În inima unui corp geometric - o prismă - se află poligoane, iar fiecare față laterală este un paralelogram. Poate că cei neinițiați au fost puțin speriați. Dar dacă copilul tău este rugat să vină la o lecție cu o prismă, vei dori în mod natural să-l ajuți și să-i explici cum să faci o prismă de hârtie.

Să începem prin a face o prismă dreaptă. În această prismă, marginile laterale sunt perpendiculare pe baze. Cel mai ușor de făcut cu propriile mâini este o prismă de hârtie cu trei fețe, deoarece bazele sale sunt cele mai simple poligoane - triunghiuri. Să facem o prismă „corectă”. Bazele sale sunt reprezentate prin triunghiuri echilaterale.

prisma triunghiulara

Să ne gândim cât de sus vor fi ale noastre prisma triunghiulara din hârtie. Să desenăm un dreptunghi cu o latură egală cu înălțimea, iar cealaltă egală cu lungimea perimetrului triunghiului de la bază. Dreptunghiul rezultat este împărțit prin linii paralele în trei părți egale. Din colțurile dreptunghiului situat în mijloc, desenăm cercuri cu o busolă cu o rază egală cu latura triunghiului nostru de la bază. Acolo unde cercurile se intersectează în afara dreptunghiului original, puneți puncte și conectați-le la centrele cercurilor. Ar trebui să obținem figura afișată în mijlocul imaginii. Apoi, tăiem figura cu mici alocații pentru lipire, ne îndoim de-a lungul liniilor drepte existente și obținem prisma finită.

În funcție de ce șablon este realizată o prismă de hârtie cu patru fețe, diagrama din figură demonstrează clar.

Prismă hexagonală

Un exemplu de semifabricat pentru o prismă cu cinci laturi este prezentat în figură. Aici înălțimea piramidei este de 10 cm, lungimea laturilor pentaedrului de la bază este de 3 cm. În mod similar, se poate realiza o prismă hexagonală de hârtie, dar la baza ei se află un hexagon.

prismă înclinată

O prismă de hârtie înclinată este prezentată în această figură. Fețele sale laterale sunt în unghi față de bază. O astfel de prismă poate fi realizată conform unui șablon de scanare.

LA curiculumul scolarîn cursul geometriei solide, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, la baza căruia sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- un paralelipiped drept.

Figura, care înfățișează o prismă patruunghiulară, este prezentată mai jos.

Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc un corp geometric. Ele sunt denumite în mod obișnuit ca:

Uneori, în problemele de geometrie, puteți găsi conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric care aparțin planului de tăiere. Secțiunea este perpendiculară (traversează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară, se consideră și o secțiune diagonală ( suma maxima secțiuni care pot fi construite - 2) trecând prin 2 margini și diagonale ale bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru a găsi elementele prismatice reduse sunt folosite diverse rapoarte și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea biților:

V = Sprim h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a² h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați măturarea acesteia.

Din desen se poate observa că suprafața laterală este formată din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Poz h

Deoarece perimetrul unui pătrat este P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme, adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Plin = Sside + 2Sbase

Așa cum este aplicată unei prisme regulate patruunghiulare, formula are forma:

Sfull = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sprim = V/h;
• zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are o secțiune diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala prismei se folosește formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați rapoartele de mai sus, puteți exersa și rezolva câteva sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva dintre sarcinile care apar la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o lungime de bază de 2 ori mai mare?

Ar trebui argumentat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți defini lungimea bazei ca A. În acest caz, pentru prima casetă, volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Pentru că V₁ = V2, expresiile pot fi echivalate:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă regulată. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că baza este un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași valoare, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată prin diagonala cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală se găsește prin formula pentru cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Pătratul va fi acoperit cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50 30 = 1500 ruble.

Astfel, pentru a rezolva probleme pentru o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și a unui dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Dat:
Intersecția piramidei și prismei
Necesar:
Construiește o matură a unei prisme drepte și arată pe ea linia de intersecție a prismei cu piramida.

Construirea unei maturi cu prisme drepte este mult mai ușoară decât o maturare piramidală.

Construcția unei scanări prisme

Construcția unei maturi a unei prisme drepte este facilitată de faptul că toate dimensiunile pentru măturare sunt preluate din diagrame și nu este nevoie să găsim dimensiunile naturale ale marginilor prismei. Deoarece este dată o prismă dreaptă, marginile laterale ale prismei sunt proiectate pe planul de proiecție frontală în dimensiune completă. Marginile bazelor unei prisme drepte sunt paralele cu planul orizontal al proiecțiilor și sunt, de asemenea, proiectate pe acesta în dimensiune completă.

Algoritm pentru construirea unei scanări prisme

• Desenăm o linie orizontală.
• Dintr-un punct arbitrar G al acestei drepte, punem deoparte segmentele GU, UE, EK, KG egale cu lungimile laturilor bazei prismei.
• Din punctele G, U, ... se restabilesc perpendicularele și se pun pe ele cantități egale cu înălțimea prismei. Punctele rezultate sunt legate printr-o linie dreaptă. Dreptunghiul GG1G1G este o dezvoltare a suprafeței laterale a prismei. Pentru a indica dezvoltarea fețelor prismei din punctele U, E, K, se restabilesc perpendiculare.
• Pentru a obține o dezvoltare completă a suprafeței prismei, poligoanele bazelor acesteia sunt atașate dezvoltării suprafeței.

