Prismă hexagonală triunghiulară din schema de hârtie. Volumul și aria suprafeței unei prisme patruunghiulare obișnuite. Algoritm pentru construirea unei scanări prisme

Dat:
Intersecția piramidei și prismei
Necesar:
Construiește o matură a unei prisme drepte și arată pe ea linia de intersecție a prismei cu piramida.

Construirea unei maturi cu prisme drepte este mult mai ușoară decât o maturare piramidală.

Construcția unei scanări prisme

Construcția unei maturi a unei prisme drepte este facilitată de faptul că toate dimensiunile pentru măturare sunt preluate din diagrame și nu este nevoie să găsim dimensiunile naturale ale marginilor prismei. Deoarece este dată o prismă dreaptă, marginile laterale ale prismei sunt proiectate pe planul de proiecție frontală în dimensiune completă. Marginile bazelor unei prisme drepte sunt paralele cu planul orizontal al proiecțiilor și sunt, de asemenea, proiectate pe acesta în dimensiune completă.

Algoritm pentru construirea unei scanări prisme

• Desenăm o linie orizontală.
• Dintr-un punct arbitrar G al acestei drepte, punem deoparte segmentele GU, UE, EK, KG egale cu lungimile laturilor bazei prismei.
• Din punctele G, U, ... se restabilesc perpendicularele și se pun pe ele cantități egale cu înălțimea prismei. Punctele rezultate sunt legate printr-o linie dreaptă. Dreptunghiul GG1G1G este o dezvoltare a suprafeței laterale a prismei. Pentru a indica dezvoltarea fețelor prismei din punctele U, E, K, se restabilesc perpendiculare.
• Pentru a obține o dezvoltare completă a suprafeței prismei, poligoanele bazelor acesteia sunt atașate dezvoltării suprafeței.

Pentru a construi pe scanare linia de intersecție a prismei cu piramida liniilor întrerupte închise 1, 2, 3 și 4, 5, 6, 7, 8, folosim linii drepte verticale.

Mai multe detalii în tutorialul video despre geometria descriptivă în AutoCAD

În inima unui corp geometric - o prismă - se află poligoane, iar fiecare față laterală este un paralelogram. Poate că cei neinițiați au fost puțin speriați. Dar dacă copilul tău este rugat să vină la o lecție cu o prismă, vei dori în mod natural să-l ajuți și să-i explici cum să faci o prismă de hârtie.

Să începem prin a face o prismă dreaptă. În această prismă, marginile laterale sunt perpendiculare pe baze. Cel mai ușor de făcut cu propriile mâini este o prismă de hârtie cu trei fețe, deoarece bazele sale sunt cele mai simple poligoane - triunghiuri. Să facem o prismă „corectă”. Bazele sale sunt reprezentate prin triunghiuri echilaterale.

prisma triunghiulara

Să ne gândim cât de sus vor fi ale noastre prisma triunghiulara din hârtie. Să desenăm un dreptunghi cu o latură egală cu înălțimea, iar cealaltă egală cu lungimea perimetrului triunghiului de la bază. Dreptunghiul rezultat este împărțit prin linii paralele în trei părți egale. Din colțurile dreptunghiului situat în mijloc, desenăm cercuri cu o busolă cu o rază egală cu latura triunghiului nostru de la bază. Acolo unde cercurile se intersectează în afara dreptunghiului original, puneți puncte și conectați-le la centrele cercurilor. Ar trebui să obținem figura afișată în mijlocul imaginii. Apoi, tăiem figura cu mici alocații pentru lipire, ne îndoim de-a lungul liniilor drepte existente și obținem prisma finită.

În funcție de ce șablon este realizată o prismă de hârtie cu patru fețe, diagrama din figură demonstrează clar.

Prismă hexagonală

Un exemplu de semifabricat pentru o prismă cu cinci laturi este prezentat în figură. Aici înălțimea piramidei este de 10 cm, lungimea laturilor pentaedrului de la bază este de 3 cm. În mod similar, se poate realiza o prismă de hârtie hexagonală, dar la baza ei se află un hexagon.

prismă înclinată

O prismă de hârtie înclinată este prezentată în această figură. Fețele sale laterale sunt în unghi față de bază. O astfel de prismă poate fi realizată conform unui șablon de scanare.

LA curiculumul scolarîn cursul geometriei solide, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, la baza căruia sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- un paralelipiped drept.

Figura, care înfățișează o prismă patruunghiulară, este prezentată mai jos.

Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc un corp geometric. Ele sunt denumite în mod obișnuit ca:

Uneori, în problemele de geometrie, puteți găsi conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric care aparțin planului de tăiere. Secțiunea este perpendiculară (traversează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară, se consideră și o secțiune diagonală ( suma maxima secțiuni care pot fi construite - 2) trecând prin 2 margini și diagonale ale bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru a găsi elementele prismatice reduse sunt folosite diverse rapoarte și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea biților:

V = Sprim h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a² h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați măturarea acesteia.

