Լոտի հանձնարարություն. Հավանականությունների տեսության խնդիրները լուծումներով: Որտե՞ղ եք սովորել նախկինում:

Մոսկվայի ճարտարապետական ​​դպրոցի առաջին շրջանավարտների հետ։

Ա.Վ.: Յուլիա, դու ստացար քո դիպլոմը Սերգեյ Չոբանի «Շարժման համակարգման» ստուդիայում, որտեղ քո դիզայնի օբյեկտը Սկոլկովոյի D-1 բլոկն էր: Որքան կարող եմ ասել, ձեր աշխատանքը, հավանաբար, ամենակոնկրետն էր. դուք նախագծում էիք մի վայրի համար, որի կոնտեքստը դեռ ձևավորված չէր: Ինչի է դա նման?

Յու.Ա.: Առանց գոյություն ունեցող համատեքստի աշխատելն իսկապես մի փոքր տարօրինակ էր: Սկոլկովոյի այդ տարածքում, որի գլխավոր հատակագիծը մշակել էր Սերգեյ Չոբանի խոսքի բյուրոն Դեյվիդ Չիպերֆիլդի ընկերության հետ միասին, մեզ տրվեց կայք, և մենք պետք է հասկանանք, թե ինչ անել դրա հետ։ Առաջին կիսամյակում մենք բաժանվեցինք 3 խմբի՝ 4-ական հոգուց բաղկացած և մեր միջև հայտարարվեց մրցույթ՝ պլանավորման լուծման համար մեկ եռամսյակի համար։ Ստացած հողատարածքի վրա պետք է տեղավորեինք՝ տասներկու, միջինը հինգհարկանի տուն՝ ըստ խմբում սովորողների թվի։ Այնպես ստացվեց, որ մեր թիմը հաղթեց մրցույթում՝ Անյա Շևչենկոն, Դիմա Ստոլբովոյը, Արտեմ Սլիզունովը և ես։ Մենք ավարտեցինք բավականին կոշտ հատակագիծ, որը սահմանափակված էր ոչ միայն որոշ կադաստրային պարամետրերով, այլև տեխնիկական առաջադրանքըև դիզայնի կոդը։

Ո՞րն է ձեր գլխավոր պլանը:

Մենք փոխել ենք գլխավոր հատակագծի սկզբնական տարբերակում եղած կառուցվածքը. շրջակա միջավայրի մասշտաբները նվազեցնելու համար մեր եռամսյակը բաժանել ենք 4 ենթեռամսյակների, որոնցից յուրաքանչյուրում հանրային տարածք է: Բացի այդ, յուրաքանչյուր ենթաբլոկ ուներ իր գործառույթը՝ բնակարանաշինություն, ստարտափներ, ենթաբլոկ՝ սպորտային գործառույթով և հիմնական շենքով, ինչպես նաև հոսթելով, հյուրանոցով, թանգարանով, ինչպես նաև գլխավոր հրապարակով։ գտնվում է հենց այնտեղ:

Ի՞նչ սահմանափակումներ եք գրել դիզայնի օրենսգրքում:

Եռամսյակը շատ փոքր է, և մասնակիցներից յուրաքանչյուրի մտադրությունները կարող են մեծապես ազդել մյուսների վրա: Ուստի մենք ոչ թե կոնկրետ նյութեր ենք նշանակել, այլ կարգավորել ենք ձևի հնարավոր փոփոխությունները՝ սահմանելով «ոտնահետքը» և FAR-ը։ Օրինակ, եթե դուք «կրծում եք», ձեր հարկերի թիվն աճում է, որն իր հերթին նույնպես սահմանափակվում է որոշակի մակարդակով:

Ո՞րն էր հաջորդ քայլը։

Այնուհետև, մեզանից յուրաքանչյուրը պետք է մշակեր տեղում գտնվող շենքերից մեկը, բայց որը, ինչ գործառույթով, որոշվեց վիճակահանությամբ, մենք «լոտերով» թղթի կտորներ քաշեցինք։ Դա Սերգեյ Չոբանի ծրագիրն էր։ Եվ այս իրավիճակը սկզբունքորեն տարբերվում է նրանից, երբ դու ինքդ ես ընտրում դիպլոմի թեման և նախագծում կոնկրետ գործառույթով շենք, որը, հավանաբար, երազել ես նախագծել ուսման բոլոր վեց տարիների ընթացքում։ Այստեղ մենք պետք է հաշտվեինք, որ վիճակահանությամբ ստացանք, և մի կողմից բավականին ցավալի էր, բայց մյուս կողմից կյանքին մոտ իրավիճակ է։

Ի՞նչ ստացաք:

Ես բախտավոր եմ, իմ կարծիքով: Ես նախագծել եմ ստարտափ շենքը: Որոշակի չափսերով, որոնք հնարավոր չէր փոխել։ Ամենակարևոր սկզբունքը, որից ես ելնում էի, և՛ գաղափարական էր, և՛ գործառական. այսօր այն ստարտափ է, իսկ վաղը, շատ հավանական է, որ այն այլևս գոյություն չունի։

Ի վերջո, ի՞նչ է Սկոլկովոն ընդհանրապես։ Ոչ ոք չի կարող ողջամտորեն պատասխանել այս հարցին: Ուսումնասիրելով նյութերը՝ ես եզրակացրի, որ Skolkovo-ի սեփական զարգացման ռազմավարությունը բավականին ճկուն է։ Ինձ համար սա այն հիմնական պայմանն էր, որին պետք է համապատասխաներ իմ նախագիծը։ Ուստի 12 մետր շենքի լայնությամբ ինձ համար կարևոր էր, որ իմ շենքում ավելորդ պատեր չլինեն։ Ես ոչինչ չթողեցի, բացի կարծրացնող միջուկներից, որոնք պարտադիր են դիզայնի տեսանկյունից։ Ներսում բաց, բաց հատակագիծ է։ Ինչ վերաբերում է արտաքին տեսքին, ապա ես փորձեցի նախագծել շենքս այնպես, որ այն լինի բավականին համեստ, բայց միևնույն ժամանակ արտահայտիչ։

