceselor care au loc în obiectul controlat.

De exemplu, aeronavele moderne de mare viteză, date precise a priori ale căror caracteristici în toate condițiile de operare nu pot fi obținute din cauza variațiilor semnificative ale parametrilor atmosferici, gamelor mari de viteze de zbor, intervale și altitudini, precum și datorită prezenței a unei game largi de perturbaţii parametrice şi externe.

Unele obiecte de control (aeronave și rachete, procese tehnologice și centrale electrice) se disting prin faptul că caracteristicile lor statice și dinamice se modifică într-o gamă largă într-un mod care nu a fost anticipat în prealabil. Gestionarea optimă a unor astfel de obiecte este posibilă cu ajutorul sistemelor în care informațiile lipsă sunt completate automat de sistemul însuși în timpul funcționării.

Adaptiv (lat.) adaptio ”dispozitiv) sunt acele sisteme care, la modificarea parametrilor obiectelor sau a caracteristicilor influențelor externe în timpul funcționării, în mod independent, fără intervenția omului, modifică parametrii regulatorului, structura acestuia, setările sau influențele de reglementare pentru a menține modul optim de funcționare al obiectul.

Crearea sistemelor de control adaptiv se realizează în condiții fundamental diferite, adică metodele adaptative ar trebui să contribuie la realizarea Calitate superioară controlul în absența unei completități suficiente a informațiilor a priori despre caracteristicile procesului controlat sau în condiții de incertitudine.

Clasificarea sistemelor adaptive:

Autoadaptare

(adaptativ)

Sistem de control

Sisteme de auto-învățare cu autoajustare cu adaptare

Sisteme de sisteme în faze speciale

state

Căutare fără căutare- Training- Training- Relay Adaptive

(extrem (analizat cu stimulente fără sistem de auto-oscilare cu

Noi) variabile de stimulare tic

Structura sistemelor sistemelor

Diagrama structurală a clasificării AS (în funcție de natura procesului de adaptare)

Sisteme de autoajustare (SNS)sunt sisteme în care adaptarea la condițiile de funcționare în schimbare se realizează prin modificarea parametrilor și acțiunile de control.

Auto-organizareAcestea sunt sisteme în care adaptarea se realizează prin modificarea nu numai a parametrilor și acțiunilor de control, ci și a structurii.

Auto-învățareacesta este un sistem de control automat în care modul optim de funcționare al obiectului controlat este determinat folosind un dispozitiv de control, algoritmul căruia este îmbunătățit automat în mod intenționat în procesul de învățare prin căutare automată. Căutarea se efectuează folosind un al doilea dispozitiv de control, care este o parte organică a sistemului de auto-învățare.

În motoarele de căutare sisteme, modificarea parametrilor dispozitivului de control sau acțiunea de control se efectuează ca urmare a căutării condițiilor pentru extremul indicatorilor de calitate. Căutarea condițiilor extreme în sistemele de acest tip se realizează folosind influențe de testare și evaluarerezultate obţinute.

În non-căutare sisteme, determinarea parametrilor dispozitivului de control sau a acțiunilor de control se realizează pe baza determinării analitice a condițiilor care asigură calitatea specificată a controlului fără utilizarea semnalelor speciale de căutare.

Sisteme cu adaptare în stări de fază specialăutilizați moduri sau proprietăți speciale ale sistemelor neliniare (moduri de auto-oscilație, moduri de alunecare) pentru a organiza modificări controlate ale proprietăților dinamice ale sistemului de control. Moduri speciale organizate special în astfel de sisteme fie servesc ca o sursă suplimentară de informații operaționale despre condițiile de funcționare în schimbare ale sistemului, fie dotează sistemele de control cu ​​noi proprietăți, datorită cărora caracteristicile dinamice ale procesului controlat sunt menținute în limitele dorite. , indiferent de natura modificărilor care apar în timpul funcționării.

Când se utilizează sisteme adaptive, sunt rezolvate următoarele sarcini principale:

1 . În timpul funcționării sistemului de control, când parametrii, structura și influențele externe se modifică, este asigurat un control în care sunt menținute proprietățile dinamice și statice specificate ale sistemului;

2 . În timpul procesului de proiectare și punere în funcțiune, în absența inițială a informațiilor complete despre parametrii, structura obiectului de control și influențele externe, setare automată sisteme în conformitate cu proprietățile dinamice și statice specificate.

Exemplul 1 . Sistem adaptiv de stabilizare a poziției unghiulare a aeronavei.

f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f (t) f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

u (t) W 1 (p) W 0 (p) y (t)

+ -

Orez. 1.

Sistem adaptiv de stabilizare a aeronavei

Când condițiile de zbor se schimbă, funcția de transfer se schimbă W 0 (pag ) aeronave și, în consecință, caracteristicile dinamice ale întregului sistem de stabilizare:

. (1)

Indignare din afară Mediul extern f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), conducând la modificări controlate ale parametrilor sistemului, sunt aplicate în diferite puncte ale obiectului.

Influență tulburătoare f(t ) aplicat direct la intrarea obiectului de control, spre deosebire de f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) nu își modifică parametrii. Prin urmare, în timpul funcționării sistemului, numai f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t).

În conformitate cu principiul feedback-ului și expresia (1), modificări necontrolate ale caracteristicilor W 0 (pag ) din cauza perturbațiilor și interferențelor provoacă modificări relativ mici ale parametrilor Ф( p) .

Dacă stabilim sarcina unei compensări mai complete a modificărilor controlate, astfel încât funcția de transfer Ф(р) a sistemului de stabilizare a aeronavei să rămână practic neschimbată, atunci caracteristica controlerului ar trebui modificată în mod corespunzător W 1 (pag ). Acest lucru se realizează într-un pistol autopropulsat adaptabil, realizat conform schemei din Fig. 1. Parametri de mediu caracterizați prin semnale f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), de exemplu, presiunea de cap de viteză P H(t) , temperatura ambientala T0(t) și viteza de zbor v(t) , sunt măsurate continuu de senzorii D 1, D 2, D 3 , iar valorile actuale ale parametrilor sunt trimise la dispozitivele de calcul B 1, B 2, B 3 , producând semnale cu ajutorul cărora se reglează caracteristica W 1 (pag ) pentru a compensa modificările caracteristicilor W0(p).

