Триъгълна шестоъгълна призма от хартиена схема. Обем и повърхност на правилна четириъгълна призма. Алгоритъм за конструиране на сканиране на призма

дадени:
Пресечна точка на пирамида и призма
Необходимо:
Изградете размах на права призма и покажете върху нея линията на пресичане на призмата с пирамидата.

Изграждането на размахване с права призма е много по-лесно от размахване на пирамида.

Конструкция на призмен размах

Построяването на размах на права призма се улеснява от факта, че всички размери за размаха са взети от диаграми и не е необходимо да намираме естествените размери на ръбовете на призмата. Тъй като е дадена права призма, страничните ръбове на призмата се проектират върху равнината на предната проекция в пълен размер. Ръбовете на основите на права призма са успоредни на хоризонталната равнина на проекциите и също се проектират върху нея в пълен размер.

Алгоритъм за конструиране на сканиране на призма

• Начертаваме хоризонтална линия.
• От произволна точка G на тази линия отделяме сегментите GU, UE, EK, KG, равни на дължините на страните на основата на призмата.
• От точки G, U, ... се възстановяват перпендикуляри и върху тях се нанасят величини, равни на височината на призмата. Получените точки са свързани с права линия. Правоъгълник GG1G1G е развитие на страничната повърхност на призмата. За да се посочи развитието на лицата на призмата от точките U, E, K, се възстановяват перпендикуляри.
• За да се получи пълно разгръщане на повърхнината на призмата, полигоните на нейните основи се прикрепват към разгръщането на повърхнината.

За да изградим върху сканирането линията на пресичане на призмата с пирамидата от затворени прекъснати линии 1, 2, 3 и 4, 5, 6, 7, 8, използваме вертикални прави линии.

Повече подробности във видео урока за описателна геометрия в AutoCAD

В основата на геометрично тяло - призма - има многоъгълници, а всяка странична повърхност е успоредник. Непосветените може би са били малко уплашени. Но ако детето ви бъде поканено да дойде на урок с призма, естествено ще искате да му помогнете и да му обясните как да направите хартиена призма.

Нека започнем, като направим права призма. В тази призма страничните ръбове са перпендикулярни на основите. Най-лесно е да направите със собствените си ръце хартиена призма с три лица, тъй като нейните основи са най-простите многоъгълници - триъгълници. Нека направим "правилна" призма. Неговите основи са представени от равностранни триъгълници.

триъгълна призма

Да помислим колко високо ще бъде нашето триъгълна призмаот хартия. Нека начертаем правоъгълник, чиято една страна е равна на височината, а другата е равна на дължината на периметъра на триъгълника в основата. Полученият правоъгълник се разделя с успоредни линии на три равни части. От ъглите на правоъгълника, разположен в средата, рисуваме кръгове с компас с радиус, равен на страната на нашия триъгълник в основата. Там, където кръговете се пресичат извън оригиналния правоъгълник, поставете точки и ги свържете с центровете на кръговете. Трябва да получим фигурата, показана в средата на картината. След това изрязваме фигурата с малки резерви за залепване, огъваме по съществуващите прави линии и получаваме готовата призма.

Според какъв шаблон е направена хартиена призма с четири лица, диаграмата на фигурата ясно показва.

Шестоъгълна призма

Пример за заготовка за петстранна призма е показан на фигурата. Тук височината на пирамидата е 10 см, дължината на страните на пентаедъра в основата е 3 см. По същия начин може да се направи шестоъгълна призма от хартия, но в основата й лежи шестоъгълник.

наклонена призма

На тази фигура е показана наклонена хартиена призма. Страничните му повърхности са под ъгъл спрямо основата. Такава призма може да бъде направена по шаблон за сканиране.

AT училищна програмав хода на твърдата геометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, в основата на който има 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за това геометрична фигура- прав паралелепипед.

Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.

Виждате и на снимката най-важните елементи, които изграждат едно геометрично тяло. Те обикновено се наричат:

Понякога в задачи по геометрия можете да намерите понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, които принадлежат на режещата равнина. Разрезът е перпендикулярен (пресича краищата на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се взема предвид и диагонално сечение ( максимална сумасечения, които могат да се изграждат - 2) преминаващи през 2 ръба и диагонали на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцирани призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sprim h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a² h

Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.

