U srcu geometrijskog tijela - prizme - nalaze se poligoni, a svaka bočna strana je paralelogram. Neupućeni su možda bili malo uplašeni. Ali ako se vaše dijete zamoli da dođe na lekciju s prizmom, prirodno ćete poželjeti da mu pomognete i objasnite kako se napravi papirna prizma.

Počnimo sa pravljenjem prave prizme. U ovoj prizmi, bočne ivice su okomite na baze. Najlakše napraviti vlastitim rukama je papirna prizma s tri lica, jer su njene osnove najjednostavniji poligoni - trokuti. Napravimo "ispravnu" prizmu. Njegove baze su predstavljene jednakostraničnim trouglovima.

trouglasta prizma

Hajde da razmislimo koliko će naša biti visoka trouglasta prizma od papira. Nacrtajmo pravougaonik čija je jedna strana jednaka visini, a druga dužina perimetra trougla u osnovi. Rezultirajući pravougaonik podijeljen je paralelnim linijama na tri jednaka dijela. Iz uglova pravokutnika koji se nalazi u sredini, šestarom crtamo krugove s polumjerom jednakim strani našeg trokuta u osnovi. Tamo gdje se kružnice sijeku izvan originalnog pravokutnika, stavite tačke i povežite ih sa središtima kružnica. Trebali bismo dobiti figuru prikazanu na sredini slike. Zatim izrezujemo figuru s malim dodacima za lijepljenje, savijamo duž postojećih ravnih linija i dobivamo gotovu prizmu.

Prema kakvom predlošku je napravljena papirna prizma sa četiri lica, dijagram na slici jasno pokazuje.

Heksagonalna prizma

Primjer blanka za petostranu prizmu prikazan je na slici. Ovdje je visina piramide 10 cm, dužina stranica pentaedra u osnovi je 3 cm. Slično, može se napraviti heksagonalna prizma od papira, ali u njenoj osnovi leži šestougao.

nagnuta prizma

Na ovoj slici je prikazana nagnuta papirna prizma. Njegove bočne strane su pod uglom u odnosu na bazu. Takva prizma se može napraviti prema šablonu za skeniranje.

AT školski program u toku čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četvorougaona prizma je šestougao, u čijem su osnovama 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijska figura- ravan paralelepiped.

Slika, koja prikazuje četverokutnu prizmu, prikazana je ispod.

Možete vidjeti i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve tačke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek je okomit (prelazi rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravougaonu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek ( maksimalni iznos sekcije koje se mogu izgraditi - 2) prolaze kroz 2 ivice i dijagonale osnove.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).

Površina i zapremina

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:

V = Sprim h

Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen zamah.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:

Sside = Pos h

Budući da je obim kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Sside = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Puno = Sside + 2Sbase

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Puno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:

• dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
• visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gore navedene omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema sa rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnim završnim ispitima iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm. Koliki će biti nivo peska ako ga premestite u posudu istog oblika, ali sa 2 puta dužom bazom?

Trebalo bi to argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegov volumen u njima je isti. Možete definirati dužinu baze kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, zapremina supstance će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Zbog V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:

Kao rezultat novi nivo pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.

S obzirom da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je osnova kvadrat sa dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu vrijednost, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi po formuli za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje zadataka za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Dato:
Presjek piramide i prizme
potrebno:
Izgradite zamah ravne prizme i pokažite na njemu liniju presjeka prizme s piramidom.

Izgradnja ravne prizme je mnogo lakša nego piramidalna.

Konstrukcija zamaha prizme

Konstrukcija zamaha ravne prizme je olakšana činjenicom da su sve dimenzije za zamah preuzete iz dijagrama i da ne moramo pronaći prirodne dimenzije rubova prizme. Pošto je data ravna prizma, bočne ivice prizme se projektuju na ravan frontalne projekcije u punoj veličini. Rubovi osnova ravne prizme paralelni su s horizontalnom ravninom projekcija i također se projektuju na nju u punoj veličini.

Algoritam za konstruisanje skeniranja prizme

• Crtamo vodoravnu liniju.
• Iz proizvoljne tačke G ove prave odvajamo segmente GU, UE, EK, KG jednake dužinama stranica osnove prizme.
• Iz tačaka G, U, ... vraćaju se okomite i na njih se polažu količine jednake visini prizme. Rezultirajuće tačke su povezane ravnom linijom. Pravougaonik GG1G1G je razvoj bočne površine prizme. Za ukazivanje na razvoj lica prizme iz tačaka U, E, K, vraćaju se okomite.
• Da bi se postigao potpuni razvoj površine prizme, poligoni njenih baza su pričvršćeni za razvoj površine.