Cu toate acestea, în ASAU de acest tip(cu o buclă deschisă de ajustare) nu există o autoanaliză a eficacității modificărilor controlate pe care le face.

Exemplul 2. Sistemul de control al vitezei de zbor extreme a aeronavei.

Z Perturbare

Impact

X 3 = X 0 - X 2

Dispozitiv automat X 0 Amplificare X 4 Executive X 5 Ajustabil X 1

Obiect dispozitiv convertor matematic

Extremum iska + - dispozitiv

Măsurare

Dispozitiv

Fig. 2. Schema funcțională a unui sistem de control al vitezei de zbor extreme a aeronavei

Sistemul extremal determină cel mai profitabil program, adică. apoi valoarea X 1 (viteza necesară aeronavei), care este necesară în acest moment susțin că se produce un consum minim de combustibil pe unitatea de lungime a traseului.

Z - caracteristicile obiectului; X 0 - influenţa controlului asupra sistemului.

(valoarea consumului de combustibil)

y(0)

YT)

Sisteme de auto-organizare

Aceste standarde normalizează separat fiecare componentă a microclimatului în Zona de lucru spațiile de producție: temperatura, umiditatea relativă, viteza de mișcare a aerului, în funcție de capacitatea corpului uman de a se aclimatiza în diferite perioade ale anului, natura îmbrăcămintei, intensitatea muncii efectuate și natura generării de căldură în camera de lucru . Modificările temperaturii aerului în înălțime și pe orizontală, precum și modificările temperaturii aerului în timpul unei ture, asigurând în același timp valori optime de microclimat la locul de muncă nu ar trebui... Management: concept, caracteristici, sistem și principii Organismele guvernamentale: concept, tipuri și funcții. După conținut lege administrativa este o lege administrativă de stat care realizează interesul legal al majorității cetățenilor, pentru care subiecții conducerii sunt învestiți cu puteri juridice de autoritate și funcții reprezentative ale statului. Prin urmare, obiectul de acțiune al normelor juridice îl constituie relațiile sociale manageriale specifice aparute între subiectul managementului de către manager și obiectele... Regulament guvernamental social dezvoltare economică regiuni. Bugetele locale ca bază financiară pentru dezvoltarea socio-economică a regiunii. Diferitele teritorii ale Ucrainei au propriile lor caracteristici și diferențe atât în ​​ceea ce privește dezvoltarea economică, cât și în aspectele sociale, istorice, lingvistice și mentale. Dintre aceste probleme, trebuie să menționăm mai întâi imperfecțiunea structura sectorială a majorității complexelor economice regionale scăzute eficiență economică; diferențe semnificative între regiuni în niveluri...

Materialul despre controlul optim care este prezentat aici combină teoria și practica controlului optim. Înainte de a fi scris și prezentat, au fost create sisteme optime reale, ale căror rezultate au servit drept bază pentru crearea sistemelor controlate în designerul EFFLY. După cum au arătat studiile, funcționarea sistemelor optime create într-un proiectant de software nu este fundamental diferită de funcționarea sistemelor în condiții reale.

Aceasta este o veste bună pentru că acum puteți exersa, observa sistemele optime în acțiune și explora principiile controlului optim în timp ce stați în fața unui ecran de computer. În acest scop, iată link-uri către fișierele sistemelor optime existente. Tot ce aveți nevoie pentru a accesa practica este mediul Excel.

Aș fi foarte recunoscător dacă ai scrie câteva cuvinte despre ceea ce trebuie adăugat, după părerea ta, pentru a face materialul mai accesibil și mai util, adică mai optim:-). Link-urile pentru comunicare sunt mai jos în text.

1. Introducere

Pentru a ne atinge obiectivele, desfășurăm o mare varietate de operațiuni. Cu toate acestea, în viața de zi cu zi ne gândim rar la ceea ce este creat pentru a efectua operația și cât de eficient este efectuată. Este o problemă diferită atunci când operațiuni similare sunt efectuate în mod regulat sub forma unui proces tehnologic, iar ritmul de dezvoltare și competitivitatea afacerii depind de eficacitatea unor astfel de operațiuni. În acest caz, ne străduim să ne asigurăm că operațiunile efectuate sunt cât mai eficiente, cele mai bune sau, ceea ce este, de asemenea, optim.

Optimizarea și controlul optim sunt concepte foarte la modă și populare. Dar probabil că vă voi surprinde foarte mult dacă spun că despre controlul optim, în ciuda numărului nenumărat de publicații dintr-o mare varietate de surse, există foarte puține informații cu adevărat de înaltă calitate. De obicei, se repovestesc unele fraze figurative despre „cârme”, concepte de bază despre restricțiile asupra procesului de control și nelimitarea controalelor în cadrul restricțiilor impuse. De asemenea, de obicei se vorbește mult despre criteriile de control optim (de parcă ar putea fi multe). Și chiar oferă expresii specifice ale criteriilor de optimizare pe care nimeni nu le-a verificat pentru adecvare.

Pe scurt, controlul optim este un proces tehnologic format din multe operațiuni cu astfel de parametri care, la un anumit moment în timp, vor asigura primirea produsului țintă maxim.

Pentru a înțelege despre ce produs țintă vorbim, trebuie să vă faceți o idee fizica proceselor iar el ciberneticăși apoi înțelegeți procesul de optimizare.

2. Fizica proceselor generale ale sistemelor de producţie

Pentru a face față principiile controlului optim, nu se poate face fără înțelegerea fizicii proceselor care stau la baza oricărei operațiuni tehnologice. Aceste principii sunt generale, prin urmare, după ce le-ați înțeles folosind exemplul unui proces specific, puteți utiliza în siguranță cunoștințele dobândite, bazându-vă pe un model cibernetic generalizat al actuatorului operației.

