Srdcem geometrického tělesa – hranolu – jsou mnohoúhelníky a každá boční plocha je rovnoběžník. Nezasvěcení se možná trochu báli. Ale pokud je vaše dítě požádáno, aby přišlo na lekci s hranolem, přirozeně mu budete chtít pomoci a vysvětlit mu, jak vyrobit hranol z papíru.

Začneme výrobou rovného hranolu. V tomto hranolu jsou boční hrany kolmé k podstavám. Nejjednodušší je vyrobit vlastníma rukama papírový hranol se třemi plochami, protože jeho základny jsou nejjednodušší z mnohoúhelníků - trojúhelníků. Udělejme "správný" hranol. Jeho základny jsou reprezentovány rovnostrannými trojúhelníky.

trojboký hranol

Zamysleme se nad tím, jak vysoko bude ten náš trojboký hranol z papíru. Nakreslíme obdélník s jednou stranou rovnou výšce a druhou rovnou délce obvodu trojúhelníku na základně. Výsledný obdélník je rozdělen rovnoběžnými čarami na tři stejné části. Z rohů obdélníku umístěného uprostřed nakreslíme kružnice s poloměrem rovným straně našeho trojúhelníku na základně. Tam, kde se kružnice protínají mimo původní obdélník, umístěte body a spojte je se středy kružnic. Měli bychom dostat postavu zobrazenou uprostřed obrázku. Dále vystřihneme postavu s malými přídavky na lepení, ohneme podél stávajících přímek a získáme hotový hranol.

Podle jaké šablony je vyroben papírový hranol se čtyřmi plochami, schéma na obrázku jasně ukazuje.

Šestihranný hranol

Příklad přířezu pro pětistranný hranol je na obrázku. Zde je výška jehlanu 10 cm, délka stran pětistěnu u základny je 3 cm.Podobně lze vyrobit šestihranný papírový hranol, ale na jeho základně leží šestiúhelník.

nakloněný hranol

Na tomto obrázku je znázorněn nakloněný papírový hranol. Jeho boční plochy jsou v úhlu k základně. Takový hranol lze vyrobit podle snímací šablony.

V školní osnovy v průběhu prostorové geometrie začíná studium trojrozměrných obrazců obvykle jednoduchým geometrickým tělesem - hranolovým mnohostěnem. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho základnou jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, pokud hranol není nakloněn).

Jak vypadá hranol

Pravidelný čtyřboký hranol je šestistěn, na jehož základnách jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.

Obrázek, který znázorňuje čtyřboký hranol, je uveden níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Jsou běžně označovány jako:

Někdy v úlohách v geometrii můžete najít koncept řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa, které patří do roviny řezu. Řez je kolmý (přetíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu se uvažuje také s diagonálním řezem ( maximální částkaúseky, které lze postavit - 2) procházející 2 hranami a úhlopříčkami základny.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé poměry a vzorce. Některé z nich jsou známé z průběhu planimetrie (například k nalezení plochy základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sprim h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a² h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu se stejnou délkou, šířkou a výškou, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho zatáčení.

Z výkresu je patrné, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Protože obvod čtverce je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, přidejte 2 základní plochy k boční ploše:

Plná = Sstrana + 2Sbase

Při použití na čtyřboký pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pro povrchovou plochu krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze odvodit vzorce:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
• základní plocha: Sprim = V/h;
• oblast bočního obličeje: Postranní gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu se používá vzorec:

cena = √(2a² + h²)

Abyste pochopili, jak použít výše uvedené poměry, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úkolů.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé z úloh, které se objevují u státních závěrečných zkoušek z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s délkou základny 2x delší?

Mělo by se argumentovat následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, to znamená, že jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete definovat jako A. V tomto případě pro první krabici bude objem látky:

V1 = ha2 = 10a2

U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h(2a)2 = 4ha2

Protože V1 = V2, výrazy lze postavit rovnítko:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

Jako výsledek nová úroveň písek bude h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Pro snazší pochopení, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že základna je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou hodnotu, proto má také boční plocha tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí podle vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky, a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Náměstí bude pokryto tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50 30 = 1500 rublů.

K řešení úloh pro pravoúhlý hranol tedy stačí umět vypočítat obsah a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a povrchu.

Jak najít plochu krychle

Vzhledem k tomu:
Průsečík jehlanu a hranolu
Nezbytné:
Postavte zatáčku rovného hranolu a ukažte na něm čáru průsečíku hranolu s pyramidou.

Stavba rovného hranolu je mnohem jednodušší než pyramidového.