От чертежа се вижда, че страничната повърхност е изградена от 4 еднакви правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sстрана = Поз h

Тъй като периметърът на квадрат е P = 4a,формулата приема формата:

Sстрана = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призма, добавете 2 основни площи към страничната площ:

Пълна = Sстрана + 2Sоснова

Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:

Пълен = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на призмени елементи

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
• основна площ: Sprim = V / h;
• странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето част от задачите, които се явяват на държавните зрелостни изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия с форма на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-голяма?

Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да определите дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, изразите могат да бъдат приравнени:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

Като резултат ново нивопясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира по формулата за куба:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е a = √9 = 3м.

Площадът ще бъде облепен с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.

По този начин, за да решите задачи върху правоъгълна призма, е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Необходимо е да се изгради развитие на фасетираните тела и да се начертае върху развитието линията на пресичане на призмата и пирамидата.

За да разрешите този проблем в дескриптивната геометрия, трябва да знаете:

- информация за развитието на повърхности, методите за тяхното изграждане и по-специално изграждането на разработки на фасетирани тела;

- свойства едно към едно между повърхност и нейната разгъвка и методи за прехвърляне на точки, принадлежащи на повърхността към разгъвката;

- методи за определяне на естествените стойности на геометрични изображения (линии, равнини и др.).

Процедура за решаване на проблема

Сканирането се извикваплоска фигура, която се получава чрез изрязване и разгъване на повърхността до пълното й изравняване с равнината. Цялата повърхност се разгъва ( заготовки, кройки) са изградени само от природни ценности.

1. Тъй като сканиранията са изградени от естествени стойности, ние продължаваме да ги определяме, за което проследяваща хартия (милиметрова хартия или друга хартия) с формат A3 се прехвърля задача № z с всички точки и линии на пресичане на полиедри.

2. За да определим естествените стойности на ръбовете и основата на пирамидата, използваме метод на правоъгълен триъгълник. Разбира се, възможни са и други, но според мен този метод е по-разбираем за учениците. Същността му се състои в това, че „върху конструирания прав ъгъл стойността на проекцията на сегмента на правата линия се нанася на единия крак, а на другия - разликата в координатите на краищата на този сегмент, взета от конюгираната проекционна равнина. Тогава хипотенузата на получения прав ъгъл дава естествената стойност на този сегмент..

Фиг.4.1

Фиг.4.2

Фиг.4.3

3. И така, в свободното пространство на чертежа (фиг.4.1.а)правейки прав ъгъл.

На хоризонталната линия на този ъгъл отделяме стойността на проекцията на ръба на пирамидата DAвзето от хоризонталната проекционна равнина - lda. На вертикалната линия на правия ъгъл нанасяме разликата в координатите на точките д’ иА’ взета от равнината на предната проекция (по оста zнадолу) - . Свързвайки получените точки с хипотенуза, получаваме естествения размер на ръба на пирамидата | DA| .

По този начин ние определяме естествените стойности на други ръбове на пирамидата Д.Б.и DC, както и основата на пирамидата AB, BC, AC (фиг.4.2), за които построяваме втория прав ъгъл. Имайте предвид, че дефиницията на естествения размер на ръба DCсе прави в случаите, когато е даден в проекция върху оригиналния чертеж. Това се определя лесно, ако си спомним правилото: ако права линия на която и да е проекционна равнина е успоредна на координатната ос, тогава върху спрегнатата равнина тя се проектира в пълен размер.

По-специално, в примера на нашия проблем, челната проекция на ръба д’ ° С’ успоредна на оста х, следователно в хоризонталната равнина DCведнага изразени в естествен размер | DC| (фиг.4.1).

Фиг.4.4

4. След като определихме естествените стойности на ръбовете и основата на пирамидата, пристъпваме към изграждането на размах ( фиг.4.4). За да направите това, върху лист хартия, по-близо до лявата страна на рамката, вземаме произволна точка димайки предвид, че това е върха на пирамидата. Начертайте от точка дпроизволна права линия и оставете върху нея естествения размер на ръба | DA| , получаване на точка НО. След това от точката НО, като по решението на компаса пълният размер на основата на пирамидата Р=|AB|и поставяне на крака на компаса в точката НОправим дъга. След това вземаме решението на компаса в пълния размер на ръба на пирамидата Р=| Д.Б.| и поставяне на крака на компаса в точката дправим втора дъга. В пресечната точка на дъги получаваме точка AT, свързвайки го с точки А и двземете ръба на пирамидата дAB. По същия начин прикрепяме към ръба Д.Б.фасет DBC, и до ръба DC- ръб, край DCНО.