Ca exemplu, vom lua în considerare în detaliu operația de încălzire a unui lichid. În același timp, puteți efectua simultan și propriile cercetări dacă aveți echipamentul simplu necesar și ceva experiență. De asemenea, puteți utiliza observarea proceselor unui sistem de încălzire controlat asamblat în mediul EFFLY. Sau puteți pur și simplu să stăpâniți materialul analizând datele gata făcute afișate în diagrame.

Deci, trebuie să efectuăm operațiuni de încălzire cu lichid într-un ciclu, ajungând la modul optim de încălzire. Pentru efectuarea operațiunii de încălzire, vom folosi un încălzitor electric - element de încălzire, cu un regulator de putere. Elementul de încălzire este coborât într-un recipient cu lichid, iar viteza de încălzire depinde de puterea transmisă aparatului electric.

Care este esența managementului în acest caz? Totul este foarte simplu. Setăm o anumită cantitate de alimentare cu energie electrică și efectuăm operațiunea de încălzire. Setarea regulatorului de putere într-una dintre pozițiile posibile este control. Prin urmare, în funcție de control, viteza de încălzire, cantitatea de consum de energie electrică și uzura mecanismului de încălzire a elementului de încălzire se vor modifica (Fig. 1-3).

Din grafic (Fig. 1) rezultă că o creștere a furnizării de energie electrică duce la o scădere a consumului de energie pentru funcționare. Cum poate fi explicat acest lucru?

Fig.1 Modificarea consumului de energie al operațiunii de încălzire de la control

Chestia este că la o viteză scăzută de încălzire, lichidul încălzit are timp să se elibereze un numar mare de căldură în mediu. Cu cât rata de încălzire este mai mare, cu atât este mai mică pierderi de căldură. Pentru procesele cu eficiență ridicată a mecanismului tehnologic, aceasta este o imagine tipică. De ce elementul de încălzire are eficiență ridicată? Pentru că este scufundat într-un lichid și își renunță aproape complet energia (o mică parte din energie se pierde în fire).

De asemenea, din graficul modificărilor uzurii din control (Fig. 2) rezultă că cu cât productivitatea procesului este mai mare, cu atât uzura mecanismului tehnologic este mai mare.

Fig.2 Modificarea uzurii mecanismului de funcționare a încălzirii de la control

Mai mult, odată cu creșterea productivității, uzura crește disproporționat, dar într-o manieră a legii puterii. Coeficientul funcției de putere a uzurii mecanismului asupra productivității este determinat experimental. În general, este necesar să vorbim despre uzura fiecărui mecanism al sistemului.

Și, desigur, cu cât cantitatea de energie furnizată este mai mare, cu atât viteza procesului este mai mare și, în consecință, timpul de funcționare este mai scurt (Fig. 3). Este clar. Dar dependența reală este și neliniară, așa cum se poate vedea din grafic.

Fig.3 Modificarea timpului de funcționare a încălzirii de la control

Astfel, fiecarei control ii corespunde propriul consum de produs energetic, propriei uzuri a mecanismelor de functionare si propriului timp de functionare. Natura modificărilor este acum disponibilă pentru noi.

Acesta este de fapt tot ce trebuie să știți despre fizica procesului de încălzire a unui lichid cu un element de încălzire scufundat în el, pentru a înțelege esența mecanismelor naturale care stau la baza tehnologii optime de control.

Scrie-i autorului.

3. Cibernetica proceselor sistemelor de producţie

Trăim într-o lume care se supune unor legi foarte specifice. Aceste legi sunt împărțite în două clase. Cunoașterea legilor de primă clasă ne permite să răspundem la întrebarea: „De ce se întâmplă asta?” Clasa de astfel de științe include: fizică, chimie, astronomie.

A doua clasă include științe care răspund la întrebarea: „De ce sau în ce scop?” Un reprezentant proeminent al acestei clase de științe este cibernetica.

3.1 Misiunea și scopul managementului sistemelor de producție

În procesul de control optim, sunt rezolvate două probleme destul de independente, a căror soluție este responsabilitatea a două structuri independente ale sistemului de producție.

Prima sarcină este de a crea un produs care are calități specificate de consumator. În cazul nostru, produsul de consum al operațiunii este lichidul încălzit. În general, putem spune că misiunea sistemului este de a crea un produs util cu calități specificate de consumator. Un produs util este creat de un subsistem tehnic aflat sub controlul unui subsistem tehnologic. Acest subsistem tehnologic este adesea numit sistem de control.

Dar nimeni nu va crea un produs util cu orice preț. Prin urmare, parametrii produselor de intrare ai operațiunii și, în consecință, parametrii procesului, trebuie să fie aleși astfel încât evaluarea de către expert a produselor de intrare ai operațiunii să fie mai mică decât evaluarea de către expert a produselor de ieșire ale operațiunii. . ÎN sisteme economice Ele operează nu cu estimări experți, ci cu cele de cost.

De exemplu, trebuie să transportăm mărfuri din punctul A în punctul B. Pentru aceasta avem nevoie de un vehicul și un produs energetic. Vom efectua operațiunea în mod conștient numai dacă costul unui vehicul mai uzat, combustibil și produs rămas la punctul B este evaluat de noi mai mult decât un vehicul mai puțin uzat, combustibil nefolosit și marfă la punctul A. Adică, ne luptăm pentru a crește diferența dintre notele de intrare și de ieșire ale costurilor.

Maximizarea diferenței dintre estimările experților ale produselor de ieșire și de intrare ale ciclului operațiunilor controlate este scopul managementului (acesta este al doilea problema de management), iar diferența în sine este produsul tinta. Responsabil pentru maximizarea valorii produsului tinta al sistemului de productie subsistem de optimizare.

Te rog noteaza asta despre care vorbim O ciclu de operatii(proces), nu despre operare separată. Vom reveni la acest punct puțin mai târziu, dar deocamdată vom vorbi despre cum să trecem de la indicatorii naturali ai produselor de intrare și ieșire la indicatori comparabili.