Konstrukce hranolu

Konstrukce vychýlení rovného hranolu je usnadněna tím, že všechny rozměry pro vytažení jsou převzaty z diagramů a nemusíme zjišťovat přirozené rozměry hran hranolu. Protože je dán rovný hranol, boční hrany hranolu se promítají do roviny čelního průmětu v plné velikosti. Okraje podstav přímého hranolu jsou rovnoběžné s vodorovnou rovinou průmětů a také se na ni promítají v plné velikosti.

Algoritmus pro konstrukci skenování hranolu

• Nakreslíme vodorovnou čáru.
• Z libovolného bodu G této přímky vyčleníme segmenty GU, UE, EK, KG rovnající se délkám stran podstavy hranolu.
• Z bodů G, U, ... se obnoví kolmice a na ně se položí veličiny rovné výšce hranolu. Výsledné body jsou spojeny přímkou. Obdélník GG1G1G je rozvinutím boční plochy hranolu. Pro naznačení vývoje čel hranolu z bodů U, E, K jsou obnoveny kolmice.
• Pro získání úplného rozvinutí povrchu hranolu jsou polygony jeho základen připojeny k rozvinutí povrchu.

Abychom na skenování postavili čáru průsečíku hranolu s pyramidou uzavřených přerušovaných čar 1, 2, 3 a 4, 5, 6, 7, 8, používáme svislé přímky.

Více podrobností ve výukovém videu o deskriptivní geometrii v AutoCADu

Hranol je geometrické těleso, mnohostěn, jehož základny jsou stejné mnohoúhelníky a boční plochy jsou rovnoběžníky. Pro nezasvěcené to může znít trochu zastrašující. A když vaše dítě potřebuje na hodinu geometrie přinést doma vyrobený hranol, nevíte, jak svému milovanému dítěti pomoci. Ve skutečnosti není všechno tak obtížné a pomocí našich tipů, jak vyrobit hranol, se s tímto problémem dostatečně vyrovnáte.

Jak vyrobit hranol z papíru

Hned se dohodneme, že uděláme rovný hranol, tedy hranol, u kterého budou boční hrany kolmé k podstavám. Udělat to samé nakloněný hranol papír je velmi problematický (taková rozložení jsou obvykle vyrobena z drátu).

Již víme, že dva stejné polygony leží na základnách hranolu. Proto naše práce začne s nimi. Nejjednodušší z mnohoúhelníků je trojúhelník. To znamená, že nejprve vyrobíme trojúhelníkový hranol.

Jak vyrobit trojboký hranol

Budeme potřebovat silný bílý papír na kreslení, tužku, úhloměr, kružítko, pravítko, nůžky a lepidlo.

Nakreslíme trojúhelník, je možný jakýkoli, ale aby byl náš hranol obzvláště krásný, uděláme trojúhelník rovnostranný. Takový hranol v geometrii se nazývá "správný". Zvolíme si dle svého uvážení velikost strany trojúhelníku, řekněme 10 cm, pravítkem tuto úsečku položíme na papír a úhloměrem naměříme z jednoho konce naší úsečky úhel 60 ∗.

Nakreslíme nakloněnou čáru. Na něm pomocí pravítka odložte 10 cm od konce segmentu. Našli jsme tedy třetí vrchol trojúhelníku. Tento bod spojíme s konci počátečního segmentu a rovnostranný trojúhelník je připraven. Dá se vystřihnout. Podobně vyrobíme druhý trojúhelník, nebo si pečlivě obkreslíme obrysy prvního na papír. Tak už máme dva důvody.

Děláme boční okraje. Rozhodneme se, jaká bude výška hranolu. Řekněme 20 cm. Nakreslíme obdélník, ve kterém hodnota jedné strany je výška hranolu (v našem případě 20 cm) a druhá strana se rovná hodnotě strany základny vynásobené číslem těchto stran (máme: 10 cm x 3 = 30 cm) .

Na dlouhých stranách uděláme značky každých 10 cm.Protější značky spojíme rovnými čarami. Na nich pak bude nutné papír opatrně ohnout. To jsou boční hrany našeho hranolu. Podél dvou dlouhých a jedné krátké strany obdélníku načrtneme úzké přídavky pro nalepení (stačí proužky široké 1 cm). Vystřihneme obdélník spolu s povolenkami, opatrně je ohneme podle označení. Ohneme žebra.

Začínáme s montáží. Obdélník vlepíme podél boční strany do trubky trojúhelníkového průřezu. Na ohnuté přídavky nalepte nahoře a dole základní trojúhelníky. Hranol je připraven.