Հիմնական ճակատը պարզվեց, որ 12 մետրանոց հետույք է, որը նայում է դեպի բուլվար։ Այսպիսով, ես որոշեցի սրել դրա ձևը: Կարևոր դեր է խաղում երկհարկանի տանիքը, որը դարձել է ամբողջ շենքի տեսողական շեշտը։ Դա միջանկյալ օղակ է իմ օբյեկտի երկու «հարեւանների» միջեւ՝ տարբեր բարձրությամբ ու արտահայտչականությամբ։

Աշխատանքի ընթացքում ձևավորե՞լ եք ձեր վերաբերմունքը Սկոլկովո ինովացիոն կենտրոնի բուն գաղափարի նկատմամբ:

Այն փոխվել է աշխատանքի ընթացքում։ Սկզբում մի փոքր գերակշռում էր գաղափարական համատեքստը։ Եվ հետո մենք սկսեցինք Սկոլկովոն ընկալել այլևս ոչ որպես Ռուսաստանի մասշտաբի երևույթ, այլ ուշադիր դիտարկել հենց այդ վայրի խնդիրները: Չէ՞ որ այսօր այն կարող է լինել Ինովացիոն կենտրոն, իսկ վաղը՝ մեկ այլ բան։ Եվ ի՞նչ, ուրեմն ձեր շենքը պետք է քանդվի։ Լավ ճարտարապետությունը կարող է ավելի երկար ապրել, քան իր սկզբնական համատեքստը: Նա ստեղծում է նորը:

Դժվա՞ր էր խմբով աշխատելը: Ինչպե՞ս ստեղծվեցին հարաբերությունները ստուդիայի ներսում, երբ ձեզնից յուրաքանչյուրը սկսեց ձեր սեփական նախագիծը:

Այո, իհարկե, դժվար է։ Ի վերջո, դա ստացվեց այնպես, որ իրավիճակն ամբողջությամբ կարող էր արմատապես փոխվել յուրաքանչյուր մարդու ցանկությունից: Սյուժեն բավականին փոքր է, և ինչ-որ մեկի գաղափարը, ասենք, կոնսոլ կամ այլ բան պատրաստելու գաղափարը կարող է ազդել, օրինակ, ինսոլացիոն ստանդարտների վրա: Իսկ հետո բոլորս նստեցինք ու սկսեցինք քննարկել՝ ճիշտ է, թե ոչ։

Վերջնական տարբերակն ինձ հաճելիորեն զարմացրեց. Սկզբում ինձ թվում էր, որ բոլորի մեջ ավելի շատ կգերազանցի վայ-թեզի նախագիծ կազմելու ցանկությունը, քան ներդաշնակ խմբային աշխատանք: Բայց ընդհանուր պլանն ի վերջո բավականին հավասարակշռված է ստացվել։ Ինձ թվում է, որ մեզ հաջողվել է «ոսկե միջին» գտնել անձնական ամբիցիաների եւ խաղի որոշակի կանոններին հետեւելու անհրաժեշտության միջեւ։

Ի՞նչ առանձնահատկություններ ուներ Սերգեյ Չոբանի մոտ սովորելը։

Հաճելի էր աշխատել մեր ստուդիայի բոլոր ղեկավարների հետ։ Բացի Սերգեյից, սրանք Ալեքսեյ Իլյինն ու Իգոր Չլենովն են Խոսքի բյուրոյից, և դաշնակից մասնագետները նույնպես եկան օգնելու որոշ հանգույցների հետ կապված: Ուսումնական գործընթացը կառուցված էր հիանալի ճշգրիտ ձևով, բառացիորեն րոպեի ընթացքում: Չնայած Սերգեյը որոշ չափով, հավանաբար, մեզ հետ դժվար էր։ Ինձ թվում է՝ նա հույս ուներ այն բանի վրա, որ մենք արդեն գրեթե պրոֆեսիոնալներ էինք։ Իսկ մենք, չեմ կարող ասել, որ դեռ երեխաներ ենք, բայց բյուրոյի աշխատակցի և ուսանողի տարբերությունը դեռ աներևակայելի մեծ է։ Նա մեզ հետ կիսեց իր գիտելիքները ոչ թե որպես մանկավարժ, այլ որպես պրակտիկ ճարտարապետ և կարողացավ ստիպել մեզ ավելի շատ աշխատել ինքնուրույն և միմյանց հետ, քան ուսուցիչների հետ: Դա իսկապես «շարժումների համակարգում» էր։

Ի՞նչ տվեց ձեզ MARCH-ում սովորելու երկու տարին ընդհանրապես:

Չեմ կարող ասել, որ երրորդ աչքը բացվել է։ Բայց որոշ կասկածներ հարթվեցին, որոշ դիրքեր ամրապնդվեցին։ Հիմա ես ավելի պատասխանատու եմ իմ արածի ու ասածի համար։ Երևի մեծ շնորհակալություն այս ՄԱՐՏԻ համար, միգուցե մեծ շնորհակալություն այս անգամ: Կարող եմ ասել, որ ՄԱՐՏԻ ամենաարժեքավորը, դպրոցի հիմնական ռեսուրսը, մարդիկ են ու ինչ-որ առանձնահատուկ մթնոլորտ։ Հիմնականում ես այնտեղ գնացել եմ ժողովրդի համար։ Ես գնացի Սերգեյ Սիթարի, Կիրիլ Ասսի, Եվգենի Վիկտորովիչի, Նարինե Տյուտչևայի մոտ։ Բացի այդ, ես ունեի ձեզ, ընկերներ, ովքեր ինձ ոգեշնչեցին և աջակցեցին։ Հուսով եմ՝ կշարունակենք շփվել, հուսով եմ՝ միասին ինչ-որ բան կանենք։

Որտե՞ղ եք սովորել նախկինում:

Ես պաշտպանել եմ իմ բակալավրի աստիճանը Մոսկվայի ճարտարապետական ​​ինստիտուտում ամենագերազանց ուսուցչուհի Իրինա Միխայլովնա Յաստրեբովայի մոտ։ Եվ կարող եմ ավելացնել, որ ես շատ լավ եմ վերաբերվում Մոսկվայի ճարտարապետական ​​ինստիտուտին և չեմ կարծում, որ սա ինչ-որ խորհրդային մասունք է։ Նա տալիս է ակադեմիական հիմունքները, իսկ հետո ամեն մեկն ինքն է որոշում, թե ինչ է ուզում անել։

Ի՞նչ եք ուզում անել հիմա:

Ճարտարապետության մեջ իմ գոյության բոլոր տարիների ընթացքում ես գրել եմ այդ մասին, կարդացել, խոսել, բայց երբեք չեմ ստեղծել այն բառի ամբողջական իմաստով։ Ես, փաստորեն, թղթե ճարտարապետություն էի անում, այդպիսի, գիտեք, կոնցեպտուալ արվեստի հավակնությամբ։ Եվ եթե նախկինում ես լիովին վստահ էի, որ տեսությունը որոշում է պրակտիկան, ապա հիմա մինչև չստուգեմ, չեմ կարող դրան հավատալ։ Հետևաբար, ես հիմա պետք է այցելեմ շինհրապարակ, ես պետք է հասկանամ, թե դա ինչ է. երբ ինչ-որ բան ես արել թղթի վրա, հետո պայքարել ես դրա համար, վիճել, համակարգել և վերջում կանգնել, նայել և հասկանալ. դա տեղի է ունեցել! Սա իմ ֆիքսված գաղափարն է: Հետևաբար, առաջիկա երկու տարիներին ես նախատեսում եմ պարապել և փորձել հնարավորինս կարճ ճանապարհ անցնել դեպի շինհրապարակ, դեպի իրականացում։

Հավանականությունների տեսության խնդիրները լուծումներով

1. Կոմբինատորիկա

Առաջադրանք 1 . Խմբում 30 ուսանող է։ Պետք է ընտրել ղեկավարին, փոխտնօրենին և արհմիության ղեկավարին։ Քանի՞ եղանակ կա դա անելու համար:

Լուծում. 30 ուսանողներից ցանկացածը կարող է ընտրվել որպես տնօրեն, մնացած 29 ուսանողներից որևէ մեկը՝ պատգամավոր, իսկ մնացած 28 ուսանողից որևէ մեկը՝ որպես արհմիության կազմակերպիչ, այսինքն՝ n1=30, n2=29, n3=28։ Ըստ բազմապատկման կանոնի՝ ղեկավարի, նրա տեղակալի և արհմիության ղեկավարի ընտրության ուղիների N ընդհանուր թիվը N=n1´n2´n3=30´29´28=24360 է:

Առաջադրանք 2 . Երկու փոստատար պետք է 10 նամակ հասցնեն 10 հասցեով։ Քանի՞ ձևով կարող են բաշխել աշխատանքը:

Լուծում.Առաջին նամակն ունի n1=2 այլընտրանք՝ կամ առաջին փոստատարը տանում է հասցեատիրոջը, կամ երկրորդը։ Երկրորդ տառի համար կա նաև n2=2 այլընտրանք և այլն, այսինքն՝ n1=n2=…=n10=2: Հետևաբար, բազմապատկման կանոնի համաձայն, երկու փոստատարների միջև նամակները բաժանելու եղանակների ընդհանուր թիվը կազմում է.

Առաջադրանք 3. Տուփի մեջ կա 100 մաս, որից 30-ը 1-ին դասարանի մասեր են, 50-ը՝ 2-րդ դասարանի, մնացածը՝ 3-րդ դասարանի։ Քանի՞ եղանակ կա տուփից 1-ին կամ 2-րդ դասարանի մի մասը հանելու համար:

Լուծում. 1-ին դասարանի դետալը կարելի է հանել n1=30 եղանակով, 2-րդ դասարանին՝ n2=50 եղանակով։ Ըստ գումարի կանոնի՝ 1-ին կամ 2-րդ դասարանի մի մասը հանելու N=n1+n2=30+50=80 եղանակ կա։

Առաջադրանք 5 . Մրցույթի 7 մասնակիցների կատարման կարգը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Խաղարկության քանի՞ տարբեր տարբերակ է հնարավոր:

Լուծում.Խաղարկության յուրաքանչյուր տարբերակ տարբերվում է միայն մրցույթի մասնակիցների հերթականությամբ, այսինքն՝ այն 7 տարրի փոխարկում է: Նրանց թիվն է

Առաջադրանք 6 . Մրցույթին մասնակցում է 10 ֆիլմ՝ 5 անվանակարգերում։ Մրցանակների բաշխման քանի տարբերակ կա, եթե բոլոր անվանակարգերում բազմազանմրցանակներ?

Լուծում.Մրցանակային բաշխման տարբերակներից յուրաքանչյուրը 10-ից 5 ֆիլմի համադրություն է, որը տարբերվում է մյուս կոմբինացիաներից թե՛ կազմով, թե՛ հերթականությամբ։ Քանի որ յուրաքանչյուր ֆիլմ կարող է մրցանակներ ստանալ մեկ կամ մի քանի անվանակարգերում, նույն ֆիլմերը կարող են կրկնվել։ Հետևաբար, նման համակցությունների թիվը հավասար է 10 տարրերի կրկնություններով 5-ով տեղադրումների քանակին.

Առաջադրանք 7 . Շախմատի մրցաշարին մասնակցում է 16 հոգի։ Քանի՞ խաղ պետք է անցկացվի մրցաշարում, եթե մեկ խաղ պետք է անցկացվի երկու մասնակիցների միջև:

Լուծում.Յուրաքանչյուր խաղ խաղում է 16-ից երկու մասնակից և մյուսներից տարբերվում է միայն մասնակիցների զույգերի կազմով, այսինքն՝ 16 տարրերի համակցություն է 2-ով: Նրանց թիվը կազմում է.