3.2 Reducerea parametrilor cantitativi ai produselor tranzacționale la valori comparabile

Efectuarea oricărei operațiuni necesită anumite investiții din partea noastră. Pentru operațiunea de încălzire a unui lichid, avem nevoie de o parte din lichidul rece în sine, determinat de cantitate energie și o parte din resursa mecanismului, care va fi uzată în timpul operațiunii. Evaluăm diferit contribuția fiecăruia dintre aceste produse la operațiune. Această evaluare este asociată cu conceptul de evaluare de experți a produsului operațiunii, care se exprimă printr-o evaluare de specialitate a unei unități de produs și evaluarea cantitativă a acesteia. Deoarece sistemul de încălzire poate fi considerat un sistem tehnic și economic, vom folosi cel mai familiar concept economic„evaluarea valorii”, în locul conceptului cibernetic - „evaluare expert”.

În cazul general, evaluarea oricărui produs de intrare al operației este determinată din expresia RE i =RS i ·RQ i, unde RQ i este cantitatea produsului i-lea al operației; RS i este costul unitar al i-lea produs al operațiunii; RE i este evaluarea i-lea produs al produsului operațional.

Deci, pentru operație folosim 1 metru cub de lichid. Să presupunem că costul estimat pentru un metru cub de lichid este de 0,8 denari. unitati Atunci costul estimat pentru un metru cub de lichid va fi egal cu RE cw =RQ cw ·RS cw =1·0,8=0,8 unități monetare, unde RQ cw este volumul de lichid necesar operațiunii; RS cw - estimarea costului unui cub de lichid; RE cw – estimarea costului volumului de fluid al operației.

Deoarece volumul de lichid rece necesar pentru următoarea operațiune nu se modifică față de control, graficul evaluării costului lichidului în funcție de controlul RE cw (U) va arăta ca o linie dreaptă orizontală (Fig. 4).

Consumul produsului energetic variază de la operațiune la operațiune, astfel încât estimarea costului consumului de energie se va modifica și de la o funcționare la alta. Presupunând că un kWh. electricitatea costă 0,3 den. de unități, este posibil să se obțină dependența variației costurilor energetice RE e de controlul U, unde RE e (U) este estimarea costului energiei consumate de operațiunea de control (Fig. 4).

Rămâne de determinat modificarea pierderilor de resurse ale mecanismului de funcționare din management în valori comparabile ale costurilor (RE w (U)), ținând cont de faptul că unitatea de pierdere de resurse este estimată la 3 unități monetare. (Fig. 4).

Fig.4 Modificarea costurilor estimate ale volumului necesar de energie electrică, lichid și gradul de uzură a elementului de încălzire al operațiunii de încălzire de la control

Acum, deoarece toate produsele de intrare ale operațiunii sunt exprimate în valori comparabile ale costurilor, pentru fiecare control se poate determina o valoare a costurilor totale ale costurilor RE=RE cw +RE e +RE w (Fig. 5).

Pe aceeași diagramă este convenabil să se prezinte dependența estimării costului lichidului încălzit de controlul PE(U) și timpul de funcționare pe controlul T op (U) pe axa suplimentară.

Fig. 5 Modificări în estimările de cost ale produselor de intrare și ieșire ale operațiunii de încălzire și timpul de funcționare de la control

Produsul energetic, lichidul rece în sine și mecanismul de încălzire au o valoare destul de certă pentru noi. Prin urmare, vom efectua operațiuni de încălzire a lichidului numai dacă evaluarea de specialitate a produselor de intrare a operațiunii este mai mică decât evaluarea de expert a produsului rezultat al operațiunii. În acest caz, vom presupune că costul unui cub de lichid încălzit este estimat la PS = 55 de unități monetare.

Vă rugăm să rețineți că indicatorii de bază RE, PE și Top sunt cibernetici, deoarece pot fi obținuți pentru orice operațiune, indiferent de natura proceselor și tipul de sistem controlat. După ce am construit funcțiile RE(U), PE(U) și Top(U), am făcut un alt pas spre dezvăluirea esenței control optim.

Ce dificultăți ați găsit în înțelegerea materialului? Scrie-i autorului.

3.3 Criteriul pentru controlul optim al sistemelor de producție

Acum că înțelegem că subsistemul tehnic este responsabil pentru procesul de transformare a produselor de intrare, subsistemul tehnologic este responsabil pentru calitatea produsului rezultat, iar subsistemul de optimizare este responsabil pentru maximizarea produsului țintă, putem aborda problema alegerii. varianta optima.

Să presupunem că avem două opțiuni pentru alegerea parametrilor de control. Să presupunem că prin setarea primului set de parametri de control, obținem operații repetate ciclic cu următorii indicatori de bază: RE=4 zile. unități, PE=7 unități monetare, T op =7 ore (Fig. 6).

Fig.6 Procesul de formare a produsului țintă pentru primul control

Cum are loc procesul de realizare a unui scop? Dreptunghiul din stânga sus este estimarea costului resurselor operațiunii. Avem 10 unități monetare din astfel de resurse. Deoarece operațiunea necesită resurse de 4 unități monetare, această sumă de resurse este transferată pentru a efectua prima operațiune, care este indicată de săgeata numărul 1.

Operațiunea durează 7 ore și am presupus că valoarea produselor operațiunii este de 7 unități. Deoarece a doua operațiune necesită din nou patru unități de resurse, celelalte trei sunt transferate în depozitul produsului țintă.

În ciclu efectuăm trei operații, după care putem determina valoarea absolută a produsului țintă al operației. Acestea sunt unități de 16 den. după 21 de ore de muncă.

Acum schimbam controlul si obtinem un ciclu de operatii cu noi indicatori de baza: RE=5 den. unități, PE=7 unități monetare, Top=3 ore (Fig. 7).

Fig. 7 Procesul de formare a produsului țintă pentru al doilea control

Creșterea produsului țintă în timpul unei operațiuni este mai mică aici - 2 unități monetare. Cu toate acestea, timpul de operare este și mai scurt. După cum puteți vedea, până la sfârșitul ultimei operațiuni, după 21 de ore, vom primi 19 unități monetare. produsul tinta.

