Trokutna šesterokutna prizma iz papirnate sheme. Volumen i površina pravilne četverokutne prizme. Algoritam za konstruiranje skeniranja prizme

dano:
Presjek piramide i prizme
Potrebno:
Napravite zamah ravne prizme i na njemu pokažite sjecište prizme s piramidom.

Izgradnja ravne prizme je mnogo lakša od piramidalne.

Konstrukcija skeniranja prizme

Konstrukcija zamaha ravne prizme je olakšana činjenicom da su sve dimenzije za zamah uzete iz dijagrama i ne moramo pronaći prirodne dimenzije bridova prizme. Budući da je dana ravna prizma, bočni bridovi prizme projiciraju se na ravninu frontalne projekcije u punoj veličini. Bridovi baza ravne prizme paralelni su s vodoravnom ravninom projekcija i također se projiciraju na nju u punoj veličini.

Algoritam za konstruiranje skeniranja prizme

• Crtamo vodoravnu liniju.
• Iz proizvoljne točke G ove crte odvajamo segmente GU, UE, EK, KG jednake duljinama stranica baze prizme.
• Iz točaka G, U, ... vraćaju se okomice i na njih polažu veličine jednake visini prizme. Rezultirajuće točke povezane su ravnom linijom. Pravokutnik GG1G1G je razvoj bočne plohe prizme. Za označavanje razvoja ploha prizme iz točaka U, E, K, vraćene su okomice.
• Da bi se dobila potpuna razvijenost plohe prizme, poligoni njezinih baza pričvršćeni su na razvijenost plohe.

Da bismo na skenu izgradili liniju sjecišta prizme s piramidom zatvorenih isprekidanih linija 1, 2, 3 i 4, 5, 6, 7, 8, koristimo okomite ravne linije.

Više detalja u video tutorijalu o nacrtnoj geometriji u AutoCAD-u

U srcu geometrijskog tijela - prizme - nalaze se poligoni, a svaka bočna strana je paralelogram. Neupućeni su se možda malo uplašili. Ali ako vaše dijete bude zamoljeno da dođe na lekciju s prizmom, prirodno ćete mu htjeti pomoći i objasniti mu kako napraviti papirnatu prizmu.

Počnimo s izradom ravne prizme. U ovoj prizmi, bočni bridovi su okomiti na baze. Najlakše je napraviti vlastitim rukama prizmu od papira s tri lica, budući da su njezine baze najjednostavniji poligoni - trokuti. Napravimo "ispravnu" prizmu. Njegove su baze prikazane jednakostraničnim trokutima.

trokutasta prizma

Razmislimo koliko će naši biti visoki trokutasta prizma od papira. Nacrtajmo pravokutnik čija je jedna stranica jednaka visini, a druga jednaka duljini opsega trokuta na osnovici. Dobiveni pravokutnik podijeljen je paralelnim linijama na tri jednaka dijela. Iz uglova pravokutnika koji se nalazi u sredini, šestarom crtamo krugove polumjera jednakog strani našeg trokuta u bazi. Tamo gdje se krugovi sijeku izvan izvornog pravokutnika, stavite točke i povežite ih sa središtima krugova. Trebali bismo dobiti lik prikazan u sredini slike. Zatim izrežemo figuru s malim dodacima za lijepljenje, savijemo duž postojećih ravnih linija i dobijemo gotovu prizmu.

Prema kojem se predlošku izrađuje papirnata prizma s četiri strane, jasno pokazuje dijagram na slici.

Heksagonalna prizma

Na slici je prikazan primjer ispune za peterostranu prizmu. Ovdje je visina piramide 10 cm, duljina stranica pentaedra u podnožju je 3 cm.Slično se može napraviti šesterokutna prizma od papira, ali u njenoj osnovi leži šesterokut.

nagnuta prizma

Na ovoj slici je prikazana kosa prizma od papira. Njegove bočne strane su pod kutom u odnosu na bazu. Takva se prizma može izraditi prema predlošku za skeniranje.

NA školski plan i program u tečaju čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje s jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut, na čijem se dnu nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravni paralelopiped.

Dolje je prikazana slika koja prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek je okomit (presijeca rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek ( maksimalan iznos presjeci koji se mogu graditi - 2) prolaze kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sprim h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezino kretanje.

Iz crteža je vidljivo da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = položaj h

Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Pun = Sstrana + 2Sosnova

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Pun = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

• duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
• visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko površine ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gornje omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?

Treba argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat nova razina pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu vrijednost, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se formulom za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Kako su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da je ispravna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti oblijepljen tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje problema za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontakt s njom.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudski poredak, u sudskom postupku, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Potrebno je izgraditi razvoj fasetiranih tijela i nacrtati na razvoju liniju presjeka prizme i piramide.

Da biste riješili ovaj problem u nacrtnoj geometriji, morate znati:

- podatke o razvoju ploha, načinima njihove izrade i, posebno, konstrukciji razvoja fasetiranih tijela;

- svojstva jedan-na-jedan između plohe i njezinog odvijanja i metode za prijenos točaka koje pripadaju plohi na odvijanje;

- metode za određivanje prirodnih vrijednosti geometrijskih slika (pravci, ravnine, itd.).

Procedura za rješavanje problema

Skeniranje se zove ravna figura, koja se dobiva rezanjem i savijanjem površine dok se potpuno ne poravna s ravninom. Sva površina se razvija ( praznine, uzorci) izgrađeni su samo od prirodnih vrijednosti.

1. Budući da su skenovi izgrađeni od prirodnih vrijednosti, prelazimo na njihovo određivanje, za što se paus papir (milimetarski papir ili drugi papir) formata A3 prenosi zadatak br. z sa svim točkama i linijama sjecišta poliedra.

2. Za određivanje prirodnih vrijednosti rubova i baze piramide koristimo metoda pravokutnog trokuta. Naravno, moguće su i druge, ali po mom mišljenju ova metoda je razumljivija studentima. Njegova suština leži u činjenici da „na konstruiranom pravom kutu na jednom kraku ucrtana je projekcijska vrijednost segmenta ravne linije, a na drugom razlika koordinata krajeva ovog segmenta, uzeta iz konjugirane ravnine projekcije. Tada hipotenuza dobivenog pravog kuta daje prirodnu vrijednost ovog segmenta..

sl.4.1

sl.4.2

sl.4.3

3. Dakle, u slobodnom prostoru crteža (Sl.4.1.a)čineći pravi kut.

Na vodoravnoj liniji ovog kuta odvajamo vrijednost projekcije ruba piramide DA snimljeno iz horizontalne ravnine projekcije - lDA. Na okomitu liniju pravog kuta nanosimo razliku koordinata točaka D’ iA’ snimljeno iz ravnine frontalne projekcije (duž osi z put prema dolje) - . Spajanjem dobivenih točaka hipotenuzom dobivamo prirodnu veličinu brida piramide | DA| .

Dakle, određujemo prirodne vrijednosti ostalih rubova piramide D.B. i DC, kao i baza piramide AB, BC, AC (sl.4.2), za koji konstruiramo drugi pravi kut. Imajte na umu da je definicija prirodne veličine ruba DC izrađuje se u onim slučajevima kada je dat u projekciji na izvornom crtežu. To se lako utvrđuje ako se sjetimo pravila: ako je pravac na bilo kojoj ravnini projekcije paralelan s koordinatnom osi, tada se na konjugiranoj ravnini projicira u punoj veličini.

Konkretno, u primjeru našeg problema, frontalna projekcija ruba D’ C’ paralelno s osi x, dakle, u horizontalnoj ravnini DC odmah izražen u prirodnoj veličini | DC| (sl.4.1).

sl.4.4

4. Odredivši prirodne vrijednosti rubova i baze piramide, nastavljamo s izgradnjom zamaha ( sl.4.4). Da bismo to učinili, na listu papira bliže lijevoj strani okvira uzimamo proizvoljnu točku D s obzirom da je ovo vrh piramide. Crtanje iz točke D proizvoljnu ravnu liniju i na njoj odvojite prirodnu veličinu ruba | DA| , dobivanje boda ALI. Zatim s točke ALI, uzimajući rješenje kompasa u punoj veličini baze piramide R=|AB| i postavljanje noge kompasa na točku ALI pravimo luk. Dalje, uzimamo rješenje kompasa pune veličine ruba piramide R=| D.B.| i postavljanje noge kompasa na točku D napravimo drugi lučni zarez. U sjecištu lukova dobivamo točku NA, povezujući ga s točkama A i D dobiti rub piramide DAB. Slično, pričvršćujemo na rub D.B. aspekt DBC, i do ruba DC- rub DCALI.

S jedne strane baze, na primjer NAC, pričvršćujemo bazu piramide također metodom geometrijskih serifa, uzimajući veličinu stranica na rješenju šestara ALIBiAIZ i pravljenje lučnih serifa od točaka BiC dobiti bod A(sl.4.4).

5. Izgradnja zamaha prizma je pojednostavljena činjenicom da je na izvornom crtežu u vodoravnoj ravnini projekcija baza, au frontalnoj ravnini - visoka 85 mm, postaviti u punoj veličini

Da bismo izgradili zamah, mentalno režemo prizmu duž nekog ruba, na primjer, duž E, nakon što ga učvrstimo na ravnini, proširit ćemo druge strane prizme dok se potpuno ne poravna s ravninom. Sasvim je očito da ćemo dobiti pravokutnik čija je duljina zbroj duljina stranica baze, a visina visina prizme - 85 mm.

Dakle, da bismo napravili pregled prizme, nastavljamo:

- na istom formatu na kojem je izgrađena piramida, s desne strane nacrtamo vodoravnu ravnu liniju i iz proizvoljne točke na njoj, na primjer E, uzastopno odložimo segmente baze prizme EK, KG, GU, UE, snimljeno iz horizontalne ravnine projekcije;

- od bodova E, K, G, U, E obnavljamo okomice, na koje smo odložili visinu prizme, uzetu iz ravnine frontalne projekcije (85 mm);

- spajanjem dobivenih točaka ravnom linijom dobivamo razvitak bočne plohe prizme i na jednu od stranica baze, npr. GU pričvršćujemo gornju i donju bazu metodom geometrijskih serifa, kao što je učinjeno pri izgradnji baze piramide.

sl.4.5

6. Da bismo izgradili liniju presjeka na razvitku, koristimo pravilo da "svaka točka na površini odgovara točki na razvitku". Uzmimo, na primjer, rub prizme GU gdje je linija presjeka s točkama 1-2-3 ; . Odvojite na razvoj baze GU bodova 1,2,3 udaljenostima uzetim od horizontalne ravnine projekcije. Iz tih točaka vratite okomice i na njih ucrtajte visine točaka 1’ , 2’, 3’ , uzeto iz ravnine frontalne projekcije - z 1 , z 2 iz 3 . Tako smo dobili bodove na pregledu 1, 2, 3, spajajući koji dobivamo prvi krak linije presjeka.

Sve ostale točke prenose se na sličan način. Izgrađene točke se spajaju, dobivajući drugu granu linije sjecišta. Označite crveno - željenu liniju. Dodajmo da će u slučaju nepotpunog presjeka fasetiranih tijela na razvitku prizme biti jedna zatvorena grana presječne linije.

7. Konstrukcija (prijenos) linije sjecišta na razvoju piramide provodi se na isti način, ali uzimajući u obzir sljedeće:

- budući da su zahvati izgrađeni od prirodnih vrijednosti, potrebno je prenijeti položaj točaka 1-8 crte sjecišta projekcija na crte bridova prirodnih veličina piramide. Da biste to učinili, uzmite, na primjer, bodove 2 i 5 u frontalnoj projekciji rebra DA prenosimo ih na vrijednost projekcije ovog pravokutnog brida (sl.4.1) duž komunikacijskih linija paralelnih s osi x, dobivamo potrebne segmente | D2| i |D5| rebra DA u prirodnim vrijednostima, koje izdvajamo (prenosimo) u razvoj piramide;

- na isti način prenose se sve ostale točke crte sjecišta, uključujući i točke 6 i 8 ležeći na generatorima Dm i Dn zašto pravi kut (sl.4.3) određuju se prirodne vrijednosti tih generatora, a zatim se na njih prenose bodovi 6 i 8;

- na drugom pravom kutu, gdje se određuju prirodne vrijednosti baze piramide, prenose se točke min sjecišta generatora s bazom, koji se naknadno prenose u razvoj.

Dakle, bodovi dobiveni na prirodnim vrijednostima 1-8 i preneseno na razvoj serijski spajamo ravnim linijama i na kraju dobijemo presječnu liniju piramide na njenom razvoju.

Odjeljak: Nacrtna geometrija /