Šikmý čtyřboký hranol jak vyrobit. Jak vyrobit hranol z papíru Příklady problémů s řešením

Hranol je geometrické těleso, mnohostěn, jehož základny jsou stejné mnohoúhelníky a boční plochy jsou rovnoběžníky. Pro nezasvěcené to může znít trochu zastrašující. A když vaše dítě potřebuje na hodinu geometrie přinést doma vyrobený hranol, nevíte, jak svému milovanému dítěti pomoci. Ve skutečnosti není všechno tak obtížné a pomocí našich tipů, jak vyrobit hranol, se s tímto problémem dostatečně vyrovnáte.

Jak vyrobit hranol z papíru

Hned se dohodneme, že uděláme rovný hranol, tedy hranol, u kterého budou boční hrany kolmé k podstavám. Vyrobit šikmý hranol z papíru je velmi problematické (takové rozvržení bývají drátěné).

Již víme, že dva stejné polygony leží na základnách hranolu. Proto naše práce začne s nimi. Nejjednodušší z mnohoúhelníků je trojúhelník. To znamená, že nejprve vyrobíme trojúhelníkový hranol.

Jak vyrobit trojboký hranol

Budeme potřebovat silný bílý papír na kreslení, tužku, úhloměr, kružítko, pravítko, nůžky a lepidlo.

Nakreslíme trojúhelník, je možný jakýkoli, ale aby byl náš hranol obzvláště krásný, uděláme trojúhelník rovnostranný. Takový hranol v geometrii se nazývá "správný". Zvolíme si dle svého uvážení velikost strany trojúhelníku, řekněme 10 cm, pravítkem tuto úsečku položíme na papír a úhloměrem naměříme z jednoho konce naší úsečky úhel 60 ∗.

Nakreslíme nakloněnou čáru. Na něm pomocí pravítka odložte 10 cm od konce segmentu. Našli jsme tedy třetí vrchol trojúhelníku. Tento bod spojíme s konci počátečního segmentu a rovnostranný trojúhelník je připraven. Dá se vystřihnout. Podobně vyrobíme druhý trojúhelník, nebo si pečlivě obkreslíme obrysy prvního na papír. Tak už máme dva důvody.

Děláme boční okraje. Rozhodneme se, jaká bude výška hranolu. Řekněme 20 cm. Nakreslíme obdélník, ve kterém hodnota jedné strany je výška hranolu (v našem případě 20 cm) a druhá strana se rovná hodnotě strany podstavy vynásobené číslem těchto stran (máme: 10 cm x 3 = 30 cm) .

Na dlouhých stranách uděláme značky každých 10 cm.Protější značky spojíme rovnými čarami. Na nich pak bude nutné papír opatrně ohnout. To jsou boční hrany našeho hranolu. Podél dvou dlouhých a jedné krátké strany obdélníku načrtneme úzké přídavky pro nalepení (stačí proužky široké 1 cm). Vystřihneme obdélník spolu s povolenkami, opatrně je ohneme podle označení. Ohneme žebra.

Začínáme s montáží. Obdélník vlepíme podél boční strany do trubky trojúhelníkového průřezu. Na ohnuté přídavky nalepte nahoře a dole základní trojúhelníky. Hranol je připraven.

Asi nemá cenu zabíhat do detailů otázky, jak vyrobit hranol z lepenky. Celý algoritmus montáže zůstává stejný, pouze nahraďte papír tenkým kartonem. Změnou počtu stran základních polygonů nyní můžete nezávisle vytvořit jak pětiúhelníkový, tak šestiúhelníkový hranol.

V školní osnovy v průběhu prostorové geometrie začíná studium trojrozměrných obrazců obvykle jednoduchým geometrickým tělesem - hranolovým mnohostěnem. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho podstavy jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).

Jak vypadá hranol

Pravidelný čtyřboký hranol je šestiúhelník, na jehož základnách jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.

