Trouglasta heksagonalna prizma iz papirne sheme. Zapremina i površina pravilne četvorougaone prizme. Algoritam za konstruisanje skeniranja prizme

Dato:
Presjek piramide i prizme
potrebno:
Izgradite zamah ravne prizme i pokažite na njemu liniju presjeka prizme s piramidom.

Izgradnja ravne prizme je mnogo lakša nego piramidalna.

Konstrukcija zamaha prizme

Konstrukcija zamaha ravne prizme je olakšana činjenicom da su sve dimenzije za zamah preuzete iz dijagrama i da ne moramo pronaći prirodne dimenzije rubova prizme. Pošto je data ravna prizma, bočne ivice prizme se projektuju na ravan frontalne projekcije u punoj veličini. Rubovi osnova ravne prizme paralelni su s horizontalnom ravninom projekcija i također se projektuju na nju u punoj veličini.

Algoritam za konstruisanje skeniranja prizme

• Crtamo vodoravnu liniju.
• Iz proizvoljne tačke G ove prave odvajamo segmente GU, UE, EK, KG jednake dužinama stranica osnove prizme.
• Iz tačaka G, U, ... vraćaju se okomite i na njih se polažu količine jednake visini prizme. Rezultirajuće tačke su povezane ravnom linijom. Pravougaonik GG1G1G je razvoj bočne površine prizme. Za ukazivanje na razvoj lica prizme iz tačaka U, E, K, vraćaju se okomite.
• Da bi se postigao potpuni razvoj površine prizme, poligoni njenih baza su pričvršćeni za razvoj površine.

Da bismo na skenu izgradili liniju presjeka prizme sa piramidom zatvorenih izlomljenih linija 1, 2, 3 i 4, 5, 6, 7, 8, koristimo vertikalne prave linije.

Više detalja u video tutorijalu o deskriptivnoj geometriji u AutoCAD-u

U srcu geometrijskog tijela - prizme - nalaze se poligoni, a svaka bočna strana je paralelogram. Neupućeni su možda bili malo uplašeni. Ali ako se vaše dijete zamoli da dođe na lekciju s prizmom, prirodno ćete poželjeti da mu pomognete i objasnite kako se napravi papirna prizma.

Počnimo sa pravljenjem prave prizme. U ovoj prizmi, bočne ivice su okomite na baze. Najlakše napraviti vlastitim rukama je papirna prizma s tri lica, jer su njene osnove najjednostavniji poligoni - trokuti. Napravimo "ispravnu" prizmu. Njegove baze su predstavljene jednakostraničnim trouglovima.

trouglasta prizma

Hajde da razmislimo koliko će naša biti visoka trouglasta prizma od papira. Nacrtajmo pravougaonik čija je jedna strana jednaka visini, a druga dužina perimetra trougla u osnovi. Rezultirajući pravougaonik podijeljen je paralelnim linijama na tri jednaka dijela. Iz uglova pravokutnika koji se nalazi u sredini, šestarom crtamo krugove s polumjerom jednakim strani našeg trokuta u osnovi. Tamo gdje se kružnice sijeku izvan originalnog pravokutnika, stavite tačke i povežite ih sa središtima kružnica. Trebali bismo dobiti figuru prikazanu na sredini slike. Zatim izrezujemo figuru s malim dodacima za lijepljenje, savijamo duž postojećih ravnih linija i dobivamo gotovu prizmu.

Prema kakvom predlošku je napravljena papirna prizma sa četiri lica, dijagram na slici jasno pokazuje.

Heksagonalna prizma

Primjer blanka za petostranu prizmu prikazan je na slici. Ovdje je visina piramide 10 cm, dužina stranica pentaedra u osnovi je 3 cm. Slično, može se napraviti heksagonalna prizma od papira, ali u njenoj osnovi leži šestougao.

nagnuta prizma

Na ovoj slici je prikazana nagnuta papirna prizma. Njegove bočne strane su pod uglom u odnosu na bazu. Takva prizma se može napraviti prema šablonu za skeniranje.

AT školski program u toku čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četvorougaona prizma je šestougao, u čijem su osnovama 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijska figura- pravi paralelepiped.

Slika, koja prikazuje četverokutnu prizmu, prikazana je ispod.

Možete vidjeti i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve tačke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek je okomit (prelazi rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravougaonu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek ( maksimalni iznos sekcije koje se mogu izgraditi - 2) prolaze kroz 2 ivice i dijagonale osnove.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).