Առաջադրանք 8 . 6-րդ առաջադրանքի պայմաններում որոշեք, թե մրցանակների բաշխման քանի տարբերակ կա, եթե բոլոր անվանակարգերի համար նույնըմրցանակներ?

Լուծում.Եթե ​​յուրաքանչյուր անվանակարգի համար սահմանվում են նույն մրցանակները, ապա 5 մրցանակների համակցությամբ ֆիլմերի հերթականությունը նշանակություն չունի, և տարբերակների քանակը 5-ի 10 տարրերի կրկնություններով կոմբինացիաների քանակն է՝ որոշված ​​բանաձևով։

Առաջադրանք 9. Այգեգործը երեք օրվա ընթացքում պետք է տնկի 6 ծառ։ Քանի՞ եղանակով կարող է աշխատանքը բաշխել օրերի մեջ, եթե օրական գոնե մեկ ծառ տնկի։

Լուծում.Ենթադրենք, որ այգեպանը անընդմեջ ծառեր է տնկում և կարող է տարբեր որոշումներ կայացնել, թե որ ծառը կանգնեցնի առաջին օրը, իսկ որը՝ երկրորդը: Այսպիսով, կարելի է պատկերացնել, որ ծառերը բաժանված են երկու միջնապատերով, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է կանգնել 5 տեղերից մեկում (ծառերի միջև): Միջնորմները պետք է հերթով կանգնեն, քանի որ հակառակ դեպքում մի օր ոչ մի ծառ չի տնկվի: Այսպիսով, անհրաժեշտ է ընտրել 2 տարր 5-ից (առանց կրկնությունների): Հետևաբար, ուղիների քանակը.

Առաջադրանք 10. Քանի՞ քառանիշ թիվ (հնարավոր է զրոյից սկսվող) կա, որոնց թվանշանների գումարը հավասար է 5-ի:

Լուծում.Ներկայացնենք 5 թիվը որպես հաջորդականների գումար՝ բաժանված խմբերի ըստ բաժանումների (գումարում յուրաքանչյուր խումբ կազմում է թվի հաջորդ թվանշանը)։ Հասկանալի է, որ անհրաժեշտ կլինի 3 նման միջնորմ, բաժանման համար նախատեսված է 6 տեղ (բոլոր միավորներից առաջ, նրանց միջև և հետո): Յուրաքանչյուր նստատեղ կարող է զբաղեցնել մեկ կամ մի քանի միջնորմ (վերջին դեպքում դրանց միջև չկան, իսկ համապատասխան գումարը զրո է): Այս վայրերը դիտարկեք որպես հավաքածուի տարրեր: Այսպիսով, անհրաժեշտ է ընտրել 6-ից 3 տարր (կրկնություններով)։ Հետեւաբար, թվերի ցանկալի թիվը

Առաջադրանք 11 . Քանի՞ ձևով կարելի է 25 ուսանողից բաղկացած խումբը բաժանել երեք ենթախմբերի՝ 6, 9 և 10 հոգուց բաղկացած A, B և C:

Լուծում.Այստեղ n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width="160" height="41">

Առաջադրանք 1 . Տուփի մեջ կա 5 նարինջ և 4 խնձոր։ Պատահականության սկզբունքով ընտրվում է 3 միրգ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ բոլոր երեք պտուղները նարինջ են:

Լուծում. Այստեղ տարրական արդյունքները հավաքածուներ են, որոնք ներառում են 3 միրգ: Քանի որ մրգերի հերթականությունն անտարբեր է, կենթադրենք, որ դրանց ընտրությունը չպատվիրված է (և չկրկնվող) gif" width="161 height=83" height="83">։

Առաջադրանք 2 . Ուսուցիչը երեք աշակերտներից յուրաքանչյուրին առաջարկում է մտածել 1-ից մինչև 10-ը ցանկացած թվի մասին: Ենթադրելով, որ յուրաքանչյուր աշակերտի կողմից տրվածներից որևէ թվի ընտրությունը հավասարապես հնարավոր է, գտեք հավանականությունը, որ նրանցից մեկը կունենա նույն թիվը: .

Լուծում.Նախ, եկեք հաշվարկենք արդյունքների ընդհանուր թիվը: Առաջին աշակերտը ընտրում է 10 թվերից մեկը և ունի n1=10 հնարավորություն, երկրորդն ունի նաև n2=10 հնարավորություն, և վերջապես երրորդն ունի նաև n3=10 հնարավորություն։ Բազմապատկման կանոնի ուժով ուղիների ընդհանուր թիվը հետևյալն է՝ n= n1´n2´n3=103 = 1000, այսինքն՝ ամբողջ տարածությունը պարունակում է 1000 տարրական արդյունք: A իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելու համար հարմար է անցնել հակառակ իրադարձությանը, այսինքն՝ հաշվել այն դեպքերի թիվը, երբ երեք ուսանողներն էլ մտածում են տարբեր թվերի մասին։ Առաջինը դեռ ունի m1=10 թվի ընտրության եղանակ: Երկրորդ աշակերտն այժմ ունի միայն m2=9 հնարավորություններ, քանի որ նա պետք է հոգա, որ իր թիվը չհամընկնի առաջին աշակերտի նախատեսված թվի հետ։ Երրորդ աշակերտն էլ ավելի սահմանափակ է ընտրության մեջ՝ ունի ընդամենը m3=8 հնարավորություն։ Ուստի մտահղացված թվերի համակցությունների ընդհանուր թիվը, որոնցում համընկնում չկա, հավասար է m=10×9×8=720-ի։ Կան 280 դեպքեր, որոնցում առկա են համընկնումներ, ուստի ցանկալի հավանականությունը P=280/1000=0.28 է։

Առաջադրանք 3 . Գտե՛ք հավանականությունը, որ 8 նիշանոց թվի մեջ ուղիղ 4 թվանշանները նույնն են, իսկ մնացածը տարբեր են։

Լուծում. Իրադարձություն A=(ութանիշ թիվը պարունակում է 4 նույնական թվանշան): Խնդրի պայմանից հետևում է, որ հինգ տարբեր թվանշանների թվի մեջ դրանցից մեկը կրկնվում է։ Այն ընտրելու եղանակների թիվը հավասար է 10 նիշից մեկ թվանշան ընտրելու եղանակների քանակին..gif" width="21" height="25 src=">: Ցանկալի հավանականությունը հավասար է.