Obrázek, který znázorňuje čtyřboký hranol, je uveden níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Jsou běžně označovány jako:

Někdy v úlohách v geometrii můžete najít koncept řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa, které patří do roviny řezu. Řez je kolmý (přetíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu se uvažuje také s diagonálním řezem ( maximální částkaúseky, které lze postavit - 2) procházející 2 hranami a úhlopříčkami základny.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé poměry a vzorce. Některé z nich jsou známy z průběhu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sprim h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a² h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu se stejnou délkou, šířkou a výškou, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho zatáčení.

Z výkresu je patrné, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Protože obvod čtverce je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, přidejte 2 základní plochy k boční ploše:

Plná = Sstrana + 2Száklad

Při použití na čtyřboký pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pro povrchovou plochu krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze odvodit vzorce:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
• základní plocha: Sprim = V/h;
• oblast bočního obličeje: Postranní gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu se používá vzorec:

cena = √(2a² + h²)

Abyste pochopili, jak použít výše uvedené poměry, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úkolů.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé z úloh, které se objevují u státních závěrečných zkoušek z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s délkou základny 2x delší?

Mělo by se argumentovat následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, to znamená, že jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete definovat jako A. V tomto případě pro první krabici bude objem látky:

V1 = ha2 = 10a2

U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h(2a)2 = 4ha2

Protože V1 = V2, výrazy lze postavit rovnítko:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

Jako výsledek nová úroveň písek bude h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Abyste snáze pochopili, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že základna je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou hodnotu, proto má také boční plocha tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí podle vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky, a jejich stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že je správný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Náměstí bude pokryto tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50 30 = 1500 rublů.

K řešení úloh pro pravoúhlý hranol tedy stačí umět spočítat obsah a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a povrchu.

Jak najít plochu krychle

Je třeba vybudovat vývoj fazetových těles a nakreslit na vývoji linii průsečíku hranolu a jehlanu.

K vyřešení tohoto problému v deskriptivní geometrii potřebujete vědět:

- informace o vývoji povrchů, způsobech jejich konstrukce a zejména o konstrukci vývoje fazetových těles;

- vlastnosti jedna ku jedné mezi povrchem a jeho rozvinutím a způsoby přenosu bodů patřících k povrchu do rozvinutí;

- metody určování přirozených hodnot geometrických obrazů (přímky, roviny atd.).

Postup při řešení Problému

Skenování je voláno plochý tvar, který se získá řezáním a ohýbáním povrchu, dokud není zcela vyrovnán s rovinou. Celý povrch se rozvine ( polotovary, vzory) jsou budovány pouze z přírodních hodnot.

1. Vzhledem k tomu, že skeny jsou stavěny z přirozených hodnot, přistoupíme k jejich stanovení, pro které je pauzovacím papírem (milimetrový papír nebo jiný papír) formátu A3 přenesena úloha č. z se všemi body a liniemi průsečíku mnohostěnů.

2. K určení přirozených hodnot hran a základny pyramidy používáme metoda pravoúhlého trojúhelníku. Samozřejmě jsou možné i jiné, ale podle mého názoru je tato metoda pro studenty srozumitelnější. Jeho podstata spočívá v tom, že „na sestrojeném pravém úhlu je na jednom rameni vynesena hodnota projekce úsečky přímky a na druhé straně rozdíl v souřadnicích konců tohoto segmentu, vzat z konjugované projekční roviny. Potom přepona výsledného pravého úhlu udává přirozenou hodnotu této úsečky..

Obr.4.1

Obr.4.2

Obr.4.3

3. Tedy ve volném prostoru kresby (Obr.4.1.a) dělat pravý úhel.

Na vodorovné čáře tohoto úhlu dáme stranou hodnotu průmětu hrany jehlanu DA převzato z horizontální projekční roviny - lDA. Na svislou čáru pravého úhlu vyneseme rozdíl v souřadnicích bodů D’ aA’ převzato z roviny čelní projekce (podél os z cesta dolů) - . Spojením získaných bodů s přeponou získáme přirozenou velikost hrany jehlanu | DA| .