Adică, dacă avem doar două opțiuni pentru efectuarea operațiunilor, atunci este de preferat a doua opțiune. Prin urmare, controlul conform celei de-a doua opțiuni este un control optim.

Apare întrebarea: „Cum, fără a efectua operațiuni într-un ciclu, puteți determina imediat ce operațiune este mai profitabilă și, în consecință, determinați parametrii controlului optim?”

Acest lucru necesită un indicator de performanță care poate fi utilizat ca criteriu de optimizare.

În acest caz, puteți utiliza o formulă simplă de eficiență, care este o expresie analitică pentru calcularea operațiilor simple. Ea este cea care leagă între ei trei indicatori de bază: evaluarea produselor de intrare ale operațiunii (RE), evaluarea produselor de ieșire ale operațiunii (PE) și timpul de operare (T op). Dacă notăm eficiența prin simbolul „E”, atunci formula de calcul a indicatorului de eficiență va arăta ca

unde T p este un interval de timp unitar, a cărui necesitate de utilizare este considerată în teoria eficienței.

Înlocuind valorile indicatorilor de bază ai operațiunilor în formula de eficiență, obținem valoarea E = 0,00656 pentru prima operație și E = 0,0127 pentru a doua operație.

După cum putem vedea, indicatorul de eficiență a indicat imediat că al doilea tip de operațiuni este de preferat operațiunilor de primul tip. Prin urmare, indicatorul dat este un criteriu de optimizare.

Figura 8 arată cum se modifică eficiența odată cu schimbările de control. Parametrii corespunzători eficienței maxime sunt evidențiați cu roșu.

Fig. 8 Procesul de formare a produsului țintă pentru al doilea control

Acum, de fapt, putem răspunde la întrebarea ce este controlul optim.
Controlul optim este un proces care asigură maximizarea produsului țintă în timpul execuției ciclice a operațiunilor sistemului.
Alegerea unui astfel de control prevede criteriul de optimizare.

După cum puteți vedea, în sistemele de producție este posibil să ajungeți la modul optim pe baza indicator absolut– creșterea maximă a potențialului financiar, dar acest proces necesită mult timp.

Poate părea că problema atingerii optimului poate fi rezolvată fără un criteriu de optimizare - prin modelare matematică, folosind rezultatele unei singure operații. Cu toate acestea, influența erorilor senzorului duce la abateri foarte mari de la punctul optim.

Ce dificultăți ați găsit în înțelegerea materialului? Scrie-i autorului.

Pentru a vedea funcționarea sistemului optim, trebuie să încărcați sistemul optim în sine, asamblat în constructorul EFFLY. Puteți afla cum să faceți sistemul să funcționeze mai greu.

După ce faceți clic pe butonul „Start”, se deschide o foaie pe care vor fi afișate grafice pentru căutarea optimului sistemului. Primul punct apare în câteva minute, deoarece sunt necesare mai multe operații pentru a ajunge la el. Trebuie să așteptăm puțin.

ADNOTARE

Acest manual prezintă condițiile de bază ale optimității și metodele de rezolvare a problemelor în calculul variațiilor și controlul optim. Va fi util pentru pregătirea și desfășurarea orelor practice la secțiunea „Control optim”, precum și pentru studenții care își fac temele pe această temă.

Tutorial este o versiune electronică a cărții:
Control optim în exemple și probleme. Sotskov A.I., Kolesnik G.V. - M.: Şcoala Economică Rusă, 2002 - 58 p.

Prefaţă

1. Cea mai simplă problemă în calculul variațiilor.
ecuația lui Euler
Exemple
Exerciții

2. Problemă de control optim. Principiul maxim
Exemple
Exerciții

3. Constrângeri de fază în problema de control optim
Exemple
Exerciții

4. Programarea dinamică și ecuația Bellman
Exemple
Exerciții

Literatură

Prefaţă

Teoria controlului optim este una dintre secțiunile cursului „Matematică pentru economiști” predat la Școala Rusă de Economie.
Experiența de predare arată că această secțiune este una dintre cele mai greu de stăpânit. Acest lucru se datorează în primul rând diferențelor conceptuale dintre problemele de control optim studiate în acesta și problemele de optimizare dimensională finită și, ca urmare, complicației semnificative a condițiilor de optimitate utilizate în acestea.
În acest sens, pare util să oferim o ilustrare clară a aplicării acestor condiții de optimitate la rezolvarea problemelor de diferite tipuri. Acest manual este o încercare de a oferi o astfel de ilustrare. Conține exemple și probleme pe patru subiecte:
. calculul variațiilor;
. principiul maximului în probleme fără restricții;
. principiul maxim în prezența restricțiilor de fază;
. programare dinamică.
Fiecare secțiune constă dintr-o parte teoretică care descrie conceptele de bază și rezultatele utilizate în rezolvarea problemelor corespunzătoare, exemple cu soluții, precum și probleme pentru munca independentă a elevilor.
Trebuie subliniat faptul că acest manual nu este în niciun caz un curs teoretic, ci este axat în primul rând pe aplicarea practică a metodelor optime de control. Ca ghid teoretic pentru această secțiune, vă putem recomanda, de exemplu, o carte.
Potrivit autorilor, acest manual va fi util profesorilor atunci când pregătesc și desfășoară orele practice la secțiunea „Control optim”, precum și elevilor când își fac temele pe această temă.

Versiunea electronică a cărții: [Descărcare, PDF, 633,8 KB].

Pentru a vizualiza cartea în format PDF, aveți nevoie de Adobe Acrobat Reader, a cărui versiune nouă poate fi descărcată gratuit de pe site-ul Adobe.

Control optim

Andrei Alexandrovici Agraciov

Este natura umană să lupți spre perfecțiune. În matematică, se manifestă în căutarea celor mai bune soluții (optime), inclusiv a tuturor problemelor maxime și minime. Teoria controlului optim le include pe acelea în care soluția are o anumită întindere în timp sau spațiu. O imagine potrivită este trasarea celei mai bune căi atunci când vă deplasați pe un teren foarte accidentat.