Առաջադրանք 4 . Վեց հաճախորդ պատահականության սկզբունքով դիմում է 5 ընկերությունների: Գտեք հավանականությունը, որ ոչ ոք չի դիմում գոնե մեկ ընկերության:

Լուծում.Դիտարկենք հակառակ իրադարձությունը https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">: 6 հաճախորդներ 5 ընկերությունների միջև բաշխելու եղանակների ընդհանուր թիվը: . Հետևաբար, .

Առաջադրանք 5 . Թող սափորը պարունակի N գնդակներ, որոնցից M-ը սպիտակ է, իսկ N–M-ը՝ սև: Կաթսայից n գնդակ է քաշվում: Գտե՛ք հավանականությունը, որ դրանց մեջ կլինեն ճշգրիտ մ սպիտակ գնդիկներ:

Լուծում.Քանի որ տարրերի հերթականությունը այստեղ էական չէ, N տարրերի n չափի բոլոր հնարավոր հավաքածուների թիվը հավասար է m սպիտակ գնդիկների, n–m սև գնդիկների համակցությունների թվին, և, հետևաբար, պահանջվող հավանականությունը P է։ (A)=https://pandia. ru/text/78/307/images/image031_2.gif" width="167" height="44">:

Առաջադրանք 7 (հանդիպման առաջադրանք) . Երկու անձ Ա և Բ-ն պայմանավորվել են հանդիպել որոշակի վայրում ժամը 12-ից 13-ը։ Առաջինը, ով գալիս է, սպասում է մյուսին 20 րոպե, որից հետո նա հեռանում է։ Որքա՞ն է A և B անձանց հետ հանդիպելու հավանականությունը, եթե նրանցից յուրաքանչյուրի ժամանումը կարող է պատահականորեն պատահել նշված ժամին, և ժամանման պահերը անկախ են:

Լուծում. A անձի ժամանման ժամանակը նշանակենք x-ով, իսկ B-ին` y-ով: Որպեսզի հանդիպումը կայանա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ôx-yô £20. Ներկայացնենք x-ը և y-ը որպես կոորդինատներ հարթության վրա, որպես սանդղակի միավոր կընտրենք րոպեն։ Բոլոր հնարավոր արդյունքները ներկայացված են 60 կողմ ունեցող քառակուսու կետերով, իսկ հանդիպմանը նպաստավորները գտնվում են ստվերային հատվածում: Ցանկալի հավանականությունը հավասար է ստվերավորված գործչի տարածքի հարաբերությանը (նկ. 2.1) ամբողջ քառակուսու մակերեսին. P(A) = (602–402)/602 = 5/9:

3. Հավանականությունների տեսության հիմնական բանաձեւերը

Առաջադրանք 1 . Տուփում կա 10 կարմիր և 5 կապույտ կոճակ։ Երկու կոճակ պատահականորեն հանվում են: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ կոճակները նույն գույնի են: ?

Լուծում. Իրադարձությունը A=(նույն գույնի կոճակները հանված են) կարող է ներկայացվել որպես գումար, որտեղ իրադարձությունները և նշանակում են համապատասխանաբար կարմիր և կապույտ կոճակների ընտրություն: Երկու կարմիր կոճակ նկարելու հավանականությունը հավասար է, իսկ երկու կապույտ կոճակ նկարելու հավանականությունը https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height="23 ">.gif" width="249" height="83">

Առաջադրանք 2 . Ընկերության աշխատակիցներից 28%-ը գիտի անգլերեն, 30%-ը՝ գերմաներեն, 42%-ը՝ ֆրանսերեն; Անգլերեն և գերմաներեն՝ 8%, անգլերեն և ֆրանսերեն՝ 10%, գերմաներեն և ֆրանսերեն՝ 5%, բոլոր երեք լեզուները՝ 3%։ Գտեք հավանականությունը, որ ընկերության պատահական ընտրված աշխատակիցը. ա) գիտի անգլերեն կամ գերմաներեն. բ) գիտի անգլերեն, գերմաներեն կամ ֆրանսերեն. գ) չի տիրապետում թվարկված լեզուներից որևէ մեկին.

Լուծում.Թող A, B և C նշանակեն այն իրադարձությունները, երբ ընկերության պատահական ընտրված աշխատակիցը խոսում է համապատասխանաբար անգլերեն, գերմաներեն կամ ֆրանսերեն: Ակնհայտ է, որ ֆիրմայի աշխատակիցների բաժնետոմսերը, ովքեր տիրապետում են որոշակի լեզուների, որոշում են այս իրադարձությունների հավանականությունը: Մենք ստանում ենք.

ա) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.28+0.3-0.08=0.5;

բ) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0.28+0, 3+ 0,42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

գ) 1-P(AÈBÈC)=0.2.