Površina i zapremina

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:

V = Sprim h

Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen zamah.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:

Sside = Pos h

Budući da je obim kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Sside = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Puno = Sside + 2Sbase

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Puno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:

• dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
• visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gore navedene omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema sa rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnim završnim ispitima iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm Koliki će biti nivo peska ako ga premestite u posudu istog oblika, ali sa 2 puta dužom podlogom?

Trebalo bi to argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegov volumen u njima je isti. Možete definirati dužinu baze kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, zapremina supstance će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Zbog V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:

Kao rezultat novi nivo pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.

S obzirom da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je osnova kvadrat sa dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu vrijednost, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi po formuli za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je ispravna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rublja.

Dakle, za rješavanje zadataka za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Potrebno je izgraditi razvoj fasetiranih tijela i na razvoju nacrtati liniju sjecišta prizme i piramide.

Da biste riješili ovaj problem u deskriptivnoj geometriji, morate znati:

- podatke o razvoju površina, načinima njihove izgradnje i, posebno, izradi razvoja fasetiranih tijela;

- svojstva jedan-na-jedan između površine i njenog odvijanja i metode za prijenos tačaka koje pripadaju površini na odvijanje;

- metode za određivanje prirodnih vrijednosti geometrijskih slika (linije, ravni, itd.).

Procedura za rješavanje problema

Skeniranje se zove ravna figura, koja se dobija rezanjem i savijanjem površine dok se potpuno ne poravna s ravninom. Sva površina se otvara ( praznine, uzorci) izgrađene su samo od prirodnih vrijednosti.

1. Budući da su skenovi građeni od prirodnih vrijednosti, prelazimo na njihovo određivanje, za šta se na paus papir (milimetar ili drugi papir) formata A3 prenosi zadatak br. z sa svim tačkama i linijama presjeka poliedara.

2. Za određivanje prirodnih vrijednosti rubova i baze piramide koristimo se metoda pravouglog trougla. Naravno, moguće su i druge, ali po mom mišljenju ova metoda je studentima razumljivija. Njegova suština leži u činjenici da „Na konstruisanom pravom uglu, na jednoj kraci je ucrtana vrednost projekcije segmenta prave, a na drugoj, razlika u koordinatama krajeva ovog segmenta, uzetih iz konjugirane ravni projekcije. Tada hipotenuza rezultirajućeg pravog ugla daje prirodnu vrijednost ovog segmenta..

Sl.4.1

Sl.4.2

Sl.4.3

3. Dakle, u slobodnom prostoru crteža (Sl.4.1.a) praveći pravi ugao.

Na horizontalnoj liniji ovog ugla odvajamo vrijednost projekcije ivice piramide DA uzeto iz horizontalne ravni projekcije - lDA. Na okomitoj liniji pravog ugla ucrtavamo razliku u koordinatama tačaka D’ iA’ uzeto iz ravni frontalne projekcije (duž ose z put dole) - . Povezujući dobijene tačke hipotenuzom, dobijamo prirodnu veličinu ivice piramide | DA| .

Tako određujemo prirodne vrijednosti ostalih ivica piramide D.B. i DC, kao i osnova piramide AB, BC, AC (sl.4.2), za koji konstruišemo drugi pravi ugao. Imajte na umu da je definicija prirodne veličine ruba DC izrađuje se u onim slučajevima kada je dat u projekciji na originalnom crtežu. To je lako odrediti ako se sjetimo pravila: ako je prava linija na bilo kojoj ravni projekcije paralelna s koordinatnom osom, tada se na konjugiranoj ravni projektuje u punoj veličini.

Konkretno, u primjeru našeg problema, frontalna projekcija ivice D’ C’ paralelno sa osom X, dakle, u horizontalnoj ravni DC odmah izraženo u prirodnoj veličini | DC| (sl.4.1).

Sl.4.4

4. Nakon što smo odredili prirodne vrijednosti ivica i baze piramide, prelazimo na konstrukciju zamaha ( sl.4.4). Da bismo to učinili, na listu papira bliže lijevoj strani okvira uzimamo proizvoljnu točku D s obzirom da je ovo vrh piramide. Crtajte iz tačke D proizvoljnu ravnu liniju i odvojite na njoj prirodnu veličinu ruba | DA| , dobijam poen ALI. Onda iz tačke ALI, uzimajući rješenje kompasa punu veličinu osnove piramide R=|AB| i postavljanje noge kompasa na tačku ALI pravimo luk. Zatim uzimamo rješenje kompasa punu veličinu ruba piramide R=| D.B.| i postavljanje noge kompasa na tačku D pravimo drugi lučni zarez. Na preseku lukova dobijamo tačku AT, povezujući ga tačkama A i D dobiti ivicu piramide DAB. Slično, pričvršćujemo se za rub D.B. facet DBC, i do ivice DC- ivica DCALI.