Určujeme tak přirozené hodnoty ostatních okrajů pyramidy D.B. a DC, stejně jako základnu pyramidy AB, BC, AC (obr.4.2), pro který sestrojíme druhý pravý úhel. Všimněte si, že definice přirozené velikosti hrany DC se provádí v těch případech, kdy je uveden v projekci na původní výkres. To lze snadno určit, pokud si zapamatujeme pravidlo: pokud je přímka na jakékoli projekční rovině rovnoběžná se souřadnicovou osou, pak se na sdruženou rovinu promítá v plné velikosti.

Zejména v příkladu našeho problému čelní projekce hrany D’ C’ rovnoběžně s osou X tedy v horizontální rovině DC okamžitě vyjádřeno v přirozené velikosti | DC| (obr.4.1).

Obr.4.4

4. Po určení přirozených hodnot hran a základny pyramidy přistoupíme ke konstrukci zatáčky ( obr.4.4). Chcete-li to provést, na listu papíru blíže k levé straně rámu vezmeme libovolný bod D vzhledem k tomu, že se jedná o vrchol pyramidy. Kreslit z bodu D libovolnou přímku a vyčlenit na ni přirozenou velikost okraje | DA| , získat bod ALE. Pak od věci ALE, přičemž řešení kompasu je v plné velikosti základny pyramidy R=|AB| a umístění nohy kompasu do bodu ALE uděláme oblouk. Dále převezmeme řešení kompasu v plné velikosti okraje jehlanu R=| D.B.| a umístění nohy kompasu do bodu D uděláme druhý obloukový zářez. Na průsečíku oblouků dostaneme bod V, spojující to s body A a D dostat na okraj pyramidy DAB. Podobně přiložíme k okraji D.B. aspekt DBC a na okraj DC- okraj DCALE.

Například na jednu stranu základny VC, připevníme základnu pyramidy také metodou geometrických patek, přičemž velikost stran bereme v řešení kompasu ALEBaAZ a vytváření obloukových patek z bodů BaC získat bod A(obr.4.4).

5. Budování sweepu hranol je zjednodušen tím, že na původním výkresu je v horizontální rovině průmětů základna a v čelní rovině - výška 85 mm nastavit v plné velikosti

Abychom vytvořili zametání, mentálně rozřízneme hranol podél nějaké hrany, například podél E Po upevnění na rovině roztáhneme ostatní plochy hranolu, dokud nebude zcela zarovnán s rovinou. Je zcela zřejmé, že dostaneme obdélník, jehož délka je součtem délek stran podstavy a výška je výškou hranolu - 85 mm.

Abychom tedy vytvořili zatáčku hranolu, postupujeme takto:

- na stejném formátu, kde je postavena pyramida, na pravé straně nakreslíme vodorovnou přímku a z libovolného bodu na ní, například E, postupně odkládáme segmenty základny hranolu EK, KG, GU, EU, převzato z horizontální promítací roviny;

- z bodů E, K, G, U, E obnovíme kolmice, na kterých vyčleníme výšku hranolu, vzatou z roviny čelního průmětu (85mm);

- spojením získaných bodů přímkou ​​získáme rozvinutí boční plochy hranolu a k jedné ze stran podstavy, např. GU horní a spodní základnu připevníme metodou geometrických patek, jak se to dělalo při stavbě základny pyramidy.