În general, matematicienii, ca toți oamenii, sunt foarte pasionați de imaginile vizuale, dar în realitate vorbim despre orice sistem care poate fi schimbat continuu în anumite limite, la fel cum schimbăm direcția de mișcare atunci când punem o cale. Alte exemple potrivite: controlul unei mașini, al unui avion, al procesului tehnologic, al corpului tău, până la urmă.

Este necesar să se transfere cel mai bine sistemul dintr-o stare dată în cea dorită: cât mai repede posibil, sau în cel mai economic mod, sau cu cel mai mare beneficiu, sau în conformitate cu un criteriu mai complex; decidem singuri ce este mai important. Dacă reacția imediată a sistemului la acțiunile noastre este bine cunoscută, atunci teoria controlului optim este concepută pentru a ne ajuta să găsim cea mai bună strategie pe termen lung. Iată un exemplu simplu: trebuie să opriți oscilațiile cât mai repede posibil (să zicem, opriți „leagănul”), aplicând forța mică mai întâi pe o parte, apoi pe cealaltă. Va trebui să vă mutați de multe ori dintr-o parte în alta. Care este regula pentru a face asta? Este clar că „leagănul” poate fi financiar, economic și fizic și tehnic...

Este demn de remarcat faptul că un subiect atât de evident aplicat precum teoria controlului optim a fost creat la Institutul de Matematică Steklov de către matematicieni puri, Lev Semyonovich Pontryagin și studenții săi, topologi profesioniști. Primele aplicații impresionante ale acestei teorii care i-a adus faima au fost în programul spațial sovietic și în programul american Apollo. În aceste programe, totul a fost făcut la limita capacităților, iar fără optimizare inteligentă era imposibil de făcut față. Printre sarcinile care erau populare la acea vreme, se putea remarca cel mai economic transfer al unei nave spațiale de pe o orbită eliptică pe alta și o aterizare ușoară pe Lună. Principala realizare a acelei perioade a fost principiul maxim al lui Pontryagin - un instrument universal puternic care vă permite să selectați o clasă destul de restrânsă de strategii de control, printre care poate fi doar cea optimă.

Principiul maxim al lui Pontryagin este deosebit de bun atunci când este aplicat la modele simple „liniare”, dar își pierde eficacitatea și trebuie completat prin alte mijloace atunci când se studiază sisteme cu structură neliniară mai complexă. Să revenim la exemplul de leagăn. Dacă amplitudinea oscilațiilor este mică, atunci sistemul este aproape liniar și perioada oscilațiilor este aproape independentă de amplitudine. Principiul maximului oferă o lege simplă și neechivocă a comportamentului optim pentru o aproximare liniară: trebuie să vă deplasați dintr-o parte în alta exact după o jumătate de perioadă și de fiecare dată să utilizați forța maximă posibilă. În același timp, la o amplitudine mare, când sistemul este semnificativ neliniar, recomandările principiului maxim devin foarte complicate și încetează să mai fie lipsite de ambiguitate.

Noi reguli de comportament optim, care completează principiul maximului, sunt furnizate de teoria controlului geometric care este în prezent dezvoltată activ. Faptul este că geometria modernă vă permite să extindeți foarte mult capacitățile de control, jucându-vă cu ordinea și durata aplicării mai multor manevre simple, selectând combinații optime „armonioase” de manevre, rezultatul fiecăreia fiind binecunoscut și destul de banal. Este asemănător cu modul în care o simfonie este compusă din mai multe note, doar că la matematică totul este mai precis, mai strict și mai simetric, deși nu atât de emoțional.

Teoria controlului geometric este folosită în navigația spațială, robotică și multe alte domenii, dar poate cele mai populare aplicații moderne sunt în sistemele cuantice (de la dispozitive medicale cu rezonanță magnetică nucleară la manipularea chimică a moleculelor individuale). Farmecul teoriei controlului geometric constă, printre altele, în oportunitatea rară de a materializa, vedea și „atinge” concepte matematice abstracte frumoase și profunde și, bineînțeles, de a crea altele noi!

Literatură

Tihomirov V.M. Povești despre înalte și coborâșuri. - M.: Nauka, 1986. - (Biblioteca „Quantum”; Numărul 56). — [Retipăriri: M.: MTsNMO, 2006, 2017].

Protasov V.Yu. Maxime și minime în geometrie. - M.: MTsNMO, 2012. - (Biblioteca „Educația matematică”; Numărul 31).

Control optim procese tehnologice(Lectura)

PLANUL DE PRELEGERE

1. Concepte de bază de găsire a extremului unei funcții

2. Clasificarea metodelor optime de control

1. Concepte de bază de găsire a extremului unei funcții

Orice formulare matematică a unei probleme optime este adesea echivalentă sau echivalentă cu problema găsirii extremului unei funcții a uneia sau mai multor variabile independente. Prin urmare, pentru a rezolva astfel de probleme optime pot fi folosite diverse metodeîn căutarea unui extremum.

În general, problema de optimizare este formulată după cum urmează:

Găsiți extra funcției R (x), unde XX

R (x) – numită funcție obiectiv sau funcție sau criteriu de optimizare sau funcție optimizată

X este o variabilă independentă.

După cum se știe, condițiile necesare pentru existența unui extremum al unei funcții continue R (x) pot fi obținute din analiza primei derivate. În acest caz, funcția R (x) poate avea valori extreme pentru astfel de valori ale variabilei independente X, unde prima derivată este egală cu 0. i.e. =0. Grafic, dacă derivata este zero, înseamnă că tangenta la curba R(x) în acest punct este paralelă cu abscisa.

Derivata =0 este egală conditie necesara extremum.

Cu toate acestea, egalitatea derivatei la zero nu înseamnă că există un extremum în acest punct. Pentru a vă asigura în sfârșit că există într-adevăr un extremum în acest moment, este necesar să efectuați cercetări suplimentare, care constă în următoarele metode:

1. Metoda de comparare a valorilor functiei

Valoarea funcției R (x) la punctul extremum „suspectat” X K este comparată cu două valori învecinate ale funcției R (x) la punctele X K-ε și X K+ε, unde ε este un mic valoare pozitivă. (Fig. 2)

Dacă ambele valori calculate ale lui R (X K+ε) și R (X K-ε) se dovedesc a fi mai mici sau mai mari decât R (X K), atunci în punctul X K există un maxim sau un minim al funcției R (X).