Da bismo na skenu izgradili liniju presjeka prizme sa piramidom zatvorenih izlomljenih linija 1, 2, 3 i 4, 5, 6, 7, 8, koristimo vertikalne prave linije.

Više detalja u video tutorijalu o deskriptivnoj geometriji u AutoCAD-u

Prizma je geometrijsko tijelo, poliedar, čije su osnove jednaki poligoni, a bočne strane su paralelogrami. Neupućenima ovo može zvučati pomalo zastrašujuće. A, kada vaše dijete treba da donese prizmu napravljenu kod kuće na čas geometrije, vi ste na gubitku, ne znate kako da pomognete svom voljenom djetetu. Zapravo, sve nije tako teško i, koristeći naše savjete o tome kako napraviti prizmu, adekvatno ćete se nositi s ovim problemom.

Kako napraviti papirnu prizmu

Odmah ćemo se dogovoriti da ćemo napraviti ravnu prizmu, odnosno prizmu u kojoj će bočne ivice biti okomite na baze. Uradite isto nagnuta prizma papir je vrlo problematičan (takvi rasporedi su obično napravljeni od žice).

Već znamo da dva identična poligona leže u osnovima prizme. Stoga će naš rad započeti s njima. Najjednostavniji od poligona je trokut. To znači da ćemo prvo napraviti trouglastu prizmu.

Kako napraviti trouglastu prizmu

Trebat će nam debeli bijeli papir za crtanje, olovka, kutomjer, šestar, ravnalo, makaze i ljepilo.

Crtamo trokut, bilo koji je moguć, ali da bi naša prizma bila posebno lijepa, napravićemo trokut jednakostraničan. Takva prizma u geometriji se naziva "ispravna". Odabiremo po vlastitom nahođenju veličinu stranice trougla, recimo 10 cm.Lenjirom stavljamo ovaj segment na papir i kutomjerom od jednog kraja našeg segmenta izmjerimo ugao od 60∗.

Crtamo nagnutu liniju. Na njemu, pomoću ravnala, odvojite 10 cm od kraja segmenta. Tako smo pronašli treći vrh trougla. Ovu tačku povezujemo s krajevima početnog segmenta i jednakostranični trokut je spreman. Može se izrezati. Slično, pravimo drugi trokut ili pažljivo iscrtavamo konture prvog na papiru. Pa, već imamo dva razloga.

Pravimo bočne ivice. Odlučujemo kolika će biti visina prizme. Recimo 20 cm Nacrtamo pravougaonik u kojem je vrijednost jedne strane visina prizme (u našem slučaju 20 cm), a druga stranica jednaka vrijednosti stranice baze pomnožene brojem ovih stranica (imamo: 10 cm x 3 = 30 cm) .

Na dugim stranama pravimo oznake svakih 10 cm, a suprotne oznake povezujemo pravim linijama. Na njima će tada biti potrebno pažljivo saviti papir. Ovo su bočne ivice naše prizme. Ocrtavamo uske dodatke za lijepljenje duž dvije dugačke i jedne kratke strane pravokutnika (dovoljne su trake širine 1 cm). Izrežemo pravougaonik zajedno s dodacima, pažljivo ih savijamo prema oznaci. Savijamo rebra.

Počinjemo sa montažom. Zalijepimo pravougaonik duž bočne strane u cijev trokutastog presjeka. Zalijepite temeljne trokute odozgo i dolje na savijene dodatke. Prizma je spremna.

Vjerovatno nije vrijedno ulaziti u detalje pitanja kako napraviti prizmu od kartona. Cijeli algoritam montaže ostaje isti, samo zamijenite papir tankim kartonom. Promjenom broja stranica osnovnih poligona, sada možete samostalno napraviti i petougaonu i heksagonalnu prizmu.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme je segment okomit na osnove prizme

Prism Diagonal- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravan- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 jednake su i paralelne jedna s drugom
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina - zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2 .

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Stranice su pravougaonici.
• Bočne strane su jednake jedna drugoj
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - desno
• Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četvorougaona prizma" implicira da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi iznad svojstva pravilne četvorougaone prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa zadacima iz geometrije (presjek čvrsta geometrija - prizma). Evo zadataka koji uzrokuju poteškoće u rješavanju. Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četvorougaonoj prizmi površina osnove je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odrediti dijagonalu prizme i ukupnu površinu.

Rješenje.
Pravilan četvorougao je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Otuda će dijagonala osnove pravilne pravokutne prizme biti jednaka
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala desna prizma formira pravougaoni trougao sa dijagonalom osnove i visinom prizme. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četverougaone prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Nađite ukupnu površinu pravilne četverokutne prizme ako je njena dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne strane 4 cm.

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, onda se stranica baze (označena kao a) nalazi po Pitagorinoj teoremi:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Ukupna površina će biti jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine osnove

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.