Obr.4.5

6. K vytvoření průsečíku na zástavbě používáme pravidlo, že „jakýkoli bod na povrchu odpovídá bodu na zástavbě“. Vezměme si například hranu hranolu GU kde čára průsečíku s body 1-2-3 ; . Dejte stranou na rozvoj základny GU body 1,2,3 vzdáleností od vodorovné promítací roviny. Obnovte kolmice z těchto bodů a nakreslete na ně výšky bodů 1’ , 2’, 3’ , převzato z roviny čelní projekce - z 1 , z 2 az 3 . Tím pádem jsme získali body na sweep 1, 2, 3, spojením, kterým dostaneme první větev průsečíku.

Všechny ostatní body se přenášejí obdobně. Sestrojené body jsou spojeny a získávají druhou větev průsečíku. Zvýrazněte červeně - požadovaný řádek. Dodejme, že v případě neúplného protnutí fazetových těles bude na rozvinutí hranolu jedna uzavřená větev průsečíkové čáry.

7. Konstrukce (přenos) průsečíku na vývoj pyramidy se provádí stejným způsobem, ale s přihlédnutím k následujícímu:

- vzhledem k tomu, že sweepy jsou stavěny z přírodních hodnot, je nutné přenést polohu bodů 1-8 čáry průniku průmětů na čáry hran přirozených velikostí jehlanu. K tomu si vezměte například body 2 a 5 v čelní projekci žebra DA převedeme je na hodnotu průmětu této hrany pravého úhlu (obr.4.1) podél komunikačních linek rovnoběžných s osou X, získáme požadované segmenty | D2| a |D5| žebra DA v přírodních hodnotách, které vyčleníme (přeneseme) do zástavby pyramidy;

- všechny ostatní body průsečíku se přenesou stejným způsobem, včetně bodů 6 a 8 ležící na generátorech Dm a Dn proč pravý úhel (obr.4.3) jsou určeny přirozené hodnoty těchto generátorů a poté jsou do nich převedeny body 6 a 8;

- ve druhém pravém úhlu, kde se určují přirozené hodnoty základny pyramidy, se přenášejí body man průsečíky generátorů se základnou, které jsou následně převedeny do voj.

Tedy body získané na přirozených hodnotách 1-8 a přenesené do zástavby spojíme do série přímkami a nakonec dostaneme průsečík pyramidy na její rozvinutí.

Sekce: Deskriptivní geometrie /

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudní příkaz, v soudních řízeních a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Vzhledem k tomu:
Průsečík jehlanu a hranolu
Nezbytné:
Postavte zatáčku rovného hranolu a ukažte na něm čáru průsečíku hranolu s pyramidou.

Stavba rovného hranolu je mnohem jednodušší než pyramidového.

Konstrukce hranolu

Konstrukce vychýlení rovného hranolu je usnadněna tím, že všechny rozměry pro vytažení jsou převzaty z diagramů a nemusíme zjišťovat přirozené rozměry hran hranolu. Protože je dán rovný hranol, boční hrany hranolu se promítají do roviny čelního průmětu v plné velikosti. Hrany podstav přímého hranolu jsou rovnoběžné s vodorovnou rovinou průmětů a také se na ni promítají v plné velikosti.

Algoritmus pro konstrukci skenování hranolu

• Nakreslíme vodorovnou čáru.
• Z libovolného bodu G této přímky vyčleníme segmenty GU, UE, EK, KG rovnající se délkám stran podstavy hranolu.
• Z bodů G, U, ... se obnoví kolmice a na ně se položí veličiny rovné výšce hranolu. Výsledné body jsou spojeny přímkou. Obdélník GG1G1G je rozvinutím boční plochy hranolu. Pro naznačení na vývoji čel hranolu z bodů U, E, K jsou obnoveny kolmice.
• Pro získání úplného rozvinutí povrchu hranolu jsou polygony jeho základen připojeny k rozvinutí povrchu.

Abychom na skenování postavili čáru průsečíku hranolu s pyramidou uzavřených přerušovaných čar 1, 2, 3 a 4, 5, 6, 7, 8, používáme svislé přímky.

Více podrobností ve výukovém videu o deskriptivní geometrii v AutoCADu