Dacă R (X K) are o valoare intermediară între R (X K-ε) și R (X K+ε), atunci funcția R (x) nu are nici un maxim, nici un minim.

2. Metoda de comparare a semnelor derivatelor

Să considerăm din nou funcția R (X K) în vecinătatea punctului X K, adică. X K+ε și X K-ε. Cu această metodă se ia în considerare semnul derivatei în vecinătatea punctului X K. Dacă semnele derivatei în punctele X K-ε și X K + ε sunt diferite, atunci există un extremum în punctul X K. În acest caz, tipul de extremum (min sau max) poate fi găsit prin schimbarea semnului derivatei la trecerea din punctul X K-ε în punctul X K+ε.

Dacă semnul se schimbă de la „+” la „-”, atunci în punctul X K există un maxim (Fig. 3b), dacă dimpotrivă de la „-” la „+”, atunci există un minim. (Fig. 3a)

3. O metodă de studiere a semnelor derivatelor superioare.

Această metodă este utilizată în cazurile în care în punctul „suspectat” de la extremum există derivate de ordin superior, adică. funcția R (X K) nu este numai continuă în sine, ci are și derivate continue și .

Metoda se rezumă la următoarele:

La punctul X K„suspect” până la extrem, pentru care este adevărat

se calculează valoarea derivatei a doua.

Dacă în acelaşi timp , atunci în punctul X K este maximul,

Dacă , atunci în punctul X K este un minim.

Când se rezolvă probleme practice de optimizare, este necesar să se găsească nu o valoare minimă sau maximă a funcției R (X K), ci valoarea cea mai mare sau cea mai mică a acestei funcții, care se numește extremul global. (Fig. 4)

În cazul general, problema de optimizare constă în găsirea extremului funcției R (X), în prezența anumitor restricții asupra ecuațiilor modelului matematic.

Dacă R (X) este liniar, iar regiunea soluțiilor fezabile este specificată prin egalități și inegalități liniare, atunci problema găsirii extremelor unei funcții aparține clasei problemelor de programare liniară.

Adesea mulțimea X este definită ca un sistem de funcții

Atunci enunțul matematic al problemei de programare liniară arată astfel:

Dacă funcția țintă R (X) sau oricare dintre constrângeri nu este o funcție liniară, atunci sarcina de a găsi extremul funcției R (X) aparține clasei problemelor de programare neliniară.

Dacă nu sunt impuse restricții pentru variabilele X, atunci o astfel de problemă se numește problemă de extremă necondiționată.

Exemplu de problemă tipică de optimizare

Problema cu o cutie de volum maxim.

Din acest semifabricat, patru pătrate egale trebuie tăiate la colțurile sale, iar figura rezultată (Fig. 5 b) trebuie îndoită astfel încât să formeze o cutie fără capac superior (Fig. 6.5 c). în acest caz, este necesar să alegeți dimensiunea pătratelor tăiate astfel încât să obțineți o cutie de volum maxim.

Folosind această problemă ca exemplu, putem ilustra toate elementele de stabilire a problemelor de optimizare.

Orez. 5. Schemă pentru fabricarea unei cutii dintr-un semifabricat dreptunghiular de dimensiune fixă

Funcția de evaluare în această problemă este volumul cutiei fabricate. Problema este alegerea dimensiunii pătratelor de tăiat. Într-adevăr, dacă dimensiunea pătratelor tăiate este prea mică, atunci se va obține o cutie largă de înălțime mică, ceea ce înseamnă că volumul va fi mic. Pe de altă parte, dacă dimensiunea pătratelor tăiate este prea mare, atunci se va obține o cutie îngustă de mare înălțime, ceea ce înseamnă că și volumul acesteia va fi mic.

În același timp, alegerea dimensiunii pătratelor tăiate este influențată de limitarea dimensiunii piesei originale. Într-adevăr, dacă tăiați pătrate cu o latură egală cu jumătate din latura piesei originale, atunci sarcina devine lipsită de sens. Latura pătratelor tăiate, de asemenea, nu poate depăși jumătate din laturile piesei originale, deoarece acest lucru este imposibil din motive practice. De aici rezultă că formularea acestei probleme trebuie să conţină unele restricţii.

Formularea matematică a problemei unei cutii de volum maxim. Pentru a formula matematic această problemă, este necesar să se introducă în considerare câțiva parametri care caracterizează dimensiunile geometrice ale cutiei. În acest scop, vom completa formularea de fond a problemei cu parametri corespunzători. În acest scop, vom lua în considerare un semifabricat pătrat realizat dintr-un material flexibil, care are o latură lungime L (Fig. 6). Din acest gol ar trebui să tăiați patru pătrate egale cu o latură la colțuri și să îndoiți figura rezultată, astfel încât să obțineți o cutie fără capac superior. Sarcina este de a selecta dimensiunea pătratelor tăiate, astfel încât rezultatul să fie o cutie cu volum maxim.

Orez. 6. Diagrama de fabricație dintr-un semifabricat dreptunghiular indicând dimensiunile acestuia

Pentru a formula matematic această problemă, este necesar să se determine variabilele problemei de optimizare corespunzătoare, să se stabilească funcția obiectiv și să se specifice constrângerile. Ca variabilă, ar trebui să luăm lungimea laturii pătratului tăiat r, care în cazul general, pe baza formulării semnificative a problemei, ia valori reale continue. Funcția obiectiv este volumul cutiei rezultate. Deoarece lungimea laturii bazei cutiei este egală cu: L - 2r, iar înălțimea cutiei este egală cu r, atunci volumul acesteia se găsește prin formula: V (r) = (L -2r) 2 r. Pe baza considerațiilor fizice, valorile variabilei r nu pot fi negative și depășesc jumătate din dimensiunea piesei originale L, adică. 0,5 L.