Din desen se poate observa că suprafața laterală este formată din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Poz h

Deoarece perimetrul unui pătrat este P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme, adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Plin = Sside + 2Sbase

Așa cum este aplicată unei prisme regulate patruunghiulare, formula are forma:

Sfull = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sprim = V/h;
• zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are o secțiune diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala prismei se folosește formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați rapoartele de mai sus, puteți exersa și rezolva câteva sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva dintre sarcinile care apar la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o lungime de bază de 2 ori mai mare?

Ar trebui argumentat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți defini lungimea bazei ca A. În acest caz, pentru prima casetă, volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Pentru că V₁ = V2, expresiile pot fi echivalate:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă regulată. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că baza este un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași valoare, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată prin diagonala cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală se găsește prin formula pentru cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este prismă corectă. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Pătratul va fi acoperit cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50 30 = 1500 ruble.

Astfel, pentru a rezolva probleme pentru o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și a unui dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare, și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Este necesar să se construiască o dezvoltare a corpurilor fațetate și să se traseze pe dezvoltare linia de intersecție a prismei și a piramidei.

Pentru a rezolva această problemă în geometria descriptivă, trebuie să știți:

- informații despre dezvoltarea suprafețelor, metodele de construcție a acestora și, în special, construcția dezvoltărilor corpurilor fațetate;

- proprietăți unu-la-unu între o suprafață și desfășurarea acesteia și metode de transfer a punctelor aparținând suprafeței către desfășurare;

- metode de determinare a valorilor naturale ale imaginilor geometrice (linii, plane etc.).

Procedura de rezolvare a problemei

Scanarea este numită o figură plată, care se obține prin tăierea și desfacerea suprafeței până când este complet aliniată cu planul. Toată suprafața se desfășoară ( spații libere, modele) sunt construite numai din valori naturale.

1. Deoarece scanările sunt construite din valori naturale, procedăm la determinarea acestora, pentru care se transferă o hârtie de calc (hârtie milimetrică sau altă hârtie) în format A3 sarcina nr. z cu toate punctele și liniile de intersecție ale poliedrelor.

2. Pentru a determina valorile naturale ale marginilor și bazei piramidei, folosim metoda triunghiului dreptunghic. Desigur, altele sunt posibile, dar în opinia mea, această metodă este mai inteligibilă pentru studenți. Esența sa constă în faptul că „pe unghiul drept construit se trasează pe un picior valoarea de proiecție a segmentului de dreaptă, iar pe celălalt, diferența de coordonate a capetelor acestui segment, luată din planul de proiecție conjugat. Atunci ipotenuza unghiului drept rezultat dă valoarea naturală a acestui segment de dreaptă..

Fig.4.1

Fig.4.2

Fig.4.3

3. Deci, în spațiul liber al desenului (Fig.4.1.a) făcând un unghi drept.

Pe linia orizontală a acestui unghi, lăsăm deoparte valoarea de proiecție a marginii piramidei DA luate din planul de proiecție orizontal - lDA. Pe linia verticală a unghiului drept, trasăm diferența în coordonatele punctelor D’ șiA’ luate din planul de proiecție frontală (de-a lungul axei z mult mai jos) - . Conectând punctele obținute cu o ipotenuză, obținem dimensiunea naturală a marginii piramidei | DA| .

Astfel, determinăm valorile naturale ale altor margini ale piramidei. D.B.și DC, precum și baza piramidei AB, BC, AC (fig.4.2), pentru care construim al doilea unghi drept. Rețineți că definiția dimensiunii naturale a marginii DC se realizeaza in acele cazuri cand este dat in proiectie pe desenul original. Acest lucru este ușor de determinat dacă ne amintim regula: dacă o linie dreaptă pe orice plan de proiecție este paralelă cu axa de coordonate, atunci pe planul conjugat este proiectată în dimensiune completă.

În special, în exemplul problemei noastre, proiecția frontală a marginii D’ C’ paralel cu axa X, deci, în plan orizontal DC exprimat imediat în mărime naturală | DC| (fig.4.1).

Fig.4.4

4. După ce am determinat valorile naturale ale marginilor și ale bazei piramidei, trecem la construirea unei maturi ( fig.4.4). Pentru a face acest lucru, pe o coală de hârtie mai aproape de partea stângă a cadrului, luăm un punct arbitrar D având în vedere că acesta este vârful piramidei. Desenați dintr-un punct D linie dreaptă arbitrară și lăsați deoparte pe ea dimensiunea naturală a marginii | DA| , obțin un punct DAR. Apoi de la punct DAR, luând pe soluția busolei dimensiunea completă a bazei piramidei R=|AB|şi aşezând piciorul busolei în punct DAR facem un arc. În continuare, luăm soluția busolei la dimensiunea completă a marginii piramidei R=| D.B.| şi aşezând piciorul busolei în punct D facem o a doua crestătură de arc. La intersecția arcelor obținem un punct LA, conectându-l cu puncte A și D ajunge la marginea piramidei DAB. În mod similar, atașăm la margine D.B. faţetă DBC, și până la margine DC- margine DCDAR.