Առաջադրանք 3 . Ընտանիքն ունի երկու երեխա։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ավագ երեխան տղա է, եթե հայտնի է, որ ընտանիքում երկու սեռի երեխաներ կան։

Լուծում.Թող A = (ավագ երեխան տղա է), B = (ընտանիքում կան երկու սեռի երեխաներ): Ենթադրենք, որ տղայի և աղջկա ծնունդը համարժեք իրադարձություններ են։ Եթե ​​տղայի ծնունդը նշանակվում է M տառով, իսկ աղջկա ծնունդը՝ D-ով, ապա բոլոր տարրական արդյունքների տարածությունը բաղկացած է չորս զույգից. Այս տարածքում միայն երկու արդյունք (MD և MM) համապատասխանում է B իրադարձությանը: Իրադարձությունը AB նշանակում է, որ ընտանիքում կան երկու սեռի երեխաներ: Ավագ երեխան տղա է, հետևաբար, երկրորդ (ամենափոքր) երեխան աղջիկ է։ Այս իրադարձությունը AB համապատասխանում է մեկ արդյունքի՝ MD: Այսպիսով |ԱԲ|=1, |Բ|=2 եւ

Առաջադրանք 4 . Վարպետը, ունենալով 10 մաս, որից 3-ը ոչ ստանդարտ, հերթով ստուգում է մասերը, մինչև հանդիպի ստանդարտի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա ստուգում է ուղիղ երկու դետալ։

Լուծում.Իրադարձությունը A=(վարպետը ստուգել է ուղիղ երկու մաս) նշանակում է, որ նման ստուգման ժամանակ առաջին մասը ոչ ստանդարտ է ստացվել, իսկ երկրորդը՝ ստանդարտ։ Այսպիսով, որտեղ =(առաջին մասը պարզվեց, որ ոչ ստանդարտ է) և =(երկրորդ մասը ստանդարտ է): Ակնհայտ է, որ A1 իրադարձության հավանականությունը նույնպես հավասար է , քանի որ մինչ երկրորդ մասը վերցնելը վարպետին մնացել էր 9 մաս, որից միայն 2-ն են ոչ ստանդարտ, իսկ 7-ը՝ ստանդարտ։ Բազմապատկման թեորեմով

Առաջադրանք 5 . Մի տուփը պարունակում է 3 սպիտակ և 5 սև գնդակներ, իսկ մյուս տուփը պարունակում է 6 սպիտակ և 4 սև գնդակ: Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ տուփից սպիտակ գնդիկ կկազմեն, եթե յուրաքանչյուր տուփից մեկ գնդակ քաշվի:

Լուծում. Իրադարձությունը A=(սպիտակ գնդակը հանվում է առնվազն մեկ տուփից) կարող է ներկայացվել որպես գումար, որտեղ իրադարձությունները և նշանակում են սպիտակ գնդակի տեսքը համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ տուփերից..gif" width=" 91" height="23">..gif " width="20" height="23 src=">.gif" width="480" height="23">:

Առաջադրանք 6 . Երեք քննիչ 30 հոգանոց խմբից քննություն են հանձնում որոշակի առարկայից, որոնցից առաջինը հարցաքննում է 6 ուսանող, երկրորդը` 3 ուսանող, իսկ երրորդը` 21 ուսանող (ուսանողները ընտրվում են պատահականության սկզբունքով ցանկից): Երեք քննողների և վատ պատրաստվածների հարաբերակցությունը տարբեր է՝ նման ուսանողների քննությունը հանձնելու հնարավորությունը առաջին ուսուցչի մոտ 40 տոկոս է, երկրորդի համար՝ ընդամենը 10 տոկոս, երրորդում՝ 70 տոկոս։ Գտեք հավանականությունը, որ վատ պատրաստված ուսանողը կհանձնի քննությունը .

Լուծում.Նշեք այն վարկածներով, որ վատ պատրաստված ուսանողը պատասխանել է համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ և երրորդ քննողներին: Ըստ առաջադրանքի

, , .

Թող միջոցառումը A=(վատ պատրաստված ուսանողը հանձնեց քննությունը): Հետո նորից՝ հիմնախնդրի վիճակի ուժով

, , .

Ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի՝ մենք ստանում ենք.

Առաջադրանք 7 . Ընկերությունն ունի բաղադրիչների մատակարարման երեք աղբյուր՝ A, B, C ընկերությունները: A ընկերությանը բաժին է ընկնում ընդհանուր մատակարարման 50%-ը, B-ին՝ 30%-ը և C-ին՝ 20%-ը: Պրակտիկայից հայտնի է, որ A ընկերության կողմից մատակարարված մասերից 10%-ը թերի է, Բ ընկերության կողմից՝ 5%-ը և Գ ընկերության կողմից՝ 6%-ը։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մասը լավ կլինի:

Լուծում.Թող G իրադարձությունը լինի լավ մասի տեսք։ Այն վարկածների հավանականությունը, որ մասը մատակարարվել է A, B, C ֆիրմաների կողմից համապատասխանաբար P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2: Լավ մասի հայտնվելու պայմանական հավանականություններն են այս դեպքում P(G|A)=0.9, P(G|B)=0.95, P(G|C)=0.94 (ինչպես տեսքին հակառակ իրադարձությունների հավանականությունները: թերի մասի): Ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի՝ մենք ստանում ենք.

P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923։

Առաջադրանք 8 (տես խնդիրը 6): Նշենք, որ ուսանողը չի հանձնել քննությունը, այսինքն՝ ստացել է «անբավարար» գնահատական։ Երեք ուսուցիչներից ով ամենայն հավանականությամբ պատասխանեց ?

Լուծում.«Ձախողվելու» հավանականությունը . Պահանջվում է հաշվարկել պայմանական հավանականությունները։ Ըստ Բայեսի բանաձևերի՝ ստանում ենք.

https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width="183" height="44 src=">, .

Դրանից բխում է, որ, ամենայն հավանականությամբ, վատ պատրաստված ուսանողը քննությունը հանձնել է երրորդ քննիչին։

4. Կրկնվող անկախ թեստեր. Բեռնուլիի թեորեմը

Առաջադրանք 1 . Մատաղը նետվում է 6 անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ վեցը կգա ուղիղ 3 անգամ:

Լուծում.Վեց անգամ գլորելը կարող է դիտվել որպես անկախ փորձարկումների հաջորդականություն՝ հաջողության 1/6 («վեց») և ձախողման 5/6 հավանականությամբ: Ցանկալի հավանականությունը հաշվարկվում է բանաձևով .