Asi nemá cenu zabíhat do detailů otázky, jak vyrobit hranol z lepenky. Celý algoritmus montáže zůstává stejný, pouze nahraďte papír tenkým kartonem. Změnou počtu stran základních polygonů nyní můžete nezávisle vytvořit jak pětiúhelníkový, tak šestiúhelníkový hranol.

Definice.

Toto je šestiúhelník, jehož základy jsou dva stejné čtverce a boční plochy jsou stejné obdélníky.

Boční žebro je společná strana dvou sousedních bočních ploch

Výška hranolu je úsečka kolmá k základnám hranolu

Diagonální hranol- segment spojující dva vrcholy základen, které nepatří ke stejné ploše

Diagonální rovina- rovina, která prochází úhlopříčkou hranolu a jeho bočními okraji

Diagonální řez- hranice průsečíku hranolu a diagonální roviny. Diagonální řez pravidelného čtyřbokého hranolu je obdélník

Kolmý řez (ortogonální řez)- jedná se o průsečík hranolu a roviny nakreslené kolmo na jeho boční hrany

Prvky pravidelného čtyřbokého hranolu

Obrázek ukazuje dva pravidelné čtyřboké hranoly, které jsou označeny odpovídajícími písmeny:

• Báze ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 jsou stejné a vzájemně rovnoběžné
• Boční plochy AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C a CC 1 D 1 D, z nichž každá je obdélník
• Boční plocha - součet ploch všech bočních ploch hranolu
• Celková plocha - součet ploch všech základen a bočních ploch (součet plochy boční plochy a základen)
• Boční žebra AA 1 , BB 1 , CC 1 a DD 1 .
• Úhlopříčka B1D
• Základní úhlopříčka BD
• Diagonální řez BB 1 D 1 D
• Kolmý řez A 2 B 2 C 2 D 2 .

Vlastnosti pravidelného čtyřbokého hranolu

• Základem jsou dva stejné čtverce
• Základny jsou vzájemně rovnoběžné
• Strany jsou obdélníky.
• Boční plochy jsou si navzájem rovné
• Boční plochy jsou kolmé k základnám
• Boční žebra jsou vzájemně rovnoběžná a rovná
• Kolmý řez kolmý na všechna boční žebra a rovnoběžný se základnami
• Úhly kolmého řezu - vpravo
• Diagonální řez pravidelného čtyřbokého hranolu je obdélník
• Kolmý (pravoúhlý řez) rovnoběžný se základnami

Vzorce pro pravidelný čtyřboký hranol

Pokyny pro řešení problémů

Při řešení problémů na téma " pravidelný čtyřboký hranol“ znamená, že:

Správný hranol- hranol, na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník a boční hrany jsou kolmé k rovinám základny. To znamená, že pravidelný čtyřboký hranol obsahuje ve své základně náměstí. (viz výše vlastnosti pravidelného čtyřbokého hranolu) Poznámka. Toto je část lekce s úlohami z geometrie (část tělesová geometrie - hranol). Zde jsou úkoly, které způsobují potíže při řešení. Pokud potřebujete vyřešit problém v geometrii, který zde není - napište o něm do fóra. K označení akce extrahování druhé odmocniny při řešení problémů se používá symbol√ .

Úkol.

V pravidelném čtyřbokém hranolu je plocha základny 144 cm 2 a výška 14 cm Najděte úhlopříčku hranolu a celkovou plochu povrchu.

Řešení.
Pravidelný čtyřúhelník je čtverec.
V souladu s tím bude strana základny rovna

√144 = 12 cm.
Odkud bude úhlopříčka podstavy pravidelného pravoúhlého hranolu rovna
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Úhlopříčka pravý hranol tvoří pravoúhlý trojúhelník s úhlopříčkou podstavy a výškou hranolu. Podle Pythagorovy věty se tedy úhlopříčka daného pravidelného čtyřbokého hranolu bude rovnat:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpovědět: 22 cm

Úkol

Najděte celkovou plochu pravidelného čtyřbokého hranolu, pokud je jeho úhlopříčka 5 cm a úhlopříčka boční plochy je 4 cm.

Řešení.
Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec, pak stranu základny (označenou jako a) najdeme podle Pythagorovy věty:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Výška boční plochy (označená jako h) se pak bude rovnat:

H2 + 12,5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Celková plocha povrchu se bude rovnat součtu plochy bočního povrchu a dvojnásobku základní plochy

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpověď: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.