От едната страна на основата, например AT° С, ние прикрепяме основата на пирамидата също по метода на геометричните серифи, като вземем размера на страните на решението на компаса НОбиАОТи създаване на дъгови серифи от точки би° Сполучаване на точка А(фиг.4.4).

5. Изграждане на размахпризмата е опростена от факта, че в оригиналния чертеж в хоризонталната равнина на проекциите основата, а във фронталната равнина - 85 mm висока, тя зададен в пълен размер

За да изградим размах, мислено изрязваме призмата по някакъв ръб, например по протежение д, след като го фиксираме върху равнината, ще разширим другите лица на призмата, докато тя бъде напълно подравнена с равнината. Съвсем очевидно е, че ще получим правоъгълник, чиято дължина е сумата от дължините на страните на основата, а височината е височината на призмата - 85 мм.

И така, за да изградим размах на призмата, продължаваме:

- на същия формат, в който е изградена пирамидата, от дясната страна начертаваме хоризонтална права линия и от произволна точка върху нея, например E, последователно отлагаме сегменти от основата на призмата ЕК, КИЛОГРАМА, ГУ, ЕС, взети от хоризонталната проекционна равнина;

- от точки д, К, Ж, U, двъзстановяваме перпендикулярите, върху които заделяме височината на призмата, взета от равнината на предната проекция (85 mm);

- свързвайки получените точки с права линия, получаваме развитие на страничната повърхност на призмата и към една от страните на основата, например, ГУние прикрепяме горната и долната основа, използвайки метода на геометричните серифи, както беше направено при изграждането на основата на пирамидата.

Фиг.4.5

6. За да изградим линия на пресичане на разработката, използваме правилото, че „всяка точка от повърхността съответства на точка от разработката“. Вземете например ръба на призма ГУкъдето линията на пресичане с точките 1-2-3 ; . Отделете върху развитието на основата ГУточки 1,2,3 чрез разстояния, взети от хоризонталната проекционна равнина. Възстановете перпендикулярите от тези точки и нанесете височините на точките върху тях 1’ , 2’, 3’ , взето от равнината на предната проекция - z 1 , z 2 иz 3 . Така получихме точки при почистването 1, 2, 3, свързвайки което получаваме първия клон на линията на пресичане.

Всички останали точки се прехвърлят по подобен начин. Построените точки се свързват, получавайки второто разклонение на пресечната линия. Маркирайте в червено - желаната линия. Нека добавим, че в случай на непълно пресичане на фасетираните тела, върху развитието на призмата ще има един затворен клон на пресечната линия.

7. Конструкцията (прехвърлянето) на пресечната линия върху развитието на пирамидата се извършва по същия начин, но като се вземе предвид следното:

- тъй като размаховете са изградени от естествени стойности, е необходимо да се прехвърли позицията на точките 1-8 линии на пресичане на проекции върху линиите на ръбовете на естествените размери на пирамидата. За да направите това, вземете например точките 2 и 5във фронталната проекция на реброто DAние ги прехвърляме към стойността на проекцията на този прав ъгъл (фиг.4.1)по комуникационни линии, успоредни на оста х, получаваме необходимите сегменти | д2| и |д5| ребра DAв природни ценности, които заделяме (пренасяме) в развитието на пирамидата;

- всички останали точки от пресечната линия се прехвърлят по същия начин, включително точките 6 и 8лежи върху генераторите Дми Dnзащо прав ъгъл (фиг.4.3)естествените стойности на тези генератори се определят и след това точките се прехвърлят към тях 6 и 8;

- на втория прав ъгъл, където се определят естествените стойности на основата на пирамидата, се прехвърлят точки минпресичания на генератори с основата, които впоследствие се прехвърлят в разработката.

По този начин точките, получени върху естествените стойности 1-8 и пренесено в развитието, свързваме последователно с прави линии и накрая получаваме линията на пресичане на пирамидата върху нейното развитие.

Раздел: Дескриптивна геометрия /