Pe o parte a bazei, de exemplu LAC, atașăm baza piramidei și prin metoda serifurilor geometrice, luând dimensiunea laturilor pe soluția de busolă DARBșiADINși realizarea arcului serif din puncte BșiC obținerea unui punct A(fig.4.4).

5. Construirea unei maturi prisma este simplificată de faptul că în desenul original în planul orizontal al proiecțiilor baza, iar în planul frontal - 85 mm înălțime, aceasta setat la dimensiune completă

Pentru a construi o măturare, tăiem mental prisma de-a lungul unei margini, de exemplu, de-a lungul E, după ce l-am fixat pe plan, vom extinde celelalte fețe ale prismei până când aceasta este complet aliniată cu planul. Este destul de evident că vom obține un dreptunghi a cărui lungime este suma lungimilor laturilor bazei, iar înălțimea este înălțimea prismei - 85 mm.

Deci, pentru a construi o măturare a prismei, procedăm:

- pe același format în care este construită măturarea piramidei, în partea dreaptă trasăm o linie dreaptă orizontală și dintr-un punct arbitrar de pe ea, de exemplu E, așezăm succesiv segmente ale bazei prismei EK, KG, GU, UE, luate din planul orizontal de proiecție;

- din puncte E, K, G, U, E refacem perpendicularele, pe care punem deoparte inaltimea prismei, luata din planul de proiectie frontala (85mm);

- conectând punctele obținute cu o linie dreaptă, obținem o dezvoltare a suprafeței laterale a prismei și la una dintre laturile bazei, de exemplu, GU atașăm bazele superioare și inferioare folosind metoda serifurilor geometrice, așa cum s-a făcut la construirea bazei piramidei.

Fig.4.5

6. Pentru a construi o linie de intersecție pe dezvoltare, folosim regula că „orice punct de pe suprafață corespunde unui punct de pe dezvoltare”. Luați, de exemplu, marginea unei prisme GU unde linia de intersecție cu punctele 1-2-3 ; . Lăsați deoparte dezvoltarea bazei GU puncte 1,2,3 prin distanţele luate de la planul orizontal de proiecţie. Restabiliți perpendicularele din aceste puncte și trasați înălțimile punctelor pe ele 1’ , 2’, 3’ , luate din planul de proiecție frontală - z 1 , z 2 șiz 3 . Astfel, am primit puncte la măturare 1, 2, 3, legând care obținem prima ramură a dreptei de intersecție.

Toate celelalte puncte sunt transferate în mod similar. Punctele construite sunt conectate, obținându-se a doua ramură a dreptei de intersecție. Evidențiați cu roșu - linia dorită. Să adăugăm că în cazul intersecției incomplete a corpurilor fațetate, va exista o ramură închisă a liniei de intersecție pe dezvoltarea prismei.

7. Construcția (transferul) liniei de intersecție pe dezvoltarea piramidei se realizează în același mod, dar ținând cont de următoarele:

- deoarece măturarile sunt construite din valori naturale, este necesar să se transfere poziția punctelor 1-8 linii de intersecție a proiecțiilor pe liniile muchiilor de dimensiuni naturale ale piramidei. Pentru a face acest lucru, luați, de exemplu, punctele 2 și 5în proiecţia frontală a coastei DA le transferăm la valoarea de proiecție a acestei muchii în unghi drept (fig.4.1) de-a lungul liniilor de comunicare paralele cu axa X, obținem segmentele necesare | D2| și |D5| coaste DAîn valorile naturale, pe care le punem deoparte (transferăm) dezvoltării piramidei;

- toate celelalte puncte ale liniei de intersecție sunt transferate în același mod, inclusiv punctele 6 și 8 culcat pe generatoare Dmși Dn de ce unghi drept (fig.4.3) sunt determinate valorile naturale ale acestor generatoare, iar apoi punctele sunt transferate acestora 6 și 8;

- pe al doilea unghi drept, unde sunt determinate valorile naturale ale bazei piramidei, punctele sunt transferate mșin intersecții ale generatoarelor cu baza, care sunt ulterior transferate în dezvoltare.

Astfel, punctele obținute pe valori naturale 1-8 și transferați la dezvoltare, conectăm în serie cu linii drepte și în final obținem linia de intersecție a piramidei pe dezvoltarea acesteia.

Secțiunea: Geometrie descriptivă /