Pentru a construi pe scanare linia de intersecție a prismei cu piramida liniilor întrerupte închise 1, 2, 3 și 4, 5, 6, 7, 8, folosim linii drepte verticale.

Mai multe detalii în tutorialul video despre geometria descriptivă în AutoCAD

O prismă este un corp geometric, un poliedru, ale cărui baze sunt poligoane egale, iar fețele laterale sunt paralelograme. Pentru cei neinițiați, acest lucru poate suna puțin intimidant. Și, când copilul tău trebuie să aducă o prismă făcută acasă la o lecție de geometrie, ești pierdut, neștiind cum să-ți ajuți copilul iubit. De fapt, totul nu este atât de dificil și, folosind sfaturile noastre despre cum să faci o prismă, vei face față în mod adecvat acestei probleme.

Cum se face o prismă de hârtie

Vom conveni imediat că vom face o prismă dreaptă, adică o prismă în care marginile laterale vor fi perpendiculare pe baze. Fa la fel prismă înclinată hârtia este foarte problematică (astfel de machete sunt de obicei făcute din sârmă).

Știm deja că două poligoane identice se află la bazele unei prisme. Prin urmare, munca noastră va începe cu ei. Cel mai simplu dintre poligoane este triunghiul. Aceasta înseamnă că mai întâi vom face o prismă triunghiulară.

Cum se face o prismă triunghiulară

Vom avea nevoie de hârtie albă groasă pentru desen, un creion, un raportor, busole, o riglă, foarfece și lipici.

Desenăm un triunghi, oricare este posibil, dar pentru a ne face prisma deosebit de frumoasă, vom face triunghiul echilateral. O astfel de prismă în geometrie se numește „corectă”. Alegem la discreția noastră dimensiunea laturii triunghiului, să zicem 10 cm.Cu o riglă punem acest segment pe hârtie și cu un raportor măsuram un unghi de 60∗ de la un capăt al segmentului nostru.

Desenăm o linie înclinată. Pe ea, folosind o riglă, puneți deoparte la 10 cm de capătul segmentului. Astfel, am găsit al treilea vârf al triunghiului. Conectăm acest punct cu capetele segmentului inițial și triunghiul echilateral este gata. Poate fi decupat. În mod similar, facem al doilea triunghi sau trasăm cu atenție contururile primului pe hârtie. Ei bine, avem deja două motive.

Facem marginile laterale. Noi decidem care va fi înălțimea prismei. Să zicem 20 cm Desenăm un dreptunghi în care valoarea unei laturi este înălțimea prismei (în cazul nostru, 20 cm), iar a doua latură este egală cu valoarea laturii bazei înmulțită cu numărul din aceste laturi (avem: 10 cm x 3 = 30 cm) .

Pe laturile lungi facem semne la fiecare 10 cm. Legăm marcajele opuse cu linii drepte. Pe ele, atunci va fi necesar să îndoiți cu grijă hârtia. Acestea sunt marginile laterale ale prismei noastre. Subliniem alocații înguste pentru lipire de-a lungul a două laturi lungi și una scurtă ale dreptunghiului (fâșii lățime de 1 cm sunt suficiente). Tăiem dreptunghiul împreună cu cotele, le îndoim cu grijă în funcție de marcaj. Îndoim coastele.

Începem asamblarea. Lipim dreptunghiul de-a lungul feței laterale într-un tub cu secțiune triunghiulară. Lipiți triunghiuri de bază în partea de sus și de jos pe alocațiile îndoite. Prisma este gata.

Probabil că nu merită să intri în detaliile întrebării cum să faci o prismă din carton. Întregul algoritm de asamblare rămâne același, doar înlocuiți hârtia cu carton subțire. Schimbând numărul de laturi ale poligoanelor de bază, acum puteți face independent atât o prismă de cinci cât și una hexagonală.

Definiție.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Coastă laterală este partea comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei este un segment de dreaptă perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt marcate cu literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețe laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare fiind dreptunghi
• Suprafața laterală - suma ariilor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Nervurile laterale AA 1 , BB 1 , CC 1 şi DD 1 .
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secţiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2 .

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Laturile sunt dreptunghiuri.
• Fețele laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• Unghiuri de secțiune perpendiculară - Dreapta
• Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prismă patruunghiulară regulată" implică faptul că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află un poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică, o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patruunghiulare obișnuite) Notă. Aceasta face parte din lecția cu sarcini de geometrie (secțiunea geometrie solidă - prismă). Iată care sunt sarcinile care provoacă dificultăți în rezolvare. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. Pentru a desemna acțiunea de extragere a rădăcinii pătrate în rezolvarea problemelor, se folosește simbolul√ .

O sarcină.

Într-o prismă pătrangulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm. Aflați diagonala prismei și aria totală a suprafeței.

Soluţie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală cu

√144 = 12 cm.
De unde diagonala bazei unei prisme dreptunghiulare regulate va fi egală cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonală prismă dreaptă formează un triunghi dreptunghic cu diagonala bazei și înălțimea prismei. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătrangulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

O sarcină

Aflați aria suprafeței totale a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței laterale este de 4 cm.

Soluţie.
Deoarece baza unei prisme patrulatere obișnuite este un pătrat, atunci latura bazei (notată cu a) este găsită de teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.