Na jednoj strani baze, na primjer ATC, pričvršćujemo bazu piramide također metodom geometrijskih serifa, uzimajući veličinu stranica na rješenju kompasa ALIBiAOD i pravljenje lučnih serifa od tačaka BiC dobiti poen A(sl.4.4).

5. Izgradnja sweep prizma je pojednostavljena činjenicom da je na originalnom crtežu u horizontalnoj ravnini projekcija osnova, au prednjoj ravni - visine 85 mm, ona postavljeno u punoj veličini

Da bismo izgradili zamah, mentalno režemo prizmu duž neke ivice, na primjer, duž E, nakon što smo ga fiksirali na ravan, proširit ćemo ostale strane prizme dok se potpuno ne poravna sa ravninom. Sasvim je očigledno da ćemo dobiti pravougaonik čija je dužina zbir dužina stranica baze, a visina je visina prizme - 85mm.

Dakle, da bismo izgradili zamah prizme, nastavljamo:

- na istom formatu gdje je izgrađen piramidalni zamah, na desnoj strani crtamo vodoravnu pravu liniju i iz proizvoljne tačke na njoj, na primjer E, sukcesivno odlažemo segmente osnove prizme EK, KG, GU, UE, uzeto iz horizontalne ravni projekcije;

- od bodova E, K, G, U, E vraćamo okomice na koje odvajamo visinu prizme uzetu iz ravni frontalne projekcije (85mm);

- povezivanjem dobijenih tačaka pravom linijom dobijamo razvoj bočne površine prizme i na jednu od stranica baze, npr. GU gornju i donju bazu pričvršćujemo metodom geometrijskih serifa, kao što je to učinjeno prilikom izgradnje baze piramide.

Sl.4.5

6. Da bismo izgradili liniju raskrsnice na razvoju, koristimo pravilo da "bilo koja tačka na površini odgovara tački na razvoju". Uzmimo, na primjer, ivicu prizme GU gde je linija preseka sa tačkama 1-2-3 ; . Odvojite za razvoj baze GU bodova 1,2,3 udaljenostima uzetim od horizontalne ravni projekcije. Vratite okomice iz ovih tačaka i na njih ucrtajte visine tačaka 1’ , 2’, 3’ , preuzeto iz ravni frontalne projekcije - z 1 , z 2 iz 3 . Tako smo dobili bodove na pometanju 1, 2, 3, spajanjem koje dobijamo prvu granu linije ukrštanja.

Sve ostale tačke se prenose na sličan način. Konstruisane tačke se povezuju, dobijajući drugu granu linije preseka. Označite crvenom - željenu liniju. Dodajmo da će u slučaju nepotpunog ukrštanja fasetiranih tijela na razvoju prizme postojati jedan zatvoreni krak linije ukrštanja.

7. Izgradnja (prenos) linije raskrsnice na razvoju piramide izvodi se na isti način, ali uzimajući u obzir sljedeće:

- s obzirom da su zahvati izgrađeni od prirodnih vrijednosti, potrebno je prenijeti položaj tačaka 1-8 linije presjeka projekcija na linije ivica prirodnih veličina piramide. Da biste to učinili, uzmite, na primjer, bodove 2 i 5 u frontalnoj projekciji rebra DA prenosimo ih na vrijednost projekcije ove ivice pravog ugla (sl.4.1) duž komunikacionih linija paralelnih sa osom X, dobijamo tražene segmente | D2| i |D5| rebra DA u prirodnim vrijednostima, koje izdvajamo (prenosimo) u razvoj piramide;

- sve ostale tačke raskrsnice prenose se na isti način, uključujući tačke 6 i 8 ležeći na generatorima Dm i Dn zašto pravi ugao (sl.4.3) određuju se prirodne vrijednosti ovih generatora, a zatim se na njih prenose bodovi 6 i 8;

- na drugi pravi ugao, gdje su određene prirodne vrijednosti osnove piramide, prenose se tačke min ukrštanja generatora sa bazom, koji se naknadno prenose u razvoj.

Dakle, bodovi dobijeni na prirodnim vrijednostima 1-8 i preneseno u razvoj, povezujemo serijski pravim linijama i na kraju dobijamo liniju preseka piramide na njenom razvoju.

Sekcija: Nacrtna geometrija /