Առաջադրանք 2 . Մետաղադրամը նետվում է 6 անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ զինանշանը հայտնվի առավելագույնը 2 անգամ։

Լուծում.Ցանկալի հավանականությունը հավասար է երեք իրադարձությունների հավանականությունների գումարին, որը բաղկացած է նրանից, որ զինանշանը չի ընկնում անգամ մեկ անգամ՝ մեկ կամ երկու անգամ.

P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= «24»>։

Առաջադրանք 4 . Մետաղադրամը նետվում է 3 անգամ։ Գտեք հաջողությունների ամենահավանական թիվը (զինանշան):

Լուծում.Քննարկվող երեք փորձարկումներում հաջողության թվի հնարավոր արժեքներն են m = 0, 1, 2 կամ 3: Թող Am լինի այն իրադարձությունը, երբ մետաղադրամի երեք նետումի վրա զինանշանը հայտնվում է m անգամ: Օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձևը, հեշտ է գտնել Am-ի իրադարձությունների հավանականությունները (տես աղյուսակը).

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս, որ ամենահավանական արժեքները 1 և 2 թվերն են (դրանց հավանականությունը 3/8 է): Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ նաև 2-րդ թեորեմից: Իրոք, n=3, p=1/2, q=1/2: Հետո

, այսինքն.

Առաջադրանք 5. Ապահովագրական գործակալի յուրաքանչյուր այցելության արդյունքում պայմանագիրը կնքվում է 0,1 հավանականությամբ։ Գտեք 25 այցելություններից հետո կնքված պայմանագրերի ամենահավանական թիվը:

Լուծում.Ունենք n=10, p=0.1, q=0.9։ Հաջողությունների ամենահավանական թվի անհավասարությունն ունի ձև՝ 25×0,1–0,9 £մ*£25×0,1+0,1 կամ 1,6 £մ*2,6 £ Այս անհավասարությունն ունի միայն մեկ ամբողջական լուծում, այն է՝ m*=2:

Առաջադրանք 6 . Հայտնի է, որ մերժման տոկոսը որոշ մասով կազմում է 0,5%: Տեսուչը ստուգում է 1000 դետալ. Ո՞րն է ճիշտ երեք թերի մասերի հայտնաբերման հավանականությունը: Որքա՞ն է առնվազն երեք անսարք մասերի հայտնաբերման հավանականությունը:

Լուծում.Մենք ունենք 1000 Բեռնուլիի փորձ՝ «հաջողության» հավանականությամբ p=0,005։ Կիրառելով Պուասոնի մոտարկումը λ=np=5-ով, ստանում ենք

2) P1000 (m³3) = 1-P1000 (մ<3)=1-»1-,

և P1000(3)»0.14; P1000 (մ³3) «0.875.

Առաջադրանք 7 . Գնման հավանականությունը, երբ հաճախորդը այցելում է խանութ, p=0.75 է: Գտեք հավանականությունը, որ 100 այցելության դեպքում հաճախորդը գնումներ կատարի ուղիղ 80 անգամ։

Լուծում. Այս դեպքում n=100, m=80, p=0,75, q=0,25: Մենք գտնում ենք և որոշեք j(x)=0.2036, ապա ցանկալի հավանականությունը P100(80)= է: .

Առաջադրանք 8. Ապահովագրական ընկերությունը կնքել է 40000 պայմանագիր։ Նրանցից յուրաքանչյուրի համար տարվա ընթացքում ապահովագրական դեպքի հավանականությունը 2% է: Գտեք հավանականությունը, որ նման դեպքերը կլինեն ոչ ավելի, քան 870:

Լուծում.Խնդրի պայմանով n=40000, p=0.02. Մենք գտնում ենք np=800,. P(m £ 870) հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք Moivre-Laplace-ի ինտեգրալ թեորեմը.

P (0 .

Լապլասի ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակի համաձայն մենք գտնում ենք.

P (0

Առաջադրանք 9 . 400 անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,8 է: Գտե՛ք այնպիսի դրական e թիվ, որ 0,99 հավանականության դեպքում իրադարձության պատահման հարաբերական հաճախականության շեղման բացարձակ արժեքը դրա հավանականությունից չգերազանցի e-ն։

Լուծում.Խնդրի պայմանով p=0.8, n=400։ Մենք օգտագործում ենք Moivre-Laplace ինտեգրալ թեորեմի հետևանքը. . հետևաբար, ..gif" width="587" height="41">

5. Դիսկրետ պատահական փոփոխականներ

Առաջադրանք 1 . 3 բանալիների փունջում միայն մեկ բանալի է տեղավորվում դռանը: Ստեղները դասավորված են այնքան ժամանակ, մինչև համապատասխան բանալի գտնվի: Կառուցեք բաշխման օրենք x պատահական փոփոխականի համար՝ փորձարկված ստեղների քանակը .

Լուծում.Փորձված ստեղների թիվը կարող է լինել 1, 2 կամ 3: Եթե փորձարկվում է միայն մեկ բանալի, դա նշանակում է, որ այս առաջին բանալին անմիջապես եկավ դռան մոտ, և նման իրադարձության հավանականությունը 1/3 է: Հետևաբար, եթե եղել են 2 փորձարկված ստեղներ, այսինքն՝ x=2, դա նշանակում է, որ առաջին ստեղնը չի տեղավորվել, իսկ երկրորդը՝ տեղավորվել: Այս իրադարձության հավանականությունը 2/3×1/2=1/3..gif" width="100" height="21"> Ստացվում է հետևյալ բաշխման շարքը.

Առաջադրանք 2 . Խնդիր 1-ից x պատահական փոփոխականի համար կառուցեք Fx(x) բաշխման ֆունկցիան:

Լուծում.Պատահական x փոփոխականն ունի երեք արժեք 1, 2, 3, որոնք ամբողջ թվային առանցքը բաժանում են չորս միջակայքի. Եթե ​​x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Եթե ​​1 ֆունտ x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Եթե ​​2 £ x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x

Եվ, վերջապես, x³3-ի դեպքում x£x անհավասարությունը գործում է x պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքների համար, ուստի P(x

Այսպիսով, մենք ստացանք հետևյալ գործառույթը.