Pentru valorile lui r = 0 și r = 0,5 L, se exprimă soluțiile corespunzătoare problemei casetei. Într-adevăr, în primul caz piesa de prelucrat rămâne neschimbată, dar în al doilea caz este tăiată în 4 părți identice. Întrucât aceste soluții au o interpretare fizică, problema casetei, pentru comoditatea formulării și analizei sale, poate fi considerată o optimizare cu constrângeri precum inegalitățile nestricte.

În scopul unificării, notăm variabila cu x = r, ceea ce nu afectează natura problemei de optimizare care se rezolvă. Apoi formularea matematică a problemei unei cutii de volum maxim poate fi scrisă sub următoarea formă:

unde (1)

Funcția obiectivă a acestei probleme este neliniară, deci problema casetei de dimensiune maximă aparține clasei problemelor de programare neliniară sau de optimizare neliniară.

2. Clasificarea metodelor optime de control

Optimizarea procesului constă în găsirea optimului funcției luate în considerare sau a condițiilor optime pentru realizarea acestui proces.

Pentru a evalua optimul, în primul rând, este necesar să selectați un criteriu de optimizare. De obicei, criteriul de optimizare este selectat din condiții specifice. Acesta poate fi un criteriu tehnologic (de exemplu, conținutul de Cu în zgura de gunoi) sau un criteriu economic (costul minim al unui produs la o anumită productivitate a forței de muncă) etc. Pe baza criteriului de optimizare selectat se alcătuiește o funcție obiectiv, care reprezintă dependenţa criteriului de optimizare de parametrii care influenţează valoarea acestuia. Problema de optimizare se rezumă la găsirea extremului funcției obiectiv. În funcție de natura problemelor luate în considerare modele matematice Sunt adoptate diverse metode de optimizare matematică.

Formularea generală a problemei de optimizare este următoarea:

1. Selectați un criteriu

2. Ecuația modelului este compilată

3. Se impune un sistem de restricții

4. Soluție

model - liniar sau neliniar

Restricții

În funcție de structura modelului, se folosesc diverse metode de optimizare. Acestea includ:

1. Metode de optimizare analitică (căutare analitică pentru extremum, metoda multiplicatorului Lagrange, metode variaționale)

2. Programare matematică (programare liniară, programare dinamică)

3. Metode de gradient.

4. Metode statistice (Analiza de regresie)

Programare liniară. În problemele de programare liniară, criteriul de optimitate este prezentat astfel:

unde sunt dați coeficienți constanți; Variabile de sarcină.

Ecuațiile model sunt ecuații liniare (polinoame) de formă care sunt supuse unor restricții sub formă de egalitate sau inegalitate, de ex. (2)

În problemele de programare liniară se presupune de obicei că toate variabilele independente X j sunt nenegative, adică.

Soluția optimă pentru o problemă de programare liniară este un astfel de set de valori nenegative ale variabilelor independente

Care îndeplinește condițiile (2) și furnizează, în funcție de formularea problemei, valoarea maximă sau minimă a criteriului.

Interpretarea geometrică este: - criteriu în prezența restricțiilor asupra variabilelor X 1 și X 2 ale tipului de egalități și inegalități

R are o valoare constantă de-a lungul liniei l. Soluția optimă va fi în punctul S, deoarece în acest moment criteriul va fi max.Una dintre metodele de rezolvare a problemei de optimizare a programării liniare este metoda simplex.

Programare neliniară. Formularea matematică a problemei de programare neliniară este următoarea: Aflați extremul funcției obiectiv , care are forma de neliniaritate.

Variabilelor independente sunt impuse diverse restricții, cum ar fi egalitățile sau inegalitățile

În prezent, un număr destul de mare de metode sunt folosite pentru a rezolva probleme de programare neliniară.

Acestea includ: 1) Metode gradient (metoda gradient, metoda cea mai abruptă de coborâre, metoda imaginii, metoda Rosenbrock etc.)

2) Metode fără gradient (metoda Gauss-Seidel, metoda de scanare).

Metode de optimizare a gradientului

Aceste metode aparțin metodelor numerice de tipul de căutare. Esența acestor metode este de a determina valorile variabilelor independente care dau cea mai mare (cea mai mică) modificare a funcției obiectiv. Acest lucru se realizează de obicei prin deplasarea de-a lungul unui gradient ortogonal pe suprafața conturului într-un punct dat.

Să luăm în considerare metoda gradientului. Această metodă folosește un gradient al funcției obiectiv. În metoda gradientului se fac pași în direcția celei mai rapide scăderi a funcției obiectiv.

Orez. 8. Găsirea minimului folosind metoda gradientului

Căutarea optimului se realizează în două etape:

Etapa 1: - găsiți valorile derivatelor parțiale pentru toate variabilele independente care determină direcția gradientului în punctul în cauză.

Etapa 2: - se face un pas în direcția opusă direcției gradientului, adică. în direcţia celei mai rapide scăderi a funcţiei obiectiv.

Algoritmul metodei gradient poate fi scris după cum urmează:

(3)

Natura mișcării către optim prin metoda de coborâre cea mai abruptă este următoarea (Fig. 6.9), după ce gradientul funcției optimizate este găsit în punctul inițial și, prin urmare, este determinată direcția celei mai rapide scăderi a acesteia în punctul specificat, se face un pas de coborâre în această direcţie. Dacă valoarea funcției scade ca urmare a acestui pas, atunci se face un alt pas în aceeași direcție și așa mai departe până când se găsește un minim în această direcție, după care se calculează din nou gradientul și o nouă direcție a celei mai rapide. se determină scăderea funcţiei obiectiv.

Metode fără gradient pentru căutarea extremumului. Aceste metode, spre deosebire de metodele gradient, folosesc în procesul de căutare informații obținute nu din analiza derivatelor, ci dintr-o evaluare comparativă a valorii criteriului de optimitate ca urmare a efectuării pasului următor.

Metodele fără gradient pentru căutarea extremumului includ:

1. metoda raportului de aur

2. metoda folosind numerele de Fibonium

3. Metoda Gaus-Seidel (metoda de obținere a unei modificări a unei variabile)

4. metoda de scanare etc.