U srcu geometrijskog tijela - prizme - nalaze se poligoni, a svaka bočna strana je paralelogram. Neupućeni su se možda malo uplašili. Ali ako vaše dijete bude zamoljeno da dođe na lekciju s prizmom, prirodno ćete mu htjeti pomoći i objasniti mu kako napraviti papirnatu prizmu.

Počnimo s izradom ravne prizme. U ovoj prizmi, bočni bridovi su okomiti na baze. Najlakše je napraviti vlastitim rukama prizmu od papira s tri lica, budući da su njezine baze najjednostavniji poligoni - trokuti. Napravimo "ispravnu" prizmu. Njegove su baze prikazane jednakostraničnim trokutima.

trokutasta prizma

Razmislimo koliko će naši biti visoki trokutasta prizma od papira. Nacrtajmo pravokutnik čija je jedna stranica jednaka visini, a druga jednaka duljini opsega trokuta na osnovici. Dobiveni pravokutnik podijeljen je paralelnim linijama na tri jednaka dijela. Iz uglova pravokutnika koji se nalazi u sredini, šestarom crtamo krugove polumjera jednakog strani našeg trokuta u bazi. Tamo gdje se krugovi sijeku izvan izvornog pravokutnika, stavite točke i povežite ih sa središtima krugova. Trebali bismo dobiti lik prikazan u sredini slike. Zatim izrežemo figuru s malim dodacima za lijepljenje, savijemo duž postojećih ravnih linija i dobijemo gotovu prizmu.

Prema kojem se predlošku izrađuje papirnata prizma s četiri strane, jasno pokazuje dijagram na slici.

Heksagonalna prizma

Na slici je prikazan primjer ispune za peterostranu prizmu. Ovdje je visina piramide 10 cm, duljina stranica pentaedra u podnožju je 3 cm.Slično se može napraviti šesterokutna prizma od papira, ali u njenoj osnovi leži šesterokut.

nagnuta prizma

Na ovoj slici je prikazana kosa prizma od papira. Njegove bočne strane su pod kutom u odnosu na bazu. Takva se prizma može izraditi prema predlošku za skeniranje.

NA školski plan i program u tečaju čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje s jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut, na čijem se dnu nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravni paralelopiped.

Dolje je prikazana slika koja prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek je okomit (presijeca rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek ( maksimalan iznos presjeci koji se mogu graditi - 2) prolaze kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sprim h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezino kretanje.

Iz crteža je vidljivo da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = položaj h

Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Pun = Sstrana + 2Sosnova

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Pun = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

• duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
• visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko površine ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gornje omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?

Treba argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat nova razina pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu vrijednost, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se formulom za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Kako su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a stjenke okomite na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti oblijepljen tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje problema na pravokutnoj prizmi dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

dano:
Presjek piramide i prizme
Potrebno:
Napravite zamah ravne prizme i na njemu pokažite sjecište prizme s piramidom.

Izgradnja ravne prizme je mnogo lakša od piramidalne.

Konstrukcija skeniranja prizme

Konstrukcija zamaha ravne prizme je olakšana činjenicom da su sve dimenzije za zamah uzete iz dijagrama i ne moramo pronaći prirodne dimenzije bridova prizme. Budući da je dana ravna prizma, bočni bridovi prizme projiciraju se na ravninu frontalne projekcije u punoj veličini. Bridovi baza ravne prizme paralelni su s vodoravnom ravninom projekcija i također se projiciraju na nju u punoj veličini.

Algoritam za konstruiranje skeniranja prizme

• Crtamo vodoravnu liniju.
• Iz proizvoljne točke G ove crte odvajamo segmente GU, UE, EK, KG jednake duljinama stranica baze prizme.
• Iz točaka G, U, ... vraćaju se okomice i na njih polažu veličine jednake visini prizme. Rezultirajuće točke povezane su ravnom linijom. Pravokutnik GG1G1G je razvoj bočne plohe prizme. Za označavanje razvoja ploha prizme iz točaka U, E, K, vraćene su okomice.
• Da bi se dobila potpuna razvijenost plohe prizme, poligoni njezinih baza pričvršćeni su na razvijenost plohe.

Da bismo na skenu izgradili liniju sjecišta prizme s piramidom zatvorenih isprekidanih linija 1, 2, 3 i 4, 5, 6, 7, 8, koristimo okomite ravne linije.

Više detalja u video tutorijalu o nacrtnoj geometriji u AutoCAD-u

Prizma je geometrijsko tijelo, poliedar, čije su baze jednaki poligoni, a bočne strane su paralelogrami. Neupućenima ovo može zvučati pomalo zastrašujuće. I, kada vaše dijete treba donijeti prizmu napravljenu kod kuće na sat geometrije, vi ste u nedoumici, ne znate kako pomoći svom voljenom djetetu. Zapravo, sve nije tako teško i, koristeći naše savjete o tome kako napraviti prizmu, adekvatno ćete se nositi s ovim problemom.

Kako napraviti prizmu od papira

Odmah ćemo se dogovoriti da ćemo raditi ravnu prizmu, odnosno prizmu u kojoj će bočni bridovi biti okomiti na baze. Učiniti isto nagnuta prizma papir je vrlo problematičan (takvi su rasporedi obično izrađeni od žice).

Već znamo da dva identična poligona leže na osnovicama prizme. Stoga ćemo s njima započeti naš rad. Najjednostavniji od mnogokuta je trokut. To znači da ćemo prvo napraviti trokutastu prizmu.

Kako napraviti trokutastu prizmu

Trebat će nam debeli bijeli papir za crtanje, olovka, kutomjer, šestari, ravnalo, škare i ljepilo.

Nacrtamo trokut, može bilo koji, ali da bi naša prizma bila posebno lijepa, napravit ćemo trokut jednakostraničnim. Takva se prizma u geometriji naziva "ispravna". Odaberemo po vlastitom nahođenju veličinu stranice trokuta, recimo 10 cm. Ravnalom stavimo ovaj segment na papir i kutomjerom izmjerimo kut od 60 ∗ s jednog kraja našeg segmenta.

Crtamo nagnutu liniju. Na njemu, pomoću ravnala, odvojite 10 cm od kraja segmenta. Dakle, pronašli smo treći vrh trokuta. Ovu točku povezujemo s krajevima početnog segmenta i jednakostranični trokut je spreman. Može se izrezati. Na sličan način izrađujemo drugi trokut ili pažljivo iscrtavamo konture prvog na papiru. Pa već imamo dva razloga.

Izrađujemo bočne rubove. Mi odlučujemo kolika će biti visina prizme. Recimo 20 cm.Nacrtamo pravokutnik u kojem je vrijednost jedne stranice visina prizme (u našem slučaju 20 cm), a druga stranica jednaka vrijednosti stranice baze pomnoženoj s brojem ovih stranica (imamo: 10 cm x 3 = 30 cm) .

Na dugim stranama izrađujemo oznake svakih 10 cm.Suprotne oznake povezujemo ravnim linijama. Na njima će tada biti potrebno pažljivo saviti papir. Ovo su bočni rubovi naše prizme. Ocrtavamo uske dopuštenje za lijepljenje duž dvije duge i jedne kratke stranice pravokutnika (dovoljne su trake širine 1 cm). Izrežemo pravokutnik zajedno s dopuštenjima, pažljivo ih savijamo prema oznakama. Savijamo rebra.

Počinjemo sa montažom. Zalijepimo pravokutnik duž bočne strane u cijev trokutastog presjeka. Zalijepite temeljne trokute na vrhu i dnu na savijenim dodacima. Prizma je spremna.

Vjerojatno ne vrijedi ulaziti u detalje pitanja kako napraviti prizmu od kartona. Cijeli algoritam montaže ostaje isti, samo zamijenite papir tankim kartonom. Promjenom broja stranica baznih poligona sada možete samostalno izraditi i peterokutnu i šesterokutnu prizmu.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro je zajednička stranica dviju susjednih bočnih stranica

Visina prizme je odsječak okomit na osnovice prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Baze ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina - zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2 .

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Stranice su pravokutnici.
• Bočne strane su međusobno jednake
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - desni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" podrazumijeva da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa zadacima iz geometrije (dio geometrija tijela - prizma). Ovdje su navedeni zadaci koji izazivaju poteškoće u rješavanju. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, koji nije ovdje - napišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vađenja kvadratnog korijena u rješavanju zadataka koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi osnovka je 144 cm 2, a visina 14 cm.Nađite dijagonalu prizme i ukupnu plohu.

Riješenje.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, stranica baze bit će jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će dijagonala baze pravilne pravokutne prizme biti jednaka
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonalno desna prizma tvori pravokutni trokut s dijagonalom baze i visinom prizme. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odredite ukupnu površinu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne plohe 4 cm.

Riješenje.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, tada se stranica baze (označena kao a) nalazi prema Pitagorinom teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.