Առաջադրանք 3. x և h պատահական փոփոխականների բաշխման միասնական օրենքը տրված է աղյուսակի միջոցով

Հաշվարկել x և h բաղադրիչների բաշխման որոշակի օրենքներ: Որոշեք, արդյոք դրանք կախված են..gif" width="423" height="23 src=">;

https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" width="376" height="23 src=">:

h-ի մասնակի բաշխումը նույնպես ստացվում է.

https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width="229" height="23 src=">:

Արդյունքում ստացված հավանականությունները կարող են գրվել նույն աղյուսակում պատահական փոփոխականների համապատասխան արժեքներին հակառակ.

Հիմա եկեք պատասխանենք այս բջիջում x և h..gif" width="108" height="25 src="> պատահական փոփոխականների անկախության մասին հարցին։ Օրինակ՝ x=- արժեքների բջիջում։ 1 և h=1 կա հավանականություն 1/ 16, իսկ համապատասխան մասնակի հավանականությունների արտադրյալը 1/4×1/4 հավասար է 1/16-ի, այսինքն՝ համընկնում է համատեղ հավանականության հետ։ Այս պայմանը ստուգվում է նաև մնացածում։ հինգ բջիջ, և պարզվում է, որ բոլորը ճիշտ են: Հետևաբար, x և h պատահական փոփոխականները անկախ են:

Նկատենք, որ եթե մեր պայմանը խախտվել է գոնե մեկ խցում, ապա քանակները պետք է ճանաչվեն կախված։

Հավանականությունը հաշվարկելու համար նշեք այն բջիջները, որոնց համար պայմանը կատարվում է https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src=">

Առաջադրանք 4 . Թող պատահական ξ փոփոխականը ունենա հետևյալ բաշխման օրենքը.

Հաշվե՛ք Mx մաթեմատիկական ակնկալիքը, Dx շեղումը և ստանդարտ շեղումը s:

Լուծում. Ըստ սահմանման, x-ի ակնկալիքն է

Ստանդարտ շեղում https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" width="51" height="21">:

Լուծում.Եկեք օգտագործենք բանաձևը . Այսինքն, աղյուսակի յուրաքանչյուր բջիջում մենք բազմապատկում ենք համապատասխան արժեքները և արդյունքը բազմապատկում ենք հավանականության pij-ով և ամփոփում այս ամենը աղյուսակի բոլոր բջիջների վրա: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Առաջադրանք 6 . Խնդիր 3-ից պատահական զույգի համար հաշվարկեք կովարիանսը cov(x, h):

Լուծում.Նախորդ խնդրի մեջ մաթեմատիկական ակնկալիքն արդեն հաշվարկված է . Մնում է հաշվարկել և . Օգտագործելով մասնակի բաշխման օրենքները, որոնք ստացվել են 3-րդ խնդիրը լուծելիս, մենք ստանում ենք

; ;

իսկ դա նշանակում է

ինչը սպասելի էր պատահական փոփոխականների անկախության պատճառով։

Առաջադրանք 7. Պատահական վեկտորը (x, h) ընդունում է արժեքները (0.0), (1.0), (–1.0), (0.1) և (0,–1) հավասար հավանականությամբ։ Հաշվե՛ք x և h պատահական փոփոխականների կովարիանսը։ Ցույց տվեք, որ նրանք կախված են:

Լուծում. Քանի որ Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, ապա Мx=3/5´0+1/5´1+1 /5´(–1)=0 և Мh=0;

М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0.

Մենք ստանում ենք cov(x, h)=M(xh)–MxMh=0, իսկ պատահական փոփոխականներն անկապ են: Այնուամենայնիվ, նրանք կախվածության մեջ են: Թող x=1, ապա իրադարձության պայմանական հավանականությունը (h=0) հավասար է Р(h=0|x=1)=1-ի և հավասար չէ անվերապահ Р(h=0)=3/5-ին, կամ հավանականությունը (ξ=0,η =0) հավասար չէ հավանականությունների արտադրյալին՝ Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. . Այսպիսով, x-ը և h-ը կախված են:

Առաջադրանք 8 . Երկու ընկերությունների բաժնետոմսերի գների պատահական աճերը x և h օրերին ունեն համատեղ բաշխում, որը տրված է աղյուսակով.

Գտեք հարաբերակցության գործակիցը.

Լուծում.Նախ հաշվում ենք Mxh=0.3-0.2-0.1+0.4=0.4։ Այնուհետև մենք գտնում ենք x-ի և h-ի բաշխման հատուկ օրենքներ.

Սահմանում ենք Mx=0.5-0.5=0; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Դհ=1–0,22=0,96; cov(x, h)=0.4. Մենք ստանում ենք

.

Առաջադրանք 9. Երկու ընկերությունների բաժնետոմսերի օրական գների պատահական աճերն ունեն Dx=1 և Dh=2 դիսպերսիաներ, որոնց հարաբերակցության գործակիցը r=0.7 է: Գտեք առաջին ընկերության 5 բաժնետոմսերի և երկրորդ ընկերության 3 բաժնետոմսերի պորտֆելի գնի աճի շեղումը:

Լուծում. Օգտագործելով շեղումների, կովարիանսի հատկությունները և հարաբերակցության գործակիցի սահմանումը, մենք ստանում ենք.

Առաջադրանք 10 . Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխումը տրված է աղյուսակով.

Գտե՛ք x=1-ի պայմանական բաշխումը և h պայմանական ակնկալիքը:

Լուծում.Պայմանական ակնկալիքն է

Խնդրի վիճակից մենք գտնում ենք h և x բաղադրիչների բաշխվածությունը (աղյուսակի վերջին սյունակը և